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2023年高考一轮复习学案
第二节　等差数列及其前n项和
·最新考纲·
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等差数列的判断与证明，等差数列的基本运算，等差数列的性质及应用仍是高考考查的热点，三种题型都有可能出现．
学科素养：通过等差数列的证明考查逻辑推理的核心素养；通过等差数列的基本运算及性质的应用考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________，那么这个数列就叫做等差数列；数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
[提醒]　(1)d＞0 {an}为递增数列；
(2)d＝0 {an}为常数列；
(3)d＜0 {an}为递减数列．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差为d，则其通项公式为an＝________；
(2)前n项和公式：________________________．
3．等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋______(n，m∈N＋)；
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则____________；
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为________的等差数列；
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列；
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．
二、必明2个常用结论
1．关于等差数列奇数项与偶数项的性质
(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
(2)若项数为2n－1(n≥2)，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P44例2改编]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于(　　)
A．32　　　B．39　　　C．42　　　D．45
3．[必修5·P39练习T5改编]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
(三)易错易混
4．(忽视等差数列为0的项)在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是________．
5．(忽视等差数列相邻项的符号)在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　等差数列基本量的运算　[基础性]
1．[2021·广东省揭阳市高三期中]已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．3
2．[2022·广西南宁适应性考试]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝2，S4＝7，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A．n－1 B．
C．2n－4 D．(n－1)(n－2)
3．[2022·福建厦门市测试]已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝，则a10＝________．
4．[2022·四川遂宁市测试]已知等差数列{an}满足a1＋a3＝8，a2＋a4＝14，则它的前8项的和S8＝(　　)
A．70 B．82 C．92 D．105
反思感悟　等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
考点二　等差数列的判定与证明　[综合性]
[例1]　(1)[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
(2)已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．求证：数列是等差数列．
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)若例1(2)中“an＝(n≥2)”改为“Sn＝(n≥2)”且其他条件不变．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
反思感悟　等差数列的判定与证明方法
[提醒]　在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法和等差中项法．
【对点训练】
[2022·鄂尔多斯市第一中学检测]已知数列{an}，a1＝1，a2＝3，且满足＝2(n≥2且n∈N*)，证明新数列{an＋1－an}是等差数列，并求出an的通项公式．
考点三　等差数列的性质及应用　[基础性、综合性]
角度1　等差数列项的性质
[例2]　(1)[2022·福建省永安质检]等差数列{an}中，若a2＋a8＝15－a5，则a5等于(　　)
A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6
(2)[2022·黑龙江哈尔滨市测试]Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＋a2＋a3＝3，a7＋a9＝10，则S9＝(　　)
A．9 B．16 C．20 D．27
听课笔记：
反思感悟　等差数列项的性质
(1)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，d＝.
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
角度2　等差数列前n项和的性质
[例3]　(1)[2022·河南洛阳市检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．71 C．99 D．117
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 022＝________．
听课笔记：
反思感悟　等差数列和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(2)也为等差数列．
(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
【对点训练】
1．[2022·山西临汾市检测]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若4＋a1＝a2＋a5，则S11＝(　　)
A．28 B．34 C．40 D．44
2．[2022·黑龙江大庆市检测]设等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．9 B．18 C．27 D．36
3．[2022·安徽滁州市月考]两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝(　　)
A．7 B． C． D．
4．在等差数列{an}中，a1＝－2 022，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 022的值为________．
考点四　等差数列前n项和的最值问题　[综合性]
[例4]　(1)[2022·吉林长春市检测]等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝49，a3＝3a6，则Sn取最大值时的n为(　　)
A．7　　　B．8　　　C．14　　　D．15
(2)[2022·通辽新城高三检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＞S8，S8＝S9＜S10，则下面结论错误的是(　　)
A．a9＝0
B．S15＞S14
C．d＜0
D．S8与S9均为Sn的最小值
听课笔记：
反思感悟　求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使得Sn取得最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使得Sn取得最小值．
【对点训练】
1．[2022·新疆乌鲁木齐市检测]等差数列{an}中，a3＝16，a7＝8，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn最大时，n＝(　　)
A．10 B．11
C．10或11 D．11或12
2．[2022·江西抚州市检测]等差数列{an}中，a3＝16，a7＝8，Sn是数列{an}的前n项和，则数列的前n项和最大时，n＝(　　)
A．20 B．21
C．20或21 D．21或22
第二节　等差数列及其前n项和
积累必备知识
一、
1．(1)同一个常数
2．(1)a1＋(n－1)d　(2)Sn＝na1＋＝
3．(1)(n－m)d　(2)ak＋al＝am＋an　(3)md
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2．解析：设公差为d，由题意得
解得所以S6＝6a1＋d＝39.
答案：B
3．解析：由题意知：a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，得：a5＝90.
则a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180
4．解析：由题意得：a3＝－a9，即a1＝－5d，所以a6＝a1＋5d＝0，∴an＞0(1≤n≤5)，所以Sn取得最大值时的正整数n的值是5或6.
答案：5或6
5．解析：由题意知：数列{an}满足即
所以
即－≤d＜－4.
答案：
6．解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25.
答案：25
提升关键能力
考点一
1．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝6，S3＝12，得：，解得：a1＝2，d＝2.故选C.
答案：C
2．解析：设等差数列{an}的公差为d，则，解得：，
故an＝1＋(n－1)＝，故选B.
答案：B
3．解析：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a2＋a4＝a6，a9＝，
∴2a1＋4d＝a1＋5d，a1＋8d＝(a1＋5d)2，解得：a1＝d＝，
则a10＝a1＋9d＝10×＝.
答案：
4．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由，得，解得a1＝1，d＝3.所以S8＝8a1＋d＝8＋28×3＝92.故选C.
答案：C
考点二
例1　解析：(1)①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以 ＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①② ③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d>0，则＝＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列．
(2)由题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，整理得Sn－1－Sn＝2SnSn－1，
所以＝2，又因为＝＝4，
所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列．
一题多变
解析：(1)证明：由Sn＝，得＝，整理得＝2，又因为＝＝4，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)得：＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，
∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝＝－.
经检验，a1＝不符合上式．
∴an＝
对点训练
解析：由＝2可得an＋1＋an－1＝2an＋1，
则(an＋1－an)－(an－an－1)＝1(n≥2)，又a2－a1＝3－1＝2，
所以，数列{an＋1－an}是首项为2，公差为1的等差数列．
从而an＋1－an＝2＋(n－1)×1＝n＋1(n≥1)，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝.
考点三
例2　解析：(1)因为等差数列{an}中，a2＋a8＝15－a5，所以，由等差数列的性质，得2a5＝15－a5，a5＝5，故选C.
(2)由a1＋a2＋a3＝3得a1＋a2＋a3＝3a2＝3，则a2＝1，
由a7＋a9＝10得a7＋a9＝2a8＝10，则a8＝5，
所以S9＝＝＝3×9＝27.故选D.
答案：(1)C　(2)D
例3　解析：(1)由等差数列{an}的前n项和性质，
得：S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，
又因S3＝9，S6＝63，则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.
(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则＝6d，∴d＝1.
故＝＋2 021d＝－2 018＋2 021＝3，
∴S2 022＝3×2 022＝6 066.
答案：(1)C　(2)6 066
对点训练
1．解析：因为a6＋a1＝a2＋a5，所以由4＋a1＝a2＋a5，可得a6＝4，所以S11＝＝11a6＝44，故选D.
答案：D
2．解析：根据等差数列的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以3，12，S6－15成等差数列，进而得到3＋S6－15＝24，所以S6＝36，故选D.
答案：D
3．解析：＝＝＝＝＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：由题意知为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 022－1)×1＝－2 022＋2 021＝－1，
所以S2 022＝－2 022.
答案：－2 022
考点四
例4　解析：(1)由题可知，S7＝＝7a4＝49，则a4＝7，
又a3＝3a6，所以7－d＝3(7＋2d)，则d＝－2，则an＝a4＋(n－4)d＝－2n＋15，
因此a7＞0，a8＜0，故Sn取最大值时的n值为7.
(2)对于A选项，由S8＝S9可得a9＝S9－S8＝0，A选项正确；
对于C选项，由S7＞S8可得a8＝S8－S7＜0，∴d＝a9－a8＞0，C选项错误；
对于D选项，由S10>S9可得a10＝S10－S9＞0，且a9＝0，a8＜0，d＞0，所以，当n≤8且n∈N*时，an＜0，且a9＝0，则S8与S9均为Sn的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵a9＝0，d＞0，当n≥10时，an＞a9＝0，
所以，S15－S14＝a15＞0，B选项正确．
答案：(1)A　(2)C
对点训练
1．解析：设等差数列的公差为d，则，即，∴an＝20－2(n－1)＝22－2n，由an＝22－2n≥0，可得n≤11，∴前10或11项和最大．
答案：C
2．解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝16，a7＝8，可得d＝＝＝－2，则a1＝20，
所以an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，
所以Sn＝＝n(21－n)，可得＝(21－n)，
可得当n＜21，n∈N*时，＞0；当n＝21时，＝0；n＞21，n∈N*时，＜0，所以当n＝20或n＝21时，数列的前n项和取得最大值．
答案：C

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