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万有引力章末复习
第I卷（选择题）
一、单选题
1．“天问一号“预计于2021年5月中旬着陆火星，着陆前在离火星表面一定高度处的圆轨道上做匀速圆周运动并做相关探测，若“天问一号“在圆轨道上做圆周运动的周期为T。“天问一号”与火星中心连线在单位时间内扫过的面积为S，则圆轨道的半径为（　　）
A． B． C． D．
2．2020年12月1日23时11分，肩负到月球“挖土”使命的“嫦娥五号”探测器成功着陆在月球正面西经51.8度、北纬43.1度附近的预选着陆区，并传回如图所示的着陆影像图。若将月球视为质量分布均匀的球体，其质量为、半径为，“嫦娥五号”探测器质量为，引力常量为，则此时月球对“嫦娥五号”探测器的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2．则（ ）
A． B． C． D．
4．在离地面高度等于地球半径的2倍高处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度大小的( )
A．2倍 B．1倍 C． D．
5．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比（　　）
A．1：36 B．1：6 C．36：1 D．6：1
6．天问一号于2021年2月10日实施火星捕获，将于2021年5月择机实施降轨软着陆火星表面。设天问一号距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为（　　）
A． B． C． D．
7．2019年6月25日2时09分，我国在西吕卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第46颗北斗导航卫星。目前已有46颗卫星在轨运行，其每一颗卫星运动的周期会因轨道半径的不同而不同，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的轨道半径r与周期T作出如图所示图像，则可求得地球平均密度为（已知引力常量为G，地球的半径为R）（　　）
A． B． C． D．
8．物体做曲线运动时，在某点附近极短时间内的运动可以看作是圆周运动，圆周运动的半径为该点的曲率半径。已知椭圆长轴端点处的曲率半径公式为ρ=，其中r1和r2分别是长轴的两个端点到焦点F的距离（如图甲）。如图乙，卫星在椭圆轨道Ⅰ上运行，运行到远地点A时，速率为v1，之后变轨进入轨道Ⅱ做速率为v2的匀速圆周运动。若椭圆轨道近地点位于地球表面附近，远地点到地心的距离是R'，地球半径为R，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB．O为两星体连线的中点，如图，一个质量为M的物体从O沿OA方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小,后增大 D．先增大，后减小
10．2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下，成功被“日地L1点”捕获，成为我国首颗进入“日地L1点”探测轨道的航天器。“日地L1点”全称为“拉格朗日L1点”，位于太阳与地球的连线之间，距离地球大约150万公里。在这个位置上，嫦娥五号可以在太阳和地球引力的共同作用下，和地球一起以相同的周期绕太阳做匀速圆周运动，可以不间断地观测太阳和地球的向阳面。则绕日运行时地球的向心加速度a1和嫦娥五号的向心加速度a2的大小关系是（　　）
A．a1>a2 B．a111．某宇航员在某星球表面，将一质量为m的小球由静止释放，小球做自由落体运动，测得小球下落高度为h，所用的时间为t，若该星球的半径为R，万有引力常量为G，则该星球的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．木星的卫星中有4颗是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为1：2：4．小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期T，它收集到了如下一些数据。木卫二的数据：质量为m1=4.8×1022kg、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为r1=6.7×108m．木星的数据：质量为m2=1.9×1027kg、半径为r2=7.1×107m、自转周期为T1=9.8h．但他不知道怎样做，请你帮助他选出计算木卫二绕木星运动的周期的计算公式（　　）
A．T=T1 B．T=
C．T= D．T=
13．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次
14．2019年12月7日，“长征三号”运载火箭在中国文昌发射场发射升空，将卫星送入预定轨道。图为该卫星绕地球运动示意图，测得卫星在t时间内沿逆时针从P点运动到Q点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，则该卫星运动的（　　）
A．线速度为 B．周期为
C．向心加速度为 D．轨道半径为
15．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费了三十名研究人员将近一年的时间，用数千名计算机精确模拟和得以呈现，让我们看到了迄今黑洞最真实的模样。若某黑洞的半径约为，质量和半径的关系满足（其中光速，为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度约为（ ）
A． B． C． D．
16．已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，地球自转周期为，万有引力常量为，则（　　）
A．周期为的人造地球卫星的运行轨道一定在赤道平面内
B．可求得地球的质量为
C．可求得同步卫星的向心加速度为
D．可求得同步卫星的轨道半径为
17．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为1/20，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A．1/10 B．1 C．5 D．10
18．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为（ ）
A．2:1 B．4:1 C．8:1 D．16:1
19．在2013年的下半年，我国已实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是(　　)
A． B． C． D．
20．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（　　）
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
21．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以、分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．
22．已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为和，则 ：约为　　
A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1
二、多选题
23．假如地球的自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是(　　)
A．放在赤道上的物体的万有引力不变
B．放在两极上的物体的重力不变
C．放在赤道上的物体的重力减小
D．放在两极上的物体的重力增加
24．人造卫星离地面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动。周期为T，设地面的重力加速度为g，则有（　　）
A． B． C． D．
25．引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星之间的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则（　　）
A．P、Q两颗星的向心力大小相等
B．P、Q两颗星的线速度之差为
C．P、Q两颗星的质量之差为
D．P、Q两颗星的质量之和为
26．在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v-t图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是（　　）
A．星球P和星球Q的质量之比为3∶1
B．星球P和星球Q的密度之比为1：1
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为3∶1
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶3
27．我国于2020年7月成功发射火星探测器“天问1号”，预计“天问1号”经过10个月左右的飞行将到达火星，着陆火星表面并进行巡视探测。假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，已知地球半径与火星半径之比为b。不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力。下列说法正确的是：（　　）
A．地球绕太阳运动周期的平方与火星绕太阳运动周期的平方之比为b3
B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为a：1
C．地球与火星的质量之比为b2：a
D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为
28．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，卫星甲、乙、丙在如图所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲和乙的运行轨道在P点相切，以下说法中正确的是（　　）
A．如果地球自转的角速度突然变为原来的倍，那么赤道上的物体将会“飘”起来
B．卫星甲、乙经过P点时的加速度大小相等
C．卫星甲的周期最小
D．三个卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度
29．极地卫星是一种特殊的人造地球卫星，其轨道平面与赤道平面的夹角为90°，极地卫星运行时能到达地球南极和北极区域的上空．若某极地卫星从北极正上方运行至赤道正上方的最短时间为3h，认为卫星做匀速圆周运动，下列说法正确的是
A．该卫星的加速度小于9.8m/s2 B．该卫星的环绕速度大于7.9km/s
C．该卫星每隔12h经过北极的正上方一次 D．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径相等
30．我国计划发射“嫦娥五号”探月卫星，执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨，进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面。下列说法正确的是（　　）
A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时，所需的发射速度为7.9 km/s
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时需要加速
C．“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其速率先减小后增大
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
31．2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出其飞行周期T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法正确的是（　　）
A．嫦娥五号绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度为
32．地球同步卫星距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R,地球自转的角速度为ω，那么下列表达式表示同步卫星绕地球转动的线速度正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为，两星到某一共同圆心的距离分别为和，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系正确的是( )
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为
C．这两颗恒星的质量之比为
D．其中必有一颗恒星的质量为
34．其实地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们作出了不懈努力．如图所示，1767年欧拉推导出、、三个位置，1772年拉格朗日又推导出、两个位置．现在科学家把、、、、统称地月系中的拉格朗日点．中国嫦娥四号探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉朗日区的嫦娥四号中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是（ ）
A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律
B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同
C．嫦娥四号中继卫星“鹊桥”应选择点开展工程任务实验
D．嫦娥四号中继卫星“鹊桥”应选择点开展工程任务实验
35．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径错误的是（　　）
A． B． C． D．
36．如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra：rb＝1：4，则下列说法中正确的有（　　）
A．a、b运动的周期之比为Ta：Tb＝1：8
B．a、b运动的周期之比为Ta：Tb＝1：4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
37．2018年2月6日，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是（ ）
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度等于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率
第II卷（非选择题）
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三、解答题
38．如图所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
(1)A的线速度大小v1；
(2)A、B的角速度之比ω1∶ω2.
39．我国月球探测计划“嫦娥工程”已启动，科学家对月球的探索会越来越深入。
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0水平抛出一个小球，经过时间t，小球速度和水平方向成45°角。已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月。
40．2019年1月3日，嫦娥四号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地冯·卡门撞击坑的预选着陆区，月球车“玉兔二号”到达月面开始巡视探测。作为世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器，其主要任务是继续更深层次更加全面地科学探测月球地质、资源等方面的信息，完善月球的档案资料。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，月球质量与地球质量之比为k，月球半径与地球半径之比为q，求：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球平均密度与地球平均密度之比；
(3)月球上的第一宇宙速度与地球上第一宇宙速度之比。
41．一宇航员在半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为l的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在O点，当小球绕O点在竖直面内做圆周运动通过最高点速度为v0，绳的弹力为零。不计小球的尺寸，已知引力常量为G，求：
(1)该行星表面的重力加速度；
(2)该行星的第一宇宙速度；
(3)该行星的平均密度。
42．学完了万有引力定律及航天知识后，两位同学在探究学习时，一位同学设想可以发射一颗周期为1 h的人造环月卫星，而另一位同学表示不可能有这种卫星。这两位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他们记得月球半径为地球半径的，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×103 km，地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2。经过推理，他们认定不可能有周期为1 h的人造环月卫星，试写出他们的论证方案。
43．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝4R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：
（1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（3）飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
44．2018年12月27日，我国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统是由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共35颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。
（1）求该同步卫星绕地球运动的线速度v的大小；
（2）如图所示，O点为地球的球心，P点处有一颗地球同步卫星，P点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h=5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星。（cos81°≈0.15，sin81°≈0.99）
45．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量G已知，求：
（1）A星体所受合力的大小FA；
（2）B星体所受合力的大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
46．所谓“双星系统”，是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星体A和B，如图所示若忽略其他星体的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T，月地间距离为L，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量；
（2）月球的质量。
47．如图所示是月亮女神、嫦娥号绕月亮做圆周运动时某时刻的图片，用、、、分别表示月亮女神和嫦娥号的轨道半径及周期，用表示月亮的半径．
（）请用万有引力知识证明：它们遵循，其中是只与月球质量有关而与卫星无关的常量；
（）再经多少时间两卫星第一次相距最远；
（）请用嫦娥号所给的已知量，估测月球的平均密度．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
【详解】
设圆轨道半径为，由题意可知
则
所以A正确；BCD错误；
故选A。
2．A
【解析】
【分析】
【详解】
由万有引力定律可得，月球对“嫦娥五号”探测器的万有引力大小为
故选A。
3．A
【解析】
【详解】
根据万有引力提供向心力，解得，a、b到地心O的距离分别为，所以，A正确．
4．C
【解析】
【详解】
设地球的半径为R，质量为M，物体的质量为m，根据万有引力等于重力，得在地面
离地心高度处
联立解得
故选C．
点睛：不考虑地球自转的影响，认为重力和万有引力相等，对地面和高处分别列式，即可求解．
5．C
【解析】
【详解】
在地球表面附近重力与万有引力近似相等，则有
解得
所以
选项C正确，ABD错误。
故选C。
6．C
【解析】
【分析】
【详解】
当卫星环绕地球做半径为r的圆周运动时，万有引力提供向心力，有
又地球的质量为
轨道半径为
联立可得
ABD错误，C正确。
故选C。
7．C
【解析】
【详解】
根据
可得
地球平均密度为
结合题图可得
解得
故C正确，ABD错误。
故选C。
8．A
【解析】
【详解】
由题意可知，椭圆轨道A点处的曲率半径为
卫星在轨道Ⅰ上运动到A点时，根据牛顿第二定律有
卫星在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动时，有
联立得
A正确，B、C、D错误。
故选A。
9．D
【解析】
【详解】
利用极限法，物体在O点时引力为零，无穷远引力也接近零，在OA之间引力合理不为零，所以它受到的万有引力大小变化情况是：先增大，后减小．
10．A
【解析】
【分析】
【详解】
嫦娥五号可以在太阳和地球引力的共同作用下，和地球一起以相同的周期绕太阳做匀速圆周运动，角速度相同，但地球半径大，根据
可知
a1>a2
故选A。
11．B
【解析】
【详解】
小球下落的过程中根据自由落体运动规律有
解得
质量为m的物体，在星球表面，星球对它的引力等于其重力，有
解得星球质量
故B正确，ACD错误。
故选B。
12．B
【解析】
【分析】
【详解】
木卫二绕木星运动，根据万有引力提供向心力有
解得
故选B。
13．C
【解析】
【详解】
宇宙飞船轨道半径为r1=4200km+6400km=10600km，地球同步卫星轨道半径为r2=36000km+6400km=42400km，r2="4" r1.根据开普勒第三定律，地球同步卫星为宇宙飞船周期的8倍．从二者相距最远时刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为7次，选项C正确．
14．A
【解析】
【详解】
AD．由牛顿第二定律
解得
A正确，D错误；
B．由 和 得， ，B错误；
C．由
解得，C错误。
故选A。
15．C
【解析】
【详解】
ABCD．黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为，对黑洞表面某一质量为的物体，有
又有
联立解得
代入数据得重力加速度约为
ABD错误C正确。
故选C。
16．D
【解析】
【详解】
A.卫星的轨道平面一定过地心，但轨道不一定在赤道平面内，故A错误；
B.设地球的质量为M，则同步卫星所受万有引力等于向心力，即
解得
其中r是同步卫星的轨道半径，故B错误；
CD.设同步卫星的轨道半径为r，则根据牛顿第二定律有
将B选项分析中M的表达式代入可得
所以同步卫星的向心加速度为
故C错误，D正确。
故选D。
17．B
【解析】
【详解】
研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：
，解得； “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1/20，所以该中心恒星与太阳的质量比约为 ，故选B．
点睛：要求解一个物理量大小变化，我们应该把这个物理量先表示出来，再根据已知量进行判断．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
18．C
【解析】
【分析】
【详解】
设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=4R，根据开普勒定律，可得
==64
所以P与Q的周期之比为
TP∶TQ=8∶1
ABD错误，C正确。
故选C正确。
19．B
【解析】
【详解】
根据题意得：卫星运行的角速度;由几何知识可知弧长S=rθ, 所以
设月球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力则得
解得：故选B．
20．A
【解析】
【详解】
A．同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据万有引力定律和牛顿第二定律 可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，选项A正确；
BCD．而此时万有引力减小，所以向心加速度减小、线速度减小，角速度减小，故选项BCD错误．
21．D
【解析】
【详解】
因空间站建在拉格朗日点，故周期等于月球的周期，根据可知，a2>a1；对空间站和地球的同步卫星而言，因同步卫星周期小于空间站的周期则，同步卫星的轨道半径较小，根据可知a3>a2，故选项D正确．
【点睛】
此题考查了万有引力定律的应用；关键是知道拉格朗日点与月球周期的关系以及地球同步卫星的特点．
22．A
【解析】
【详解】
设月球质量为，半径为，地球质量为M，半径为R．
已知，，
根据万有引力等于重力得：
则有：
因此…①
由题意从同样高度抛出，…②
联立①、②解得：
在地球上的水平位移
在月球上的；
因此得到：，故A正确，BCD错误．
点睛：根据万有引力等于重力，求出月球表面重力加速度和地球表面重力加速度关系，运用平抛运动规律求出两星球上水平抛出的射程之比．
23．ABC
【解析】
【详解】
地球自转速度增大，则物体随地球自转所需向心力增大。
A．地球的质量和半径都没有变化，故对赤道上物体的万有引力大小保持不变，故A正确；
BD．地球绕地轴转动，在两极点，物体转动半径为0，转动所需向心力为0，此时物体的重力与万有引力相等，故自转速度增大两极点的重力保持不变，故B正确，D错误；
C．赤道上的物体重力和向心力的合力等于物体受到的万有引力，因万有引力不变，自转速度增大时所需向心力增大，故物体的重力将减小，故C正确。
故选ABC。
24．AD
【解析】
【分析】
【详解】
AB．根据万有引力提供向心力得
在地球表面根据万有引力等于重力
联立解得
故A正确，B错误；
CD．根据万有引力提供向心力得
在地球表面根据万有引力等于重力
联立解得
故D正确，C错误。
故选AD。
25．AC
【解析】
【详解】
A．双星系统中的两颗星体靠相互间的万有引力提供向心力，故向心力大小相等，A正确；
B．设P、Q两星的轨道半径分别为rP、rQ，由万有引力提供向心力，有
G=mPrP
G=mQrQ
又
rQ+rP=l
rP-rQ=Δr
联立得
rP=，rQ=
由v=得
vP=，vQ=
故
Δv=
B错误；
C．联立得
mQ=，mP=
所以
Δm=
C正确；
D．联立得
G（rQ+rP）
解得
mQ+mP=
D错误。
故选AC。
26．BC
【解析】
【分析】
【详解】
根据v-t图像的斜率表示加速度，可是两星球表面重力加速度之比为
A．根据
可得
得到，故A错误；
B．由
联立可得
得到，故B正确；
C．由
联立上面式子得到
得出星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为，故C正确；
D．由
可得
得出，故D错误。
故选BC。
27．CD
【解析】
【分析】
【详解】
A．根据开普勒第三定律得
变形后得
地球和火星绕太阳公转的半径未知，故无法知道他们绕太阳公转周期之比，A错误；
B．竖直上抛物体，有
所以有
B错误；
C．在星球表面有
解得
所以有
C正确；
D．近地卫星的速度即为第一宇宙速度，所以有
解得
所以有
D正确。
故选CD。
28．AB
【解析】
【详解】
A．物体在赤道上随地球自转时，对物体有
物体“飘”起来时，仅受万有引力，有
结合
a=ω2R
可得地球自转的角速度突然变为原来的倍时，赤道上的物体会“飘”起来。故A正确；
B．根据公式
可知卫星在同一位置其加速度相同。故B正确；
C．根据开普勒第三定律，有
可知卫星丙轨道的半长轴最小，则其周期最小。故C错误；
D．假设一卫星沿经过丙卫星轨道上远地点（设为Q点）的圆轨道运行，则此卫星的速度一定小于第一宇宙速度，而如果此卫星从Q点变轨进入丙卫星的椭圆轨道，需减速，由以上分析知三个卫星在远地点的速度均小于第一宇宙速度，故D错误。
故选AB。
29．AC
【解析】
【详解】
A．人造地球卫星的加速度小于地球表面的重力加速度，故A正确；
B．卫星环绕地球做圆周运动的速度小于第一宇宙速度，故B不正确；
C．卫星从北极正上方运行至赤道正上方的最短时间为运动周期的，所以卫星运行的周期为12h，故C正确；
D．同步卫星的周期是24h，因此该卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，故D不正确．
30．BC
【解析】
【详解】
A．7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，也是将卫星从地面发射到近地圆轨道的最小发射速度，而月球的第一宇宙速度比地球的小得多，故将卫星发射到近月轨道Ⅰ上的发射速度比7.9 km/s小得多，故A错误；
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时做离心运动，因此需要加速，故B正确；
C．“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中，开始时月球的引力大于地球的引力，“嫦娥五号”做减速运动，当地球的引力大于月球的引力时，“嫦娥五号”开始做加速运动，故C正确；
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时做近心运动，因此需要减速，故D错误。
故选BC。
31．ACD
【解析】
【详解】
A．嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径是R+h，则线速度
故A正确；
B．嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得月球的质量
故B错误；
C．设月球的第一宇宙速度为v1，有
联立可得
故C正确；
D．在月球表面有
解得月球表面的重力加速度
故D正确。
故选ACD。
32．ACD
【解析】
【详解】
试题分析：研究同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出线速度大小；也可以根据线速度定义求出线速度大小．
同步卫星与地球同步，做匀速圆周运动，则线速度定义可得：，故A正确；由于地球的引力提供向心力，让同步卫星做匀速圆周运动，则有，解之得，B错误；由黄金代换式，可得，C正确；根据及得：，则，D正确．
33．BCD
【解析】
【详解】
设两颗恒星的质量分别为m1，m2，由万有引力提供向心力得，对m1：
①
对m2：
②
由①得
由②得
所以
③
由①/②得
④
联立④③得
故选BCD。
34．BD
【解析】
【详解】
在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，在地球和月球的万有引力作用下绕地月双星系统的中心做匀速圆周运动，A错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明他们的角速度一样，因此周期也一样，B正确；因嫦娥探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，因此应选在L2点，因L2在月球的背面，所以C错误D正确．
35．BCD
【解析】
【分析】
【详解】
在两极，重力等于万有引力
在赤道，万有引力等于重力和随地球自转的向心力之和
联立可得地球半径为
A正确，不符合题意，BCD错误，符合题意。
故选BCD。
36．AD
【解析】
【详解】
AB．万有引力提供向心力，则有
解得
所以
故B错误，A正确；
CD．设a、b间夹角为，每隔时间t，a、b间夹角为，则每隔时间，a、b、c共线2次，根据几何关系有
所以
故
则从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次。
故C错误，D正确。
故选AD。
37．ABD
【解析】
【分析】
【详解】
ACD．由题意知，Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道，根据万有引力提供向心力，有
G = m
解得
v =
因地球轨道半径小于火星的轨道半径，故地球的线速度大于火星的线速度；而跑车从Ⅰ轨道的A点至Ⅱ轨道的A点时要加速，即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道Ⅰ的线速度，故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率；
同理，若跑车在过C点的圆周上做绕太阳的圆周运动，运动速率小于火星绕日的速度，跑车在C点将做近心运动，则速度比在过C点圆周上绕太阳做圆周运动的速度更小，则跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率，故AD正确，C错误；
B．根据牛顿第二定律得
G = ma
解得
a =
在同一点离太阳的距离一样，故加速度相同，B正确；
故选ABD。
38．(1) ；(2) ；
【解析】
【详解】
(1)设地球质量为M，卫星质量为m，
由万有引力提供向心力，对A有：
在地球表面对质量为m′的物体有：
联立可得：v1＝
(2) 由万有引力提供向心力：
解得
所以A、B的角速度之比：.
39．（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）设地球质量为M，月球绕地球运动的轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，得
在地球表面，有
=mg
联立解得
r=
（2）设月球表面的重力加速度为g月，小球的质量为m，根据题意可知
vy=g月t，tan45°=
在月球表面，有
G=mg月
联立解得
M月=
40．(1)g；(2)；(3)
【解析】
【详解】
(1)“嫦娥四号”在月球表面，由万有引力定律及牛顿第二定律有
G=mg月
“嫦娥四号”在地球表面，有
G=mg
联立得
g月=g
(2)月球密度为
ρ月=
地球密度为
ρ地=
=×=
(3)卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时，有
G=mg月=
则月球上的第一宇宙速度
v1月=
同理，地球上第一宇宙速度
v1地=
可得月球上的第一宇宙速度与地球上第一宇宙速度之比
=
41．(1)；(2)；(3)
【解析】
【分析】
【详解】
(1)小球通过最高点时
解得
(2)对在行星表面附近做匀速圆周运动的质量为m0的卫星，有
解得第一宇宙速度为
(3)对行星表面质量为m1的物体，有
解得行星质量
故行星的密度
解得
42．见解析
【解析】
【详解】
对环月卫星，由万有引力提供向心力，有
=mr
解得T=2π
当r=R月时，T有最小值
在月球表面，物体的重力近似等于万有引力，即
mg月=
可得
Tmin=2π=2π=2π
代入数据解得Tmin=1.73 h
由于环月卫星的最小周期为1.73 h，故不可能有周期为1 h的人造环月卫星。
43．（1）都减速；（2）；（3）
【解析】
【详解】
(1)由高轨道到低轨道，需要出卫星所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速；
(2)由题意可知轨道I的轨道半径为4R，由万有引力提向心力，设飞船的质量为m，运行速率为v，根据牛顿第二定律有
解得
(3)由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R，设运行周期为T，根据牛顿第二定律有
代入月球质量可得
44．（1）；（2）3颗
【解析】
【详解】
（1）设地球同步卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，得
=m
得
v=
（2）如图所示，设P点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ，至少需要N颗地球同步卫星才能覆盖全球
由函数关系可知
cosθ=
其中h=5.6R
得θ=81°
所以一颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ=162°
由于=2.2，N只能取整数
所以N=3，即至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球
45．（1） （2） （3） （4）
【解析】
【详解】
（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
,
则合力大小为
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
则合力大小为
．
可得
（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
46．（1）；（2） -
【解析】
【分析】
【详解】
（1）设地球的质量为m地，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有
G = mg
解得
m地 =
（2）设月球的质量为m月，地球的轨道半径为r1，月球的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力得，对地球
G = m地r1
对月球
G = m月r2
又因为
L = r1 + r2
解得
m地 + m月 =
所以月球的质量
m月 = - m地 = -
47．（）见解析；（）；（）
【解析】
【详解】
（1）设月球的质量为M，对任一卫星均有
得
常量．
（2）两卫星第一次相距最远时有
（3）对嫦娥1号有
M＝πR3ρ
答案第1页，共2页
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万有引力与天体运动
【场景引入】
天体运动中的天体运动参量与轨道半径的关系是我们在卫星这一块经常遇到的一类问题。本专题
解决所有与轨道半径有关的物理量随半径变化关系的问题，以及可以通过轨道半径为中间量解决
的相关物理量之间的关系
教法备注
【试题来源】原创
【难度】
【知识点】
【场景】非题目
【授课时长】5分钟
【教法备注】
第一步：引导学生思考行星运动；
第二步：推导线速度，加速度，角速度，周期等关系。
答案
无
解析
无
第1页（共29页）
2
【知识梳理1】
战
小
地
本
一、开普勒行星运动三大定律基本内容：
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭
圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫
过相等的面积。
3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比
值都相等。即：k二
2
二、万有引力定律
1,内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体
的质量m和m2的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比
2.表达式：F=F=Gm1m,其钟G=6.67×1011Nm2kg2,叫31方常量.它是在牛顿发现万
2
有引力定律一百年后英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的
3.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.但对于不能看做质点的两个质量分布均匀的球体
间的相互作用是适用的，此时是两球心间的距离；另外，对于一个质量分布均匀的球体和球外一
个质点之间的相互作用万有引力定律也适用，其中为球心到质点的距离·
三、应用万有引力定律分析天体运动
1.基本方法：把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，即
g=m心=m2,=m,
72
2.天体质量M、密度p的估算：若测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径和周期T
由Gm=m4,得：M=42，
M
3元3
,2
2
GT2
==403
3
G72o3
其中0为天体的半径，当卫星沿天体表面绕天体运动时，=0，则p=3
12
3.地球同步卫星的特点
第2页（共29页）
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T=24h=86400s
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定：
m
4元2
三m
,得=3
GMT
=4.24×10km,卫星离地面高度h=r-R≈6R(为恒量)
7入2
v4π2
(5)速率一定：运动速度v=2π”=3.08km/5(为恒量)
T
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致
4.双星：
宇宙中会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球较远，因此其它星球对它们的
万有引力可以忽略。这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一点做同周期的匀速圆周运
动，叫做双星。
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀
速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由
F=mw2可得，x上，得方=m:L,2=州L,即固定点离质量大的星较近。
m1+23
7+
(3)公式：
虽=生-他
R v:m
四、极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认
为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心，
五、经典时空观和相对论时空观
1.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的·
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同
的
2.相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的运动速度的增大而增大，用公式表示为=
第3页（共29页）万有引力与天体运动
【场景引入】
天体运动中的天体运动参量与轨道半径的关系是我们在卫星这一块经常遇到的一类问题。本专题
解决所有与轨道半径有关的物理量随半径变化关系的问题，以及可以通过轨道半径为中间量解决
的相关物理量之间的关系
2
【知识梳理1】
战
小为
地
本
一、开普勒行星运动三大定律基本内容：
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭
圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫
过相等的面积。
3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比
值都相等。
即：k=
2
第1页（共13页）
二、万有引力定律
1,内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体
的质量m和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比
2.表达式：F=F=Gm12
,其中G=6.67×1011Nm2kg2,叫引力常量.它是在牛顿发现万
有引力定律一百年后英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的
3.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.但对于不能看做质点的两个质量分布均匀的球体
间的相互作用是适用的，此时是两球心间的距离；另外，对于一个质量分布均匀的球体和球外一
个质点之间的相互作用万有引力定律也适用，其中为球心到质点的距离.
三、应用万有引力定律分析天体运动
1.基本方法：把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，即
GMm=m22=m02=m4
2
2.天体质量M、密度p的估算：若测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径和周期T
由G4=m得：M=4，p=兰=
3元
3
2
T2
GT2
30
72o3
3π
其中ro为天体的半径，当卫星沿天体表面绕天体运动时，=ro,则P=
3.地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T=24h=86400s
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同，
(4)高度一定
cMm=4π2
三m
,得r=3
GMT2
=4.24×10km,卫星离地面高度h=r-R≈6R(为恒量)】
2
(5)速率一定：运动速度v=2πY=3.08km/5(为恒量)
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致
4.双星：
宇宙中会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球较远，因此其它星球对它们的
万有引力可以忽略。这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一点做同周期的匀速圆周运
动，叫做双星。
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀
速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
第2页（共13页）

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