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2023年高考一轮复习学案
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
·最新考纲·
1．了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
·考向预测·
考情分析：平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过平面向量基本定理的应用考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．
2．平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与________的两个单位向量i，j作为基底，对任一个向量a，有唯一一对实数x，y使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝________，j＝________，0＝________．
3．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________，||＝________．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b a＝λb(λ∈R) ________．
二、必明2个常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为()．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，可以作为基底．(　　)
(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变．(　　)
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，且μ1＝μ2.(　　)
(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(二)教材改编
2．[必修4·P101习题T5改编]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，则x的值是(　　)
A．－6 B．6
C．9 D．12
3．[必修4·P101练习T6改编]设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
(三)易错易混
4．(忽视共线的两种情况)已知点A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量共线的单位向量是________．
5．(向量共线的坐标公式掌握不牢)已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ＝________；若a＝μ，则μ＝________．
(四)走进高考
6．[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A． B．
C． D．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　平面向量基本定理及其应用　[基础性]
[例1]　
(1)[2022·天水市高三月考]如图所示，在△ABC中，＝3＝2，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b　　B．a－b
C．a－b D．a－b
(2)[2022·甘肃兰州高三月考]如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m，则实数m的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．
听课笔记：
反思感悟　平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【对点训练】
1．[2022·福州市质量检测]在△ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若＝，则的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知在△ABC中，点O满足＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
考点二　平面向量的坐标运算　[基础性]
1．已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2，3)　　　　　　B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.
考点三　平面向量共线的坐标表示　[综合性]
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
[例2]　已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则D点坐标为________．
听课笔记：
反思感悟　利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.
角度2　利用向量共线求参数
[例3]　(1)[2022·海南昌茂高三月考]已知向量a＝(x＋2，3)，b＝(x，1)，且a∥b，则x的值是(　　)
A．－1　　 B．0
C．2 D．1
(2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝________．
听课笔记：
反思感悟　 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
【对点训练】
1．[2022·云南昆明市一中月考]在△ABC 中，已知＝(2，8)，＝(－3，2)，若＝，则的坐标为________．
2．[2022·广东广州高三月考]已知向量m＝(2，－3)，n＝，若m∥n，则b的值为________．
微专题22 巧借坐标系——提升运算能力　思想方法
[例]　如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：如图建立平面直角坐标系，则＝(4，0)，＝(0，4)，＝m＋n＝(4m，4n)，设Q(4，t)，t∈[0，4]，则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cos θ，t＋sin θ)，则4m＋4n＝4＋t＋sin ，当t＝0，θ＝时，m＋n取得最小值1－，当t＝4，θ＝时，m＋n取得最大值2＋，所以m＋n的取值范围是.
答案：A
　
名师点评 巧建系妙解题，常见的建系方法
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如等腰三角形，等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
[变式训练]　
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，问x＋y是否存在最大值？若不存在，说明理由；若存在，则求出最大值．
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
积累必备知识
一、
1．不共线　λ1e1＋λ2e2
2．x轴、y轴正方向相同　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
3．(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(x2－x1，y2－y1)　
4．x1y2－x2y1＝0
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．解析：因为a∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6.
答案：B
3．解析：由已知得，＝＝(3，－3)．设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，所以x＝2，y＝2，点P(2，2)．
答案：A
4．解析：＝(3，－4)，||＝＝5，所以与共线的单位向量是或.
答案：或
5．解析：由题意得＝(3，1)，因为a∥，所以3λ－2＝0， 解得λ＝.
由a＝μ，得(2，λ)＝(3μ，μ)，所以，故μ＝.
答案：
6．解析：
作出示意图如图所示．
＝＝
＝)＋)
＝.
故选A.
答案：A
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)因为＝3＝2
所以＝)＝－b＋＝－b＋)＝a－b.
(2)设＝λ，
因为＝，所以＝，
则＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)λ，
又因为＝m，所以，解得λ＝，m＝.
答案：(1)B　(2)A
对点训练
1．解析：方法一　如图，设＝λ，所以＝＝，因为F，B，D三点共线，所以＝1，解得λ＝4，故＝4.故选C.
方法二　设＝λ＝μ，则＝λ()＝－λ＋λμ，所以＝＝(1－λ)＋λμ.
又＝，所以，解得μ＝，故＝4.
答案：C
2．解析：依题意，设＝λ(0＜λ＜1)，由＝0，知＝－()，
所以＝－λ－λ.由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．
答案：(－2，0)
考点二
1．解析：设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
答案：D
2．解析：设c＝(x，y)．因为a－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0，0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0，0)所以解得所以c＝.
答案：D
3．解析：因为＝＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以＝＝，所以＝.故选D项．
答案：D
考点三
例2　解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
AB∥CD，∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴解得
故点D的坐标为(2，4)．
答案：(2，4)
例3　解析：(1)由题意x＋2－3x＝0，x＝1.
(2)＝＝(4－k，－7)，＝＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
答案：(1)D　(2)－
对点训练
1．解析：由题设，点M是线段BC的中点，∴＝)＝[(2，8)＋(－3，2)]＝.
答案：
2．解析：因为m∥n，所以2＝－3×1 b＝2.
答案：2
微专题22　巧借坐标系——提升运算能力
变式训练
　解析：以点O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B(－)．
设∠AOC＝α，
则C(cos α，sin α)，由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin ，
又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.

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