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2023年高考一轮复习学案
第三节　等比数列及其前n项和
·最新考纲·
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
·考向预测·
考情分析：等比数列的基本运算，等比数列的判断与证明，等比数列的性质与应用仍是高考考查的热点，三种题型都有可能出现．
学科素养：通过等比数列的证明考查逻辑推理的核心素养；通过等比数列的基本运算及性质的应用考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记5个知识点
1．等比数列及其相关概念
等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的________的比都等于____________
公比 等比数列定义中的________叫做等比数列的公比，常用字母q(q≠0)表示
公式表示 {an}为等比数列 ____________(n∈N*，q为非零常数)
等比中项 如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时________
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为________________(n∈N*)．
3．等比数列的前n项和公式
(1)当公比q＝1时，Sn＝________．
(2)当公比q≠1时，Sn＝________＝________．
4．项的性质
(1)an＝amqn－m.
(2)am－kam＋k＝(m>k，m，k∈N*)．
(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝____________＝.
(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5．和的性质
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则＝q.
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，____________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，____________不一定构成等比数列．
二、必明2个常用结论
1．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
2．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
(5)等比数列中不存在数值为0的项．(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P53练习T3改编]对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
3．[必修5·P54T8改编]在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
(三)易错易混
4．(忽视项符号的判断)已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝________．
5．(忽视对公比的讨论)设a∈R，n∈N*，则1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　等比数列的基本运算　[基础性]
1．[2022·安徽省合肥市检测]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a6＝16，2S3＝a2＋a3＋a4，则a1＝(　　)
A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4
2．[2022·临川一中实验学校检测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S5＝1，S10＝33，则数列{an}的公比是(　　)
A．8 B．4 C．3 D．2
3．[2022·陕西省西安市检测]等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.设Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，则m的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
反思感悟　等比数列基本运算中的两种常用数学思想
方程思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解
分类讨 论思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和为Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和为Sn＝＝
[提醒]　(1)等比数列求和需要讨论q＝1和q≠1两种情况；(2)计算过程中，若出现qn＝t，要注意n为奇数和偶数的区别．
考点二　等比数列的判定与证明　[综合性]
[例1]　[2021·八省市新高考适应性考试]已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
听课笔记：
反思感悟　等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为非零常数，q≠0，1)则{an}是等比数列
[提醒]　如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
【对点训练】
1．[2022·甘肃省高考诊断考试]数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则＝(　　)
A.2－2－n B．2－21－n
C.2－2n D．2－2n－1
2．[2022·湖南岳阳市高三一模]已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上，求证：是等比数列，并求{an}的通项公式．
考点三　等比数列的性质及应用　[综合性]
角度1　等比数列项的性质
[例2]　(1)[2022·广东揭阳模拟]已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)
A.4　　　B．6　　　C．8　　　D．－9
(2)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋…＋的值为(　　)
A.2 B．4 C．8 D．16
听课笔记：
反思感悟　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
角度2　等比数列前n项和的性质
[例3]　(1)[2020·全国卷Ⅰ]设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A.12 B．24 C．30 D．32
(2)[2022·四川省雅安市检测]若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝(　　)
A. B．－
C.－1 D．1
(3)[2022·正阳县高级中学检测]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝5，S6＝20，则S9＝(　　)
A.66 B．65 C．64 D．63
听课笔记：
反思感悟　与等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q为公比)．
[提醒]　在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
【对点训练】
1．[2022·河南省濮阳市高三一模]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2am＝＝a6a10，则m＋n＝(　　)
A.4 B．8 C．12 D．16
2．[2022·山东省日照市高三模拟]已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5·a6＝a7，则T7的值是(　　)
A.1 B．2 C．3 D．4
3．[2022·湖北荆州模拟]已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝________．
第三节　等比数列及其前n项和
积累必备知识
一、
1．前一项　同一个常数　常数　＝q　G2＝ab
2．an＝a1qn－1
3．(1)na1　(2)
4．(3)ap·aq
5．(3)S3n－S2n　S3n－S2n
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．解析：因为数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a3·a9＝a1·q2·a1·q8＝(a1·q5)2＝，
所以a3，a6，a9一定成等比数列．
答案：D
3．解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.
答案：12　48
4．解析：由a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，得＝＝64，所以a3＝1，a7＝4，因此＝a3a7＝4.又因为a5与a3同号，所以a5＝2.
答案：2
5．解析：当a＝1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝n＋1；当a≠0且a≠1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝；当a＝0时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝1满足.所以1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝
答案：
6．解析：当q＝1，a1＜0时，等比数列{an}的前n项和Sn＝na1＜0，可知{Sn}是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；
若{Sn}是递增数列，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＞0，即a1qn－1＞0恒成立，而只有当a1＞0，q＞0时，a1qn－1＞0恒成立，所以可得q＞0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：设等比数列{an}的公比为q且q＞0.
由a2a6＝16，所以＝16 a4＝4，
又2S3＝a2＋a3＋a4，则2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4 2a1＋a2＋a3－a4＝0，
所以2a1＋a1q＋a1q2－a1q3＝0 q3－q2－q－2＝0，
即(q－2)(q2＋q＋1)＝0 q＝2，所以a4＝a1q3＝4 a1＝.
答案：A
2．解析：设等比数列{an}的公比为q，由＝＝1＋q5＝33，所以q5＝32，q＝2.
答案：D
3．解析：设公比为q，因为a5＝4a3，所以a1q4＝4a1q2，解得q＝2或－2，
当q＝2时，Sm＝＝＝63，解得m＝6；
当q＝－2时，Sm＝＝＝63，无解．
答案：B
4．解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q＝＝2，∴＝＝2－21－n.故选B.
答案：B
考点二
例1　解析：(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}的各项均为正数，
所以a1＋a2＞0.
所以{an＋an＋1}是公比为3，首项为a1＋a2的等比数列．
(2)因为a1＝，a2＝，
所以a1＋a2＝2.
又由(1)知{an＋an＋1}是公比为3的等比数列，
所以an＋an＋1＝(a1＋a2)·3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，
又a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0.
所以an＋1＝3an，
所以an＝×3n－1.
对点训练
1．解析：当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，Sn＝2an－1　①，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)　②，①－②得，an＝2an－2an－1，得＝2，所以数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，于是＝＝2－21－n，故选B.
答案：B
2．解析：由点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上，
可得an＋1＝2n＋3an，
所以＝＋1，即＝·，
也即＋1＝＋1)，
又a1＝1，所以＋1＝，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则＋1＝()n，所以an＝3n－2n.
考点三
例2　解析：(1)由题意可得a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a102a4a8＝(a4＋a8)2＝(－2)2＝4.故选A.
(2)由分数的性质得到＋…＋＝＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋…＋＝2.故选A.
答案：(1)A　(2)A
例3　解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.
(2)由Sn＝3n－1＋t，得a1＝S1＝1＋t，a2＝S2－S1＝3－1＝2，a3＝S3－S2＝32－3＝6，因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即4＝6(1＋t)，得t＝－.
解析：(3)由题知：S3＝a1＋a2＋a3＝5，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝15，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝(a1＋a2＋a3)q6＝S9－20.
所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即5，15，S9－20成等比数列，
所以152＝5(S9－20)，解得S9＝65.
答案：(1)D　(2)B　(3)B
对点训练
1．解析：由等比数列的性质知，解得，所以m＋n＝12.
答案：C
2．解析：因为数列{an}是等比数列，设公比为q，
由a5·a6＝a7得a1q4·a1q5＝a1q6，即a1q3＝1，即a4＝1，
由等比数列的性质可得，T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝＝1.
答案：A
3．解析：由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，又S12＝7S4，∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，可得－S8S4＝0，两边都除以，得－－6＝0，解得＝3或－2，又＝1＋q4(q为{an}的公比)，∴＞1，
∴＝3.
答案：3

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