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2023年高考一轮复习学案
第一节　平面向量的概念及线性运算
·最新考纲·
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．
2．掌握向量加、减法运算．理解其几何意义．
3．掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．
·考向预测·
考情分析：平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过向量的线性运算考查数学运算及直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有____________又有________的量；向量的大小叫做向量的______(或________) 平面向量是自由向量
零向量 长度为________的向量；其方向是任意的 记作________
单位向量 长度等于________的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向__________或________的非零向量 0与任一向量________或共线
共线向量 ________________的向量又叫做共线向量
相等向量 长度__________且方向________的向量
相反向量 长度__________且方向________的向量 0的相反向量为0
2.向量的表示方法
(1)字母表示法：如a，等．
(2)几何表示法：用一条____________表示向量．
3．向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 ____________法则 ____________法则 (1)交换律： a＋b＝____________． (2)结合律： (a＋b)＋c＝ ____________．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 ____________法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝________． (2)当λ＞0时，λa与a的方向________；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________ λ(μa)＝______________； (λ＋μ)a＝________________； λ(a＋b)＝________________．
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________．
二、必明2个常用结论
1．三点共线的等价转化
A，P，B三点共线 ＝(λ≠0) ＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) ＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
2．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)向量就是有向线段．(　　)
(2)零向量没有方向．(　　)
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．(　　)
(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．(　　)
(5)若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　)
(二)教材改编
2.
[必修4·P86例4改编]如图， ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
3．[必修4·P87练习T2改编]化简：
(1)()＋＝________；
(2)＝________．
(三)易错易混
4．(对向量相等隐含条件认识不清)若四边形ABCD满足∥且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
5．(两向量的方向关系不清)已知|a|＝2，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[2020·海南卷]若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　平面向量的基本概念　[基础性]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
2．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；②零向量的长度等于0；③若a，b都为非零向量，则使＝0成立的条件是a与b反向共线．
其中错误命题的个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
3．给出下列命题：
①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝，则四边形ABCD为平行四边形；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．
反思感悟　向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
考点二　平面向量的线性运算　[综合性]
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
[例1]　设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b　　B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
听课笔记：
角度2　向量的线性运算
[例2]　(1)[2022·重庆诊断]如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A． B．2－2
C． D．2－2
(2)[2022·北京海淀区模拟]如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　)
A． B．
C． D．
听课笔记：
角度3　利用向量的线性运算求参数
[例3]　(1)[2022·广东韶关一模]在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2022·河南八市联考改编]在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
听课笔记：
反思感悟　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，与含参数的表达式进行比较，求出参数的值.
【对点训练】
1．[2022·河北衡水中学月考]设D为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　)
A．＝－
B．＝
C．＝
D．＝
2．在△ABC中，D为线段AB上一点且BD＝3AD，若＝λ＋μ，则＝(　　)
A．　　　B．3　　　C．　　　D．4
考点三　共线定理及其应用　[应用性]
[例4]　设两个非零向量a和b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
听课笔记：
一题多变
1．(变条件，变问题)若将例4(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B，D三点共线？
2．(变条件)若将例4(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
反思感悟　共线向量定理的应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使得＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．
【对点训练】
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形　　B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
2．[2022·天水市中学高三月考]已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b，n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(　　)
A．5　　　B．3　　　C．　　　D．2
3．[2021·浙江高三期末]设e1，e2是不共线的向量，若＝e1＋λe2，＝e1＋e2，＝3e1－2e2，A，B，D三点共线，则λ的值为________．
微专题21 新定义下平面向量的交汇运算　交汇创新
[例]　定义两个平面向量的一种运算a b＝|a|·|b|sin 〈a，b〉则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①a b＝b a；
②λ(a b)＝(λa) b；
③若a＝λb，则a b＝0；
④若a＝λb且λ＞0，则(a＋b) c＝(a c)＋(b c)．正确的序号是________．
解析：①恒成立；②λ(a b)＝λ|a|·|b|sin 〈a，b〉，(λa) b＝|λa|·|b|sin 〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a b)＝(λa) b不成立；③a＝λb，则sin 〈a，b〉＝0，故a b＝0恒成立；④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b) c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin 〈b，c〉，(a c)＋(b c)＝|λb|·|c|sin 〈b，c〉＋|b|·|c|sin 〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin 〈b，c〉，故(a＋b) c＝(a c)＋(b c)恒成立．
答案：①③④
名师点评　本例是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，命题便可判断．
[变式训练]　
定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin 〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：
①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；
②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；
③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；
其中真命题的序号是________．
第五章　平面向量
第一节　平面向量的概念及线性运算
积累必备知识
一、
1．大小　方向　模　长度　零　0　1个单位长度　相同　相反　方向相同或相反　平行　相等　相同　相等　相反
2．(2)有向线段
3．三角形　平行四边形　b＋a　a＋(b＋c)　三角形　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb
4．b＝λa
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．解析：＝＝)＝(b－a)＝－a＋b.
答案：D
3．解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝0.
答案：(1)　(2)0
4．解析：当||＝||时，四边形ABCD是平行四边形；当||≠||时，四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形或平行四边形
5．解析：当a与b方向相同时，|a＋b|＝7；当a与b方向相反时，|a＋b|＝3；当a与b不共线时，3＜|a＋b|＜7.所以|a＋b|的取值范围为[3，7].
答案：[3，7]
6．解析：∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝)，∴＝2.故选A.
答案：A
提升关键能力
考点一
1．解析：当λ＜0时，a与－λa的方向相同，所以选项A错误；当|λ|＜1时，选项B不成立，所以选项B错误；因为λ是非零实数，所以λ2＞0，因此a与λ2a的方向相同，所以选项C正确；又因为|－λa|是一个实数，|λ|a是一个向量，所以选项D错误．
答案：C
2．解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，零向量的长度为0；③正确，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时才成立．
答案：B
3．解析：①错误，若b＝0，则a与c不一定共线．②正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．③错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填②.
答案：②
考点二
例1　解析：方法一　利用向量加法的平行四边形法则．在 ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
方法二　∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
答案：A
例2　解析：(1)连接CD，∵C，D是半圆弧的两个三等分点，
∴CD∥AB且AB＝2CD.
∴＝2＝2()＝2－2.故选D.
(2)∵CD＝DA，DE⊥AC，
∴点E为AC的中点，
∴＝＝)＋
＝＝.故选A.
答案：(1)D　(2)A
例3　解析：(1)由＝，得＝，所以＝＝＝)＝，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，故λ－μ＝.故选C.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为＝＝＝＋)＝＝，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
答案：(1)C　(2)
对点训练
1．解析：由题意得＝＝＝＝－，故选A项．
答案：A
2．解析：方法一　依题意得：＝＝＝)＝，所以λ＝，μ＝，故＝＝3，故选B.
方法二　以CD为对角线作平行四边形CFDE，根据BD＝3AD，可知＝＝，所以λ＝，μ＝，故＝＝3，故选B.
答案：B
考点三
例4　解析：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线．又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以所以k2－1＝0，即k＝±1.故当k＝±1时，两向量共线．
一题多变
1．解析：＝＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，所以所以k＝±1.又因为λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．
对点训练
1．解析：由已知得，＝＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.
答案：C
2．解析：因为a，b是非零向量，且互相垂直，所以m＝4a＋5b≠0，
因为m，n共线，所以当且仅当有唯一一个实数μ，使n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，
所以(2－4μ)a＝(5μ－λ)b，又因为a，b不共线，所以 λ＝.
答案：C
3．解析：因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2可以作为平面内一组基底，因为＝e1＋λe2，＝e1＋e2，＝3e1－2e2，所以＝＝(e1＋e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋3e2，因为A，B，D三点共线，所以∥，所以－2λ＝1×3，解得λ＝－.
答案：－
微专题　新定义下平面向量的交汇运算
变式训练
　解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin 〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤＝，所以③成立．
答案：①③

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