抛物线(知识梳理+试题)学案

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抛物线(知识梳理+试题)学案

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抛物线
一、学习要求
1.掌握抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;
2.掌握抛物线的简单性质,能利用抛物线的定义,进行到焦点距离和到准线距离间的转化.
二、课前预习
1.抛物线y2=-4px(p>0)的焦点坐标为_(-p, 0)_,准线的方程为_x=p_.
2.抛物线y=-x2的焦点坐标为_(0, -2)_,准线的方程为_y=2_.
3.顶点在原点,对称轴为坐标轴,并经过点P(-6,-3)的抛物线方程是_x2=-12y或y2=-x_.
4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__.
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_y2=3x_.
解析:点F到抛物线准线的距离为p,又由|BC|=2|BF|得=,而点B到准线的距离为|BF|,则l与准线的夹角为30°,∴直线l的倾斜角为60°.由|AF|=3得cos60°=,∴p=,故抛物线方程为y2=3x.
【知识与方法】
1.抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹.其中F为抛物线的焦点,l是抛物线的准线.
抛物线的定义我们经常用来直接解题,特别是在遇到与焦点有关的问题时.
2.抛物线的标准方程与几何性质:
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
准线方程 x=- x= y=- y=
离心率 e=1
焦点半径 设点P的坐标为(x1,y1),则
|PF|=|x1|+ |PF|=|y1|+
三、典型例题
例1设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,求抛物线的方程.
解:由抛物线方程知焦点F(, 0),∴直线l为y=2(x-),与y轴交点A(0, -).
∴S△OAF=·|OA|·|OF|=·|-|·||=4.
∴a2=64,a=±8,故y2=±8x.
∴抛物线的方程为y2=±8x.
【小结】
例2抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为-的点到焦点F的距离为2.
(1)求p的值;
(2)过抛物线C的焦点F,作相互垂直的两条弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.
解:(1)由已知得2=+,解得p=1.
(2)由(1)知F(, 0),显然直线AB的斜率存在且k≠0,
设直线AB:y=k(x-),与y2=2x联立得:k2x2-(2+k2)x+=0(k≠0),
满足Δ>0,即k2+1>0恒成立.
设A(x1, y1),B(x2, y2),则x1+x2=,k∈R,k≠0,
则|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+1=+1=2+.
根据CD⊥AB,则可设直线CD:y=-(x-),与y2=2x联立,同理可得|CD|=2+2k2,
所以|AB|+|CD|=4++2k2≥4+2=8,
当且仅当=2k2,即k=±1时,|AB|+|CD|取得最小值8.
【小结】
例3已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.
(1)求p与m的值;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.
解:(1)由抛物线的定义,得4-(-)=,
又m2=8p,所以p=,m=±2.
(2)由p=,得抛物线的方程为y=x2.
由题意可知,直线PQ的斜率存在且不为0.
设直线PQ的方程为:y-t2=k(x-t),k≠0,
令y=0,得M(t-,0).
解方程组得Q(k-t,(k-t)2).
由NQ⊥PQ,得直线NQ的方程为:y-(k-t)2=-(x+t-k),
解方程组得N(t-k-,(t-k-)2).
于是抛物线C在点N处的切线方程为
y-(t-k-)2=2(t-k-)(x+k+-t). ①
将点M的坐标代入①,得
(t-k-)(k++t-)=0, ②
当t-k-=0时,t=k+>0,
故k>0,此时,t=k+≥2 =2;
当t-k-≠0时,
由②得k++t-=0,
即k2+tk+1-2t2=0,
此时,Δ=9t2-4≥0.
因为t>0,所以t≥.
当t=时,k=-,P(,),Q(-1,1),N(4,16),符合题意.
综上,t的最小值为.
【小结】
抛物线习题课
1.抛物线y2=12x的内接正三角形的一个顶点恰好是抛物线的顶点,则三角形的面积为_432_.
2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__.
3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为_4_.
4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_②⑤_.(要求填写合适条件的序号)
5.长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,线段AB的中点为M,则点M横坐标的最小值为__.
6.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆方程是_x2+y2-x-2y+=0或x2+y2-x+2y+=0_.
7.抛物线y=x2上的点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是_(1,1) .
8.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是_(-∞, -)∪(, +∞)_.
解析:由两点式直线方程得AB的方程为y=x-1,代入抛物线C的方程得2x2-x+1=0,由Δ=-8<0得t2>2,则t∈(-∞, -)∪(, +∞).
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的另一个交点为B.若=,则p= 2 .
10.抛物线y2=8x的焦点为F,A(4, -2)为一定点,在抛物线上找一点M,当MA+MF为最小时,则M点的坐标 (,-2) ,当|MA-MF|为最大时,则M点的坐标_(6+4,-4-4),(6-4,4-4) .
11.已知P是抛物线y2=2x上的一个动点,过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线,切点分别为M、N,求|MN|的最小值.
解:如图,设P(x,y),C为圆心,则根据圆的切线的性质可知,PC垂直平分MN,且CM与PM,CN与PN分别垂直,则S△PMC=×1×|PM|=|PM|,又S△PMC=×|PC|×|MN|=|PC|·|MN|,
所以|MN|=,则
|MN|2====4(1-)=4[1-],
所以当x=2时,|MN|有最小值.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且存在实数λ,使+λ=0,||=.
(1)求直线AB的方程;
(2)求△AOB的外接圆的方程.
解:(1)抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,F(1, 0).
∵+λ=0,∴A,B,F三点共线.由抛物线的定义,得||=x1+x2+2.
由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,
设直线AB:y=k(x-1),而k=,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0.
由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.

||=x1+x2+2=+2=,
∴k2=.从而k=,
故直线AB的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0.
(2)由求得A(4, 4),B(,-1).
设△AOB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+H=0,则
解得
故△AOB的外接圆的方程为x2+y2-x-y=0.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)设点C是抛物线上的一动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点.
解:(1)由题意,得+4=5,∴p=2,∴抛物线标准方程为y2=4x.
(2)证明:设圆心C的坐标为(, y0),半径为r.
∵圆心C在y轴上截得的弦长为4,
∴r2=4+()2,故圆心C的方程为(x-)2+(y-y0)2=4+()2,
即(1-)y02-2yy0+(x2+y2-4)=0, ①
对于任意的y0∈R,方程①均成立,故有
eq \b\lc\{(\a\al(1-,,-2y=0,,x2+y2=4,))解得
所以圆C过定点(2, 0).
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抛物线
一、学习要求
1.掌握抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;
2.掌握抛物线的简单性质,能利用抛物线的定义,进行到焦点距离和到准线距离间的转化.
二、课前预习
1.抛物线y2=-4px(p>0)的焦点坐标为__,准线的方程为_ _.
2.抛物线y=-x2的焦点坐标为__,准线的方程为_ _.
3.顶点在原点,对称轴为坐标轴,并经过点P(-6,-3)的抛物线方程是_ _.
4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__.
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_ _.
【知识与方法】
1.抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹.其中F为抛物线的焦点,l是抛物线的准线.
抛物线的定义我们经常用来直接解题,特别是在遇到与焦点有关的问题时.
2.抛物线的标准方程与几何性质:
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
准线方程 x=- x= y=- y=
离心率 e=1
焦点半径 设点P的坐标为(x1,y1),则
|PF|=|x1|+ |PF|=|y1|+
三、典型例题
例1设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,求抛物线的方程.
例2抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为-的点到焦点F的距离为2.
(1)求p的值;
(2)过抛物线C的焦点F,作相互垂直的两条弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.
例3已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.
(1)求p与m的值;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.
抛物线习题
1.抛物线y2=12x的内接正三角形的一个顶点恰好是抛物线的顶点,则三角形的面积为__.
2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__.
3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为__.
4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是__.(要求填写合适条件的序号)
5.长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,线段AB的中点为M,则点M横坐标的最小值为__.
6.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆方程是_ _.
7.抛物线y=x2上的点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是_ .
8.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是__.
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的另一个交点为B.若=,则p= .
10.抛物线y2=8x的焦点为F,A(4, -2)为一定点,在抛物线上找一点M,当MA+MF为最小时,则M点的坐标 ,当|MA-MF|为最大时,则M点的坐标_
11.已知P是抛物线y2=2x上的一个动点,过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线,切点分别为M、N,求|MN|的最小值.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且存在实数λ,使+λ=0,||=.
(1)求直线AB的方程;
(2)求△AOB的外接圆的方程.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)设点C是抛物线上的一动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点.
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