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第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
学案
一、学习目标
1.理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数法的一般步骤.
2.会恰当选用两种简单随机抽样方法从实际问题的总体中抽取样本.
3.体会用样本平均数、样本中的比例去估计总体平均数、总体中的比例.
二、基础梳理
1.全面调查和抽样调查：
（1）普查：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.
总体：在一个调查中，调查对象的全体称为总体.
个体：组成总体的每一个调查对象称为个体.
（2）抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.
样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.
样本量：样本中包含的个体数称为样本量.
2.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取个个体作为样本. 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
3.两种简单随机抽样的方法
（1）抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.
（2）随机数法：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数.
4.总体均值和样本均值
（1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数.如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
（2）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数.
三、巩固练习
1.下列调查方式中合适的是( )
A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C.调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
2.某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从500名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是( )
A.5000名学生是总体 B.250名学生是总体的一个样本
C.样本容量是250 D.每一名学生是个体
3.下面抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）
4.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中个体甲被第二次抽到的可能性为( ).
A. B. C. D.
5.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工（已编号为00~49）中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是( )
A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06
B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48
C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11
D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49
6.下列抽样试验中，用抽签法方便的是( )
A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
7.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
数据x
个数 800 1300 900
平均数 78.1 85 91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为( )
A.92.16 B.85.23 C.84.73 D.77.97
8.采用抽签法从含有3个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本有____________.
9.小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量（单位：kg），从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表：
鱼的条数 平均每条鱼的质量
第一次捕捞 20 1.6
第二次捕捞 10 2.2
第三次捕捞 10 1.8
那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是_________________kg.
10.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号.若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则最先抽取的5袋牛奶的编号为_____________.
(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
11.学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学.
12.要从高一年级全体学生450人中随机抽出20人作为校运动会志愿者，请用随机数法抽出人选，写出抽取过程.
13.某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：
每户丢弃塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数 15 60 65 35 20 5
（1）求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；
（2）假设该市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年（以365天计算）丢弃塑料袋的总数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有破坏性，所以宜采取抽样调查的方式；要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，宜采用普查的方式；对全市中学生每天的就寝时间的调查不宜采用普查的方式.故选C.
2.答案：C
解析：总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以A错误；样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以B错误；样本容量是250，所以C正确；个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以D错误.故选C.
3.答案：D
解析：对于A，总体中的个体有无数个.对于B，不是逐个抽取个体.对于C，样本中的个体具有特殊性，不符合简单随机抽样的特点.D符合简单随机抽样的特点.
4.答案：A
解析：每个个体被抽到的可能性均为，与第次抽取无关.
5.答案：B
解析：观察选项A中的编号，有不在00~49内的数字，故排除选项A；选项C，D中都有重复的编号，故排除选项C和D.故选B.
6.答案：B
解析：A中总体中个体数较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体中个体数较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体中个体数较大，不适宜用抽签法.
7.答案：B
解析：这3000个数据的平均数为.用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故选B.
8.答案：，，
解析：从总体中任取两个个体即可组成样本，即所有可能的样本为，，.
9.答案：3600
解析：平均每条鱼的质量为.
因为成活的鱼的总数约为（条），
所以总质量约是.
10.答案：331，572，455，068，047
解析：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的数是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877，它大于799，故舍去，第五个数是047.故答案为331，572，455，068，047.
11.解析：第一步，将32名男生从00到31进行编号；
第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号；
第三步，将写好的号签放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签；
第四步，抽到的相应编号的男生参加合唱；
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱.
12.解析：第一步，先将450人编号，可以编为000，001，002，…，449；
第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋子中.
第三步，从袋子中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第1，2，3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位，这样就生成了一个三位随机数.
如果这个数在000~449之间，就记录下来，否则舍弃，如果有重复舍去，直到得到20个不同编号.
第四步，与这20个编号对应的学生组成样本.
13.解析：（1）（个），
故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.
（2）（万个），
故全市所有家庭每年丢弃塑料袋109500万个.
答案解析
1.答案：D
解析：由等角定理可知，为60°或120°.故选D.
2.答案：B
解析：由于E，F分别是，的中点，故，因为和棱平行的棱有AD，BC，，所以符合题意的棱共有4条.故选B.
3.答案：B
解析：的两边与的两边分别平行，所以易知或.故选B.
4.答案：B
解析：如图所示，由三角形中位线的性质，可得，，再根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形，所以，故选B.
5.答案：D
解析：如图所示，连接BD，，，且，同理，，且，，当时，，四边形EFGH是平行四边形，故A，C正确，D错，当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确.故选D.
6.答案：B
解析：当时，若A，B，C，D四点共面且，M，N两点重合，故A错误；若M，N重合，则，故，此时直线AC与直线l不可能相交，故B正确；当AB与CD相交，直线时，直线BD与l平行，故C错误；当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，故D错误.故选B.
7.答案：D
解析：对于A，由基本事实4易得，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得，故B正确；对于C，由等角定理，知，，所以，故C正确；由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选D.
8.答案：平行
解析：在中，，，
又，.
9.解析：在题图1中，四边形ABCD为梯形，，E，F分别为BC，AD的中点，
且.
在题图2中，易知.
，H分别为，的中点，
且，
，，
四边形EFGH为平行四边形.
10.解析：（1）连接BD，.
，F分别为AD，AB的中点，
在中，且.
同理，且.
又在正方体中，，
四边形为平行四边形，
且，.
（2）取的中点M，连接BM，，则.
又，，
四边形为平行四边形，.
，分别为，的中点，，
而，且，
四边形为平行四边形，.
又，.
同理.
与的两边分别对应平行，即，且方向都相反，.

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