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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
学案
一、学习目标
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念；
2. 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题；
二、基础梳理
1. 方差的概念：我们称_____________为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为_________.
2. 方差的简化计算：_____________.
3. 方差的性质：_____________.
三、巩固练习
1.已知离散型随机变量X的分布列如下，则( )
X 0 2 4
P
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为( )
X 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A.3.56 B. C.3.2 D.
3.已知随机变量Y，X之间的关系为，且，则( )
A.7 B.17 C.28 D.63
4.若随机变量X满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知离散型随机变量X的分布列为：
X a 2 6
P b
若，则( )
A.3 B.9 C.12 D.36
6.有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示：
甲
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙
分数X 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定
B.甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定
C.甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定
D.甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定
7.随机变量X的可能取值为0，1，2，，则________.
8.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若，则____________.
9.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
.
（1）求；
（2）若，求.
10.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率；
（2）求的分布列、期望和方差.
答案解析
基础梳理
；
巩固练习
1.答案：B
解析：由已知得，
所以.故选B.
2.答案：D
解析：易知，解得，
，
，
的标准差为.故选D.
3.答案：C
解析：，
.故选C.
4.答案：B
解析：.故选B.
5.答案：D
解析：由题意可得，解得，
由数学期望公式得，解得，
由方差公式得.
由方差的性质可得.故选D.
6.答案：C
解析：，
，
，
，
，，
甲与乙成绩的均值一样，甲成绩的方差较小，因此甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定.故选C.
7.答案：1
解析：设，其中，
则，
，
，
解得（舍去），
因此，.
8.答案：
解析：由题意，知，得，
所以，
，
，
所以，
所以.
9.答案：（1）由题意可得，解得.
又，
，
.
（2），
.
10.答案：（1）“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
，
.
（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元，得到对应的事件的概率，
，
，
，
故的分布列为
200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
期望.
方差.

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