资源简介

复数的概念
学习目标 核心素养
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．（重点） 2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．（重点、难点） 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．（易混点） 通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
【学习过程】
一、预习提问
目前我们所知的最大数集是什么？是否有更大的数集存在？
【提示】一元二次方程在实数范围无解，但是在复数总是有解。
二、合作探究
复数的概念
【例1】（1）给出下列三个命题：①若，则；②的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
（2）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．
（3）下列命题正确的是__________（填序号）．
①若，则的充要条件是，；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析]（1）复数的平方不一定大于0，故①错；的虚部为2，故②错；的实部是0，③正确，故选B.
（2）由题意，得，，所以，.
（3）①由于x，y都是复数，故不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当时，为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[答案]（1）B
（2），5
（3）③
复数的分类
【例2】（1）复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
（2）已知，复数，当m为何值时，
①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？
[思路探究]依据复数的分类列出方程（不等式）组求解．
[解析]（1）要使复数z为纯虚数，则，，.故选D.
[答案]D
（2）①要使z为实数，需满足，且有意义，即，解得.
②要使z为虚数，需满足，且有意义，即，解得且.
③要使z为纯虚数，需满足，且，解得或.
[母题探究]
若把上例（1）中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解]复数z为实数的充要条件是，即，所以.
复数相等的充要条件
[探究问题]
（1）是复数为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要不充分条件．
（2）正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】（1）若，求实数x，y的值；
（2）关于x的方程有实根，求实数a的值．
[思路探究]根据复数相等的充要条件求解．
[解]（1）由复数相等的充要条件，
得，解得．
（2）设方程的实根为，
则原方程可变为，
所以，
解得或.
三、学习小结
（一）复数的概念及分类
1．数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N Z Q R C
2．复数的有关概念
3．复数的分类
（1）复数
（2）集合表示
（二）两个复数相等的充要条件
在复数集中，任取两个复数，，规定与相等的充要条件是且.
四、精炼反馈
1．设集合，，，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
[解析]集合A，B，C的关系如图，可知只有正确．
[答案]D
2．若复数与复数相等，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或
C． D．0或
[解析]由复数相等的条件得
，.
[答案]C
3．复数的实部为________．
[解析]复数，实部为0.
[答案]0
4．已知，，其中，i为虚数单位，若，则m的值为________．
[解析]由题意得，从而，解得．
[答案]
5．已知集合，集合满足，求整数a，b.
[解]依题意得， ①
或， ②
或. ③
由①得，，
由②得，.
③中，A，B无整数解不符合题意．
综上所述得，或，或，.
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