资源简介

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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题02 几何思想之长方体中棱与平面位置关系专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．旗杆垂直于地面 B．墙面一般垂直于地面
C．东方明珠电视塔垂直于地面 D．树木一定垂直于地面
【标准答案】D
【思路指引】
根据实际情况逐一分析即可．
【详解详析】
解：A． 旗杆一般垂直于地面，故正确；
B． 墙面一般垂直于地面，故正确；
C． 东方明珠电视塔垂直于地面，故正确；
D．在山坡上的树木不一定垂直于地面，大多数是垂直于水平面的，故错误．
故选D．
【名师指路】
此题考查的是线与面的位置关系，掌握实际情况是解决此题的关键．
2．在长方体中，与一个面垂直的棱有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【标准答案】C
【思路指引】
根据长方体中棱和面的位置关系进行选择．
【详解详析】
长方体中与一个面垂直的棱有4条．
故选：C．
【名师指路】
本题考查长方体中棱和面的位置关系，解题的关键是掌握棱与面的位置关系．
3．长方体中，与一条棱异面的棱有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【标准答案】C
【思路指引】
由题意根据长方体中棱与平面位置关系可知与一条棱异面的平面上所有棱长都异面，以此进行分析即可得出答案．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：因为与一条棱异面的平面上有4条棱长，
所以长方体中，与一条棱异面的棱有4条．
故选：C．
【名师指路】
本题考查长方体中棱与平面位置关系，熟练掌握异面的概念是解题的关键．
4．下面不能用来检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．长方形纸片 B．合页型折纸 C．铅垂线 D．三角尺
【标准答案】A
【思路指引】
根据长方体中棱与面的位置关系，逐项分析判定可知．
【详解详析】
解：铅垂线，三角尺，合页型折纸可以用来检验直线与平面是否垂直，
而长方形纸片只能判断两条直线互相垂直，不能判断直线与平面是否垂直，
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查长方体中棱与面的位置关系，熟记概念是解题的关键．
5．下列关于长方体的说法中正确的是（ ）
A．最少有4条棱相等 B．最多有8条棱相等
C．最多有2个面相等 D．最多有5个面相等
【标准答案】A
【思路指引】
根据长方体的特征：相对的面面积相等，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以长方体中至少有2个面的面积相等，如果长方体有2个面是正方形，最多有4个面的面积相等；长方体的长、宽、高如果有两个相等，这时最多有8条棱的长度相等，据此解答即可．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：长方体有6个面，8个顶点，12条棱．长 ( http: / / www.21cnjy.com )方体每个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形，长方体的12条棱中至少有4条棱相等，最多有8条棱的长度相等，最多有4个面相等，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了长方体的特征，要正确理解和掌握长方体的特征，平时注意基础知识的积累．
6．如图所示几何体的主视图为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
根据从正面看得到的图形为主视图，即可求解；
【详解详析】
从正面看：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图的观察方法是解决本题的关键.
二、填空题
7．如图所示：
（1）与线段垂直的面有____________________________．
（2）与面垂直的线段有____________________________．
（3）与线段平行的线段有____________________________．
（4）与线段异面的线段有____________________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）面、面、面；（2）、、、、、；（3）、、、、；（4）、、、、、、．【来源：21cnj*y.co*m】
【思路指引】
（1）根据题意及图形可直接得出答案；
（2）根据长方体中棱与面的位置关系可直接解答；
（3）根据长方体中的棱与棱的位置关系可直接作答；
（4）根据长方体中棱与棱的位置关系可直接作答．
【详解详析】
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如图所示：
（1）与线段垂直的面有：面、面、面；
（2）与面垂直的线段有：、、、、、；
（3）与线段平行的线段有：、、、、；
（4）与线段异面的线段有：、、、、、、．
故答案为（1）面、面、面；（2）、、、、、；（3）、、、、；（4）、、、、、、．
【名师指路】
本题主要考查长方体棱与棱、棱与面的位置关系，关键是结合题意及概念直接解答即可．
8．长方体中，与平面平行的棱共有________条．
【标准答案】4
【思路指引】
根据题意，画出图形，即可得出结论．
【详解详析】
解：如图所示，与平面平行的棱有BC、，共有4条
故答案为：4．
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【名师指路】
此题考查的是长方体中棱和平面位置关系的判断，掌握长方体的特征是解决此题的关键．
9．长方体中，与平面平行的棱是_______．
【标准答案】棱、、、
【思路指引】
由题意直接根据长方体的结构特征，结合平行线的定义进行分析作答．
【详解详析】
解：如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
可得长方体中，与平面平行的棱是棱、、、．
故答案为：棱、、、．
【名师指路】
本题考查平行线的定义及长方体的结构特征，由题意作出图形并根据平行定义进行判断是解题的关键．
10．如图，在长方体ABCD-EFGH中，
1）与棱DH垂直的面是_________________________，
2）与棱BC垂直的面是_________________________，
3）与棱AB垂直的面是_________________________，
4）与面ABCD垂直的棱有_________________________________，
5）与面ABFE垂直的棱有_________________________________，
6）与面BCGF垂直的棱有__________________________________，
7）在长方体中的每一条棱有_________个面和它垂直，每一个面有________条棱和它垂直．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】 面ABCD、面 ( http: / / www.21cnjy.com )EFGH 面ABFE、面DCGH 面ADHE、面BCGF 棱AE、棱BF、棱CG、棱DH 棱AD、棱BC、棱FG、棱EH 棱AB、棱CD、棱HG、棱EF 两 四
【思路指引】
根据棱和平面垂直的检验方法，可以采 ( http: / / www.21cnjy.com )用“铅锤法”、“三角尺法”或者“合页型折纸法”进行，检验长方体中棱和面的垂直关系，由此得到对应的面或者棱，并表示出来．21cnjy.com
【详解详析】
利用“铅锤法”、“三角尺法”或者“合 ( http: / / www.21cnjy.com )页型折纸法”可得知与棱DH垂直的面是面ABCD、面EFGH；与棱BC垂直的面是面ABFE、面DCGH；与棱AB垂直的面是面ADHE、面BCGF；与面ABCD垂直的棱有棱AE、棱BF、棱CG、棱DH；与面ABFE垂直的棱有棱AD、棱BC、棱FG、棱EH；与面BCGF垂直的棱有棱AB、棱CD、棱HG、棱EF；在长方体中的每一条棱有两个面和它垂直，每一个面有四条棱和它垂直．【出处：21教育名师】
故答案为：（1）面ABCD、面EFGH．
（2）面ABFE、面DCGH．
（3）面ADHE、面BCGF．
（4）棱AE、棱BF、棱CG、棱DH．
（5）棱AD、棱BC、棱FG、棱EH．
（6）棱AB、棱CD、棱HG、棱EF．
（7）两 四．
【名师指路】
考查长方体中棱与平面垂直的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，以长方体为背景，讨论棱与平面之间的垂直位置关系，学生要熟练掌握棱与平面垂直位置关系的检验方法，由此进行验证，解出本题．【来源：21·世纪·教育·网】
11．如图，是教室相邻的三面墙（或地面），
1）与墙面ADFE垂直的墙角线是_________________________，
2）与墙角线AD垂直的墙面是___________________________，
3）与墙角线DF垂直的墙面是___________________________，
4）与地面ABCD垂直的墙角线是_________________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】 棱CD 面DCGF 面ABCD 棱DF
【思路指引】
根据题意，利用长方体中棱与平面的位置关系来判断题目中棱与面的垂直关系．
【详解详析】
（1）与墙面ADFE垂直的墙角线是棱CD；
（2）与墙角线AD垂直的墙面是面DCGF；
（3）与墙角线DF垂直的墙面是面ABCD；
（4）与地面ABCD垂直的墙角线是棱DF．
故答案是：棱CD；面DCGF；面ABCD；棱DF．
【名师指路】
本题考查长方体中棱与面的垂直关系，需要注意题目中的墙面和墙角线的含义，不要写错棱和面．
12．如图，与平面平行的棱有_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】棱、
【思路指引】
直接根据长方体中棱与平面的位置关系进行解答即可．
【详解详析】
如图所示：与平面平行的棱有棱、，
故答案为棱、．
【名师指路】
本题主要考查长方体中棱与平面的位置关系，正确理解概念是解题的关键．
13．如图，在长方体ABCD-EFGH中
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）长方体中棱AB与___________个面平行，分别是____________
长方体中棱BC与___________个面平行，分别是____________
长方体中棱AE与___________个面平行，分别是____________
通过观察思考可以得到：长方体中每条棱都与__________个面平行．
（2）长方体中面ABCD与___________条棱平行，分别是____________
长方体中面ADHE与___________条棱平行，分别是____________
长方体中面ABFE与___________条棱平行，分别是____________
通过观察思考可以得到：长方体中每个面都与____________条棱平行
（3）长方体中一共可以写出多少对棱与面的平行关系？
【标准答案】（1）两，面EFGH、面CDHG ( http: / / www.21cnjy.com )；两，面ADHE、面EFGH；两，面BCGF、面CDHG；两；（2）四，棱EF、棱FG、棱GH、棱HE；四，棱BC、棱CG、棱GF、棱FB；四，棱CD、棱DH、棱HG、棱GC；四，（3）12对21世纪教育网版权所有
【思路指引】
根据长方体棱与面之间的关系解答即可．
【详解详析】
（1）长方体中棱AB与两个面平行，分别是：面EFGH、面CDHG；
长方体中棱BC与两个面平行，分别是：面ADHE、面EFGH；
长方体中棱AE与两个面平行，分别是：面BCGF、面CDHG；
通过观察思考可以得到：长方体中每条棱都与两个面平行．
故答案为：两，面EFGH、面CDHG；两，面ADHE、面EFGH；两，面BCGF、面CDHG；两；
（2）长方体中面ABCD与四条棱平行，分别是：棱EF、棱FG、棱GH、棱HE；
长方体中面ADHE与四条棱平行，分别是：棱BC、棱CG、棱GF、棱FB；
长方体中面ABFE与四条棱平行，分别是：棱CD、棱DH、棱HG、棱GC；
通过观察思考可以得到：长方体中每个面都与四条棱平行；
故答案为：四，棱EF、棱FG、棱GH、棱HE；四，棱BC、棱CG、棱GF、棱FB；四，棱CD、棱DH、棱HG、棱GC；四；21教育网
（3）长方体中一共可以写出12对棱与面的平行关系．
如：棱AB与面EFGH； ( http: / / www.21cnjy.com )棱BC与面ADHE；棱CD与面ABFE；棱AD与面BCGF；棱EF与面ABCD；棱FG与面ADHE；棱GH与面ABCD；棱EH与面BCGF；棱AE与面BCGF；棱BF与面DCGH；棱CG与面ADHE；棱DH与面ABFE．21·世纪*教育网
【名师指路】
本题考查了长方体棱与面之间的关系，熟悉长方体并掌握长方体的性质是解题的关键．
14．如图， 若除去棱_________、__________和_________、_________，就能使剩下的棱都与平面AEFB垂直；若除去棱_________、__________和_________、__________，就能使剩下的平面BFGC与棱_________、__________及_________、__________都垂直．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】棱CD，棱DH，棱GH，棱CG，棱AD，棱DH，棱HE，棱EA，棱EF，棱AB，棱DC，棱HG21*cnjy*com
【思路指引】
根据长方体的特征，观察可得出结果．
【详解详析】
根据长方体的特征，与平面AEFB垂直的棱有棱棱CD，棱DH，棱GH，棱CG，
因此，若去掉长方体中的棱棱AD，棱DH，棱HE，棱EA，
则剩下的棱棱EF，棱AB，棱DC，棱HG都能与平面BFGC垂直，
故答案为：棱CD，棱DH，棱GH，棱CG，棱AD，棱DH，棱HE，棱EA，棱EF，棱AB，棱DC，棱HG．【版权所有：21教育】
【名师指路】
长方体中有很多现成的合页型折纸，利用这些合页型折纸，可以找出与面垂直的棱，也可以找出与棱垂直的面.
15．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD异面的棱有___条．
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【标准答案】4
【思路指引】
异面指不在同一个平面内，AD可看作在下面和左面两个平面内，只要不在下面和左面内的棱即可．
【详解详析】
解：棱AD异面的棱：BF、CG、EF、HG，
故答案为：4．
【名师指路】
此题主要考查了认识立体图形，解决本题的关键是理解异面的含意，难点在于先找到AD所在的是哪两个平面，除去这两个面所包含的棱即可．www.21-cn-jy.com
三、解答题
16．如图，指出图中可以用来检验AE垂直于面ABCD的现成的合页型折纸．
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【标准答案】面ADHE和面ABFE．
【思路指引】
根据合页型折纸的定义，由AE⊥平面 ABCD，即可得到答案．
【详解详析】
解：如果把面ADHE和面ABFE组成的图形看作直立于面ABCD上的合页型折纸，那么可以说明棱AE⊥平面 ABCD．21*cnjy*com
∴图中可以用来检验AE垂直于面ABCD的现成的合页型折纸是面ADHE和面ABFE．
【名师指路】
此题主要考查了立体图形，题目比较简单，关键是注意审题．
17．在长方体ABCD-EFGH中，
（1）写出所有与棱AB垂直的面；
（2）写出所有与面EFGH 垂直的棱．
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【标准答案】（1）面CBGF、面ADHE；（2）棱AE、棱BF、棱CG、棱DH．
【思路指引】
（1）与棱AB垂直的面只有两个，分别是过点A、B两点的面CBGF、面ADHE；
（2）与面EFGH 垂直的棱即为图中的四条高AE、BF、CG、DH.
【详解详析】
（1）与棱AB垂直的面有两个：面CBGF、面ADHE；
（2）与面EFGH 垂直的棱有棱AE、棱BF、棱CG、棱DH.
【名师指路】
此题考查了认识立体图形的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握长方体的特点及棱与面之间的关系.
18．下图是一个长方体的六面展开图，请找出在原来的长方体中与平面DCEF垂直的棱．
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【标准答案】棱FG、棱EH、棱CB、棱AD．
【思路指引】
在长方体，棱与面之间的关系有平行和垂直两种．
【详解详析】
解：根据题意，
与平面DCEF垂直的棱有：棱FG、棱EH、棱CB、棱AD．共4条．
【名师指路】
本题考查的知识点为：与一个平面内的一条直线垂直的直线就与这个平面垂直．
19．一个长方体的长、宽、高分别为8厘米、6厘米、4厘米，现将其切成两个相同的小长方体，怎样切其表面积最大？求此时每个小长方体的表面积．
【标准答案】按高切平分成两个小长方体，此时每个小长方体的表面积是152平方厘米
【思路指引】
把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，由题意应增加面积为8×6=48平方厘米的横截面，其表面之和最大，由此即可求解．
【详解详析】
解：把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，
所以只要增加的两个横截面的面积最大，则切成的表面积就最大，
所以应该按照高来切，平分成两个小长方体，切的横截面即为长×宽，
此时每一个小长方体的表面积为：2×(8×6)+2×(8×2)+2×(6×2)=96+32+24=152平面厘米，
故答案为：按照高来切，平分成两个小长方体；每个小长方体表面积为152平方厘米．
【名师指路】
本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，本题沿长和宽切割，可使切出的长方体的表面积之和最大．
20．如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用斜二测画法补全长方体ABCD﹣EFGH的直观图；
（被遮住的棱用虚线表示，不必写画法）
(2)长方体中与棱FG平行的平面有 　 　；
(3)联结HF、DB，与平面HFBD垂直的面有 　 　．
【标准答案】(1)见解析
(2)平面ADHE，平面ABCD
(3)平面ABCD，平面EFGH
【思路指引】
（1）用斜二测画法补全长方体ABCD﹣EFGH即可．
（2）根据直线与平面平行的定义判断即可．
（3）根据平面垂直的定义判断即可．
(1)
如图，长方体ABCD﹣EFGH即为所求．
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(2)
与棱FG平行的平面有平面ADHE，平面ABCD．
故答案为：平面ADHE，平面ABCD．
(3)
与平面HFBD垂直的平面有平面ABCD，平面EFGH．
故答案为：平面ABCD，平面EFGH．
【名师指路】
本题考查作图-复杂作图，认识立体图形，长方体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21·cn·jy·com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题02 几何思想之长方体中棱与平面位置关系专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．旗杆垂直于地面 B．墙面一般垂直于地面
C．东方明珠电视塔垂直于地面 D．树木一定垂直于地面
2．在长方体中，与一个面垂直的棱有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
3．长方体中，与一条棱异面的棱有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
4．下面不能用来检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．长方形纸片 B．合页型折纸 C．铅垂线 D．三角尺
5．下列关于长方体的说法中正确的是（ ）
A．最少有4条棱相等 B．最多有8条棱相等
C．最多有2个面相等 D．最多有5个面相等
6．如图所示几何体的主视图为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、填空题
7．如图所示：
（1）与线段垂直的面有____________________________．
（2）与面垂直的线段有____________________________．
（3）与线段平行的线段有____________________________．
（4）与线段异面的线段有____________________________．
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8．长方体中，与平面平行的棱共有________条．
9．长方体中，与平面平行的棱是_______．
10．如图，在长方体ABCD-EFGH中，
1）与棱DH垂直的面是_________________________，
2）与棱BC垂直的面是_________________________，
3）与棱AB垂直的面是_________________________，
4）与面ABCD垂直的棱有_________________________________，
5）与面ABFE垂直的棱有_________________________________，
6）与面BCGF垂直的棱有__________________________________，
7）在长方体中的每一条棱有_________个面和它垂直，每一个面有________条棱和它垂直．
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11．如图，是教室相邻的三面墙（或地面），
1）与墙面ADFE垂直的墙角线是_________________________，
2）与墙角线AD垂直的墙面是___________________________，
3）与墙角线DF垂直的墙面是___________________________，
4）与地面ABCD垂直的墙角线是_________________________．
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12．如图，与平面平行的棱有_______．
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13．如图，在长方体ABCD-EFGH中
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（1）长方体中棱AB与___________个面平行，分别是____________
长方体中棱BC与___________个面平行，分别是____________
长方体中棱AE与___________个面平行，分别是____________
通过观察思考可以得到：长方体中每条棱都与__________个面平行．
（2）长方体中面ABCD与___________条棱平行，分别是____________
长方体中面ADHE与___________条棱平行，分别是____________
长方体中面ABFE与___________条棱平行，分别是____________
通过观察思考可以得到：长方体中每个面都与____________条棱平行
（3）长方体中一共可以写出多少对棱与面的平行关系？
14．如图， 若除去棱_________、__________和_________、_________，就能使剩下的棱都与平面AEFB垂直；若除去棱_________、__________和_________、__________，就能使剩下的平面BFGC与棱_________、__________及_________、__________都垂直．21教育网
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15．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD异面的棱有___条．
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三、解答题
16．如图，指出图中可以用来检验AE垂直于面ABCD的现成的合页型折纸．
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17．在长方体ABCD-EFGH中，
（1）写出所有与棱AB垂直的面；
（2）写出所有与面EFGH 垂直的棱．
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18．下图是一个长方体的六面展开图，请找出在原来的长方体中与平面DCEF垂直的棱．
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19．一个长方体的长、宽、高分别为8厘米、6厘米、4厘米，现将其切成两个相同的小长方体，怎样切其表面积最大？求此时每个小长方体的表面积．21cnjy.com
20．如图．
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(1)用斜二测画法补全长方体ABCD﹣EFGH的直观图；
（被遮住的棱用虚线表示，不必写画法）
(2)长方体中与棱FG平行的平面有 　 　；
(3)联结HF、DB，与平面HFBD垂直的面有 　 　．
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