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北师大版数学七年级下册
第四章三角形基础证明题训练一
如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD=BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连结AD、BE，求证：AD=EB．
在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF=108°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：AE+BF=BC．
如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和高BE的交点，
（1）求证：△DCF是等腰直角三角形；
（2）若CD=4，AD=8，求BF的长．
如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．
如图,在ABC中,D是边BC上的一点,AB=DB,BE平分ABC,交AC边于点E,连接DE.
(1)求证:AEB=DEB;
(2)若A=,C=,求AEB的度数.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．
如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠ABC=∠DEC，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB=AC，∠A=40°，求∠F的度数．
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE，∠FAG=∠BAC，连接EG．
（1）求证：△ABF≌△ACG；
（2）求证：BE=CG+EG．
如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且AC⊥CE，AC=CE．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若AC=13，DE=5，求DB的长．
如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
如图，CE=DE，AE=BE，∠1=∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠3的度数．
已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：BE=DE．
已知点C为直线AB上一点，D为AB外一点，分别以CA、CB为边在AB的同侧作△ACD和△CEB，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直线AE与直线BD交于点F．
（1）如图1，若α=90°，且点E在CD上，求证AE=DB，并求∠AFB的度数：
（2）如图2，若α＞90°，求∠AFB的度数（用含α的式子表示）．
如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，求证：OE⊥BD．
已知，如图，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）证明：△ABD≌△CAE；
（2）若DE=3，CE=2，求线段BD的长．
参考答案
1.
证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD=BF
∴CD+CF=BF+CF，
即DF=BC，
在Rt△DEF和Rt△BAC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDF．
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴AC=EF
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD=∠EFB，
在△ACD和△EFB中．
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD=BE．
2.
（1）解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=（180°-36°）=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=72°+36°=108°；
（2）证明：由（1）得：∠ACD=36°=∠A，∠ADC=108°，
∴AD=CD，
∵∠EDF=108°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∵CF+BF=BC，
∴AE+BF=BC．
3.
（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF=CD；
（2）解：由（1）知：△BDF≌△ADC，
∴BF=AC，
在Rt△ACD中，CD=4，AD=8，根据勾股定理得：
AC===4，
∴BF=4．
4.
证明：∵DE∥AC，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS）．
5.
(1)证明:BE平分ABC,
ABE=DBE.
在ABE和DBE中,
ABEDBE(SAS),
AEB=DEB.
(2)BE平分ABC,
ABE=DBE,
A=,C=,
ABC=,
ABE=,
AEB=-A-ABE=--=.
6.
证明：∵Rt△ACD中，CE⊥AD，
∴∠BCF+∠F=90°，∠BCF+∠ADC=90°，
∴∠F=∠ADC，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD=BF，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴BF=CD=BD=BC=AC，
则AC=2BF．
7.
（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∠BCE=∠BCA+∠ACE，∠ACD=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCA=∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AC=DC；
（2）解：由（1）知：AC=DC，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠DEC=∠ACE+∠EAC=45°+（180°-45°）=112.5°．
8.
（1）证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴ED平分∠AEB；
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵EA=EB，AD=DB，
∴ED⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠F=90°-∠ABC=20°．
9.
（1）证明：∵∠BAC=∠FAG，
∴∠BAC-∠CAD=∠FAG-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAG，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（ASA）；
（2）证明：∵△ABF≌△ACG，
∴AF=AG，BF=CG，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAG，
∵∠BAD=∠CAG，
∴∠CAD=∠CAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF=EG，
∴BE=BF+FE=CG+EG．
10.
（1）证明：在△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°．
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，即∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BAC=∠DCE．
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
（2）解：∵AC=CE，AC=13，
∴CE=13．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DC===12．
∵△ABC≌△CDE，
∴BC=DE=5．
∴DB=DC-BC=12-5=7．
11.
证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC；
12.
（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴∠C=∠BDE，
∵∠3+∠BDE=∠1+∠C，
∴∠3=∠1=42°．
13.
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴在Rt△ABC与Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE．
14.
解：（1）在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠AEC=∠DBC
∵∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠DBC+∠EAC=90°，
∴∠AFB=90°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠AEC=∠B，
∵∠AEC+∠FEC=180°，
∴∠B+∠FEC=180°，
∴∠F+∠BCE=180°，
∴∠AFB=180°-α．
15.
证明：在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OB=OD，
∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD，
∴OE⊥BD．
16.
（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=EC，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE，
∵AD=CE=2，
∴AE=5，
∴BD=CE=5．
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