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抛物线
一、学习要求
1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的简单性质，能利用抛物线的定义，进行到焦点距离和到准线距离间的转化．
二、课前预习
1．抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点坐标为_(－p, 0)_，准线的方程为_x＝p_．
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为_(0, －2)_，准线的方程为_y＝2_．
3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，并经过点P（－6，－3）的抛物线方程是_x2＝－12y或y2＝－x_．
4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__．
5．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（如图所示），交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_y2＝3x_．
解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得＝，而点B到准线的距离为|BF|，则l与准线的夹角为30°，∴直线l的倾斜角为60°．由|AF|＝3得cos60°＝，∴p＝，故抛物线方程为y2＝3x．
【知识与方法】
1．抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹．其中F为抛物线的焦点，l是抛物线的准线．
抛物线的定义我们经常用来直接解题，特别是在遇到与焦点有关的问题时．
2．抛物线的标准方程与几何性质:
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px（p＞0） x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
离心率 e＝1
焦点半径 设点P的坐标为(x1，y1)，则
|PF|＝|x1|＋ |PF|＝|y1|＋
三、典型例题
例1设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．
解：由抛物线方程知焦点F(, 0)，∴直线l为y＝2(x－)，与y轴交点A(0, －)．
∴S△OAF＝·|OA|·|OF|＝·|－|·||＝4．
∴a2＝64，a＝±8，故y2＝±8x．
∴抛物线的方程为y2＝±8x．
【小结】
例2抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为－的点到焦点F的距离为2．
（1）求p的值；
（2）过抛物线C的焦点F，作相互垂直的两条弦AB和CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
解：（1）由已知得2＝＋，解得p＝1．
（2）由（1）知F(, 0)，显然直线AB的斜率存在且k≠0，
设直线AB：y＝k(x－)，与y2＝2x联立得：k2x2－(2＋k2)x＋＝0（k≠0），
满足Δ＞0，即k2＋1＞0恒成立．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1＋x2＝，k∈R，k≠0，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋1＝＋1＝2＋．
根据CD⊥AB，则可设直线CD：y＝－(x－)，与y2＝2x联立，同理可得|CD|＝2＋2k2，
所以|AB|＋|CD|＝4＋＋2k2≥4＋2＝8，
当且仅当＝2k2，即k＝±1时，|AB|＋|CD|取得最小值8．
【小结】
例3已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点A(m，4)到其焦点的距离为．
（1）求p与m的值；
（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
解：(1)由抛物线的定义，得4－(－)＝，
又m2＝8p，所以p＝，m＝±2.
(2)由p＝，得抛物线的方程为y＝x2.
由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0.
设直线PQ的方程为：y－t2＝k(x－t)，k≠0，
令y＝0，得M(t－，0)．
解方程组得Q(k－t，(k－t)2)．
由NQ⊥PQ，得直线NQ的方程为：y－(k－t)2＝－(x＋t－k)，
解方程组得N(t－k－，(t－k－)2)．
于是抛物线C在点N处的切线方程为
y－(t－k－)2＝2(t－k－)(x＋k＋－t)．　①
将点M的坐标代入①，得
(t－k－)(k＋＋t－)＝0，　②
当t－k－＝0时，t＝k＋>0，
故k>0，此时，t＝k＋≥2 ＝2；
当t－k－≠0时，
由②得k＋＋t－＝0，
即k2＋tk＋1－2t2＝0，
此时，Δ＝9t2－4≥0.
因为t>0，所以t≥.
当t＝时，k＝－，P(，)，Q(－1,1)，N(4,16)，符合题意．
综上，t的最小值为.
【小结】
抛物线习题课
1．抛物线y2＝12x的内接正三角形的一个顶点恰好是抛物线的顶点，则三角形的面积为_432_．
2．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__．
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为_4_．
4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_②⑤_．（要求填写合适条件的序号）
5．长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，线段AB的中点为M，则点M横坐标的最小值为__．
6．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆方程是_x2＋y2－x－2y＋＝0或x2＋y2－x＋2y＋＝0_．
7．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是_(1，1) ．
8．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_(－∞, －)∪(, ＋∞)_．
解析：由两点式直线方程得AB的方程为y＝x－1，代入抛物线C的方程得2x2－x＋1＝0，由Δ＝－8＜0得t2＞2，则t∈(－∞, －)∪(, ＋∞)．
9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的另一个交点为B．若＝，则p＝ 2 ．
10．抛物线y2＝8x的焦点为F，A(4， －2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小时，则M点的坐标 (，－2) ，当|MA－MF|为最大时，则M点的坐标_(6＋4，－4－4)，(6－4，4－4) ．
11．已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，求|MN|的最小值．
解：如图，设P(x，y)，C为圆心，则根据圆的切线的性质可知，PC垂直平分MN，且CM与PM，CN与PN分别垂直，则S△PMC＝×1×|PM|＝|PM|，又S△PMC＝×|PC|×|MN|＝|PC|·|MN|，
所以|MN|＝，则
|MN|2＝＝＝＝4(1－)＝4[1－]，
所以当x＝2时，|MN|有最小值.
12．抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)（x1＞x2，y1＞0，y2＜0）在抛物线上，且存在实数λ，使＋λ＝0，||＝.
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
解：（1）抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，F(1, 0)．
∵＋λ＝0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||＝x1＋x2＋2．
由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB：y＝k(x－1)，而k＝，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0．
由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0．
∴
||＝x1＋x2＋2＝＋2＝，
∴k2＝．从而k＝，
故直线AB的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0．
（2）由求得A(4, 4)，B(，－1)．
设△AOB的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋H＝0，则
解得
故△AOB的外接圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）设点C是抛物线上的一动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．
解：（1）由题意，得＋4＝5，∴p＝2，∴抛物线标准方程为y2＝4x．
（2）证明：设圆心C的坐标为(, y0)，半径为r．
∵圆心C在y轴上截得的弦长为4，
∴r2＝4＋()2，故圆心C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝4＋()2，
即(1－)y02－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0， ①
对于任意的y0∈R，方程①均成立，故有
eq \b\lc\{(\a\al(1－，,－2y＝0，,x2＋y2＝4，))解得
所以圆C过定点(2, 0)．
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抛物线
一、学习要求
1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的简单性质，能利用抛物线的定义，进行到焦点距离和到准线距离间的转化．
二、课前预习
1．抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点坐标为__，准线的方程为_ _．
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为__，准线的方程为_ _．
3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，并经过点P（－6，－3）的抛物线方程是_ _．
4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__．
5．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（如图所示），交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_ _．
【知识与方法】
1．抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹．其中F为抛物线的焦点，l是抛物线的准线．
抛物线的定义我们经常用来直接解题，特别是在遇到与焦点有关的问题时．
2．抛物线的标准方程与几何性质:
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px（p＞0） x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
离心率 e＝1
焦点半径 设点P的坐标为(x1，y1)，则
|PF|＝|x1|＋ |PF|＝|y1|＋
三、典型例题
例1设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．
例2抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为－的点到焦点F的距离为2．
（1）求p的值；
（2）过抛物线C的焦点F，作相互垂直的两条弦AB和CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
例3已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点A(m，4)到其焦点的距离为．
（1）求p与m的值；
（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
抛物线习题
1．抛物线y2＝12x的内接正三角形的一个顶点恰好是抛物线的顶点，则三角形的面积为__．
2．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__．
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为__．
4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为y2=10x的条件是__．（要求填写合适条件的序号）
5．长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，线段AB的中点为M，则点M横坐标的最小值为__．
6．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆方程是_ _．
7．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是_ ．
8．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是__．
9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的另一个交点为B．若＝，则p＝ ．
10．抛物线y2＝8x的焦点为F，A(4， －2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小时，则M点的坐标 ，当|MA－MF|为最大时，则M点的坐标_
11．已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别为M、N，求|MN|的最小值．
12．抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)（x1＞x2，y1＞0，y2＜0）在抛物线上，且存在实数λ，使＋λ＝0，||＝.
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）设点C是抛物线上的一动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．
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