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23.6.2 图形的变换与坐标
第23章 图形的相似
知识回顾
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，这个交点叫做 ．
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 .
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
2. 已经学过哪些图形的变换操作呢
平移，对称（翻折）和旋转
例题讲解
例1 在图23. 6.5中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A'O'B'.三个顶点的坐标有什么变化？
解： △AOB的三个顶点的坐标分别是
A(2, 4), O(0, 0), B(4, 0).
平移之后的△A'O'B'.对应的顶点坐标分别是
A'(5,4), O'(3,0), B'(7,0).
沿x轴向右平移3个单位之后，三个顶点的
纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了 3.
例2 如图23. 6.6, △ABC的三个顶点的坐标分别为(-3,4)、(-4,3)和(-1，3).将△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A'B' C'，然后再将△A'B' C'沿x轴 向右平移4个单位得到△A"B "C " .试写出现在三个顶点 的坐标，看看发生了什么变化.
解：△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(-3,4),B(-4,3),C(-l,3).
沿y轴向下平移3个单位之后的△A ′ B ′ C ′对应的顶点坐标分别是 A ′ (-3,1),B ′ (-4,0), C ′ (-1,0).
沿x轴向右平移4个单位之后的△A"B "C "对应的顶点坐标分别是 A"(l,1), B"(0,0), C"(3, 0).
经过两次平移之后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4,纵坐标都减少了 3.
我们还可以把这两次平移看作是△ABC沿BB"方向平移一次，得到△A ″ B "C ″.
平面直角坐标系中点(或图形)的平移规律：
(1) 沿x轴左右平移：纵坐标不变，横坐标左减右加；
反之，也成立
(2) 沿y轴上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减；
反之，也成立．
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例题讲解
例3 在图23. 6. 7中，△AOB关于x轴的轴对称图形是 △A ' O B，它们对应顶点的坐标有什么变化？
解：△AOB的三个顶点的坐标分别是
A(2,4), O(0,0), B(5,0).
关于x轴对称的△A ′ B ′ C ′对应的顶点坐标分别是
A ′ (2,-4),O ′ (0,0), B ′ (5,0).
关于x轴对称的两个点的
横坐标不变，纵坐标变为相应的相反数.
例4 画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y轴对折后的△A'B'C'，并观察对应顶点又有什么样的变化？
y
x
A
B
C
C'
B'
A'
O
A（2，1）， B（4，0）， C（5，2）
A'（-2，1），B'（-4，0），C'（-5，2）
横坐标互为相反数，纵坐标不变
例5 画△AOB关于原点对称的△A'OB'你有什么发现？
0
x
y
A
B
B'
A'
O
规律：对应点的横坐标和纵坐标互为相反数.
平面直角坐标系中点(或图形)的对称规律：
(1) 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
反之，也成立
(2) 关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变；
反之，也成立
(3) 关于原点对称：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；
反之，也成立．
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例题讲解
例6(1)如果将△AOB缩小，变成△COD，它们的相似比是多少？对应点的坐标有什么变化？
x
6
2
0 2 6
y
C
D
B
O
A
A（3,6）， O（0,0），B（6,0）
C（1.5,3），O（0,0），D（3,0）
相似比：2
规律：横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数.
(2)如图23. 6. 10,已知矩形ABCD四个顶点的坐标分别是A(0, 0)、
B(3, 0)、C(3, 2)、D(0, 2)，将这四个顶点的坐标同时扩大到原来的 2 倍后得到一组新坐标，画出新 坐标对应的点所确定的图形，看看新的图形和原图形之间有什么关系.
容易验证新的图形与原来的图形是位似的，位似中心为原点O（即不变的）
规律：横、纵坐标做相同的变化，前后图形是位似关系
获取新知
平面直角坐标系中图形的位似规律：
以原点为位似中心，
在同侧将图形放大或缩小k倍，则点(a，b)的对应点的坐标为(ak，bk)；
在异侧将图形放大或缩小k倍，则点(a，b)的对应点的坐标为(－ak，－bk)；反之，也成立．
随堂演练
1.在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是(　　)
A．(2，5)　 B．(－8，5)　
C．(－8，－1)　 D．(2，－1)
D
2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　)
A．(－2，－4) B．(－4，－2)
C．(－1，－4) D．(1，－4)
A
3.在平面直角坐标系中,将△ABC的三个顶点,
(1)横坐标都乘以-1,纵坐标不变,则所得三角形与原三角形关于　　对称;
(2)纵坐标都乘以-1,横坐标不变,则所得三角形与原三角形关于　　对称;
(3)横、纵坐标都乘以-1,则所得三角形与原三角形关于
　　对称.
y轴
x轴
原点
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(-4,1),C(-2,3).
(1)画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)以点A为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到△AB2C2,请在第二象限内画出△AB2C2.
解:(1)如图,△A1B1C1为所作.
(2)如图,△AB2C2为所作.
A1
C2
B1
B2
课堂小结
　图形变换的种类：
1．全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等变换包括平移、旋转、轴对称．
2．相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状，相似变换中包括位似变换．
3. 坐标变化规律：
平移（左加右减）；
对称（“你”对称，“我”相反；原点对称，都相反）；
位似（对应坐标之比为相似比的绝对值-以原点为位似中心）

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