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第二节　一元二次不等式及其解法
·最新考纲·
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
·考向预测·
考情分析：不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下．
学科素养：通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记1个知识点
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________
二、必明3个常用结论
1．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)＞0(＜0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2．绝对值不等式的解法
(1)|f(x)|>|g(x)| [f(x)]2>[g(x)]2；
(2)|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；
(3)|f(x)|3．(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P80习题T2改编]设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A等于(　　)
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
3．[必修5·P104习题T3改编]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
(三)易错易混
4．(不等式变形必须等价)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________．
5．(注意二次项系数的符号)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________．
(四)走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　不含参数的一元二次不等式的解法　[基础性]
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　)
A．
B．
C．(－∞，－1)
D．
2．不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B．(－2，1]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2]
反思感悟　解一元二次不等式的4个步骤
考点二　含参数的一元二次不等式的解法　[综合性]
[例1]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
听课笔记：
反思感悟　含参数的一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
【对点训练】
1．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
2．解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
考点三　一元二次不等式恒成立问题　[综合性]
角度1　在R上的恒成立问题
[例2]　对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)　　　 B．(－∞，2]
C．(－2，2) D．(－2，2]
听课笔记：
反思感悟　一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
角度2　在给定区间上的恒成立问题
[例3]　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
听课笔记：
反思感悟　一元二次不等式在区间上恒成立的条件
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上恒成立
或或
(2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上恒成立 或
或
角度3　给定参数范围的恒成立问题
[例4]　若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
听课笔记：
反思感悟　给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
【对点训练】
1．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.a<－或a>　　　B．a>或a<0
C.a> D．－2．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A.(－∞，4] B．(－∞，－5)
C.(－∞，－5] D．(－5，－4)
微专题26 转化与化归思想在不等式中的应用　思想方法
转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．
[例]　关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，则a－b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
解析：令f(x)＝x2－3x＋4，
则f(x)＝(x－2)2＋1，所以f(x)min＝f(2)＝1，
由题意可知a≤1，且f(a)＝f(b)＝b，a2，
由f(b)＝b得到b2－3b＋4＝b，
解得b＝(舍去)或b＝4，
由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，所以a－b＝－4.故选D.
答案：D
名师点评　(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想；函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．
(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．
[变式训练]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)第二节　一元二次不等式及其解法
积累必备知识
一、
{x|xx2}　{x|x1< x三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，
由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，
所以A＝{x|1答案：D
3．解析：由题意知－是ax2＋bx＋2＝0的两根，则
解得所以a＋b＝－14.
答案：－14
4．解析：原不等式等价于(x＋5)(x－3)<0，解得－5答案：(－5，3)
5．解析：由(x＋1)(3－2x)≥0，得(x＋1)(2x－3)≤0，所以不等式的解集为.
答案：
6．解析：A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，
B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，∴A＝{x|x<1}．
故选A.
答案：A
提升关键能力
考点一
1．解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>.故选C.
答案：C
2．解析：原不等式化为
, 解得－2答案：B
考点二
例1　解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
对点训练
1．解析：由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以 解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
答案：{x|x≥3或x≤2}
2．解析：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)；
当a<0时，不等式的解集为.
考点三
例2　解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2综上，实数a的取值范围是(－2，2].
答案：D
例3　解析：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
答案：
例4　解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，
则即
解得故x的取值范围为()．
答案：()
对点训练
1．解析：当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
答案：C
2．解析：令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立，
∴即
解得m≤－5.
答案：C
微专题26　转化与化归思想在不等式中的应用
变式训练
　解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－.
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝.
又因为f(x)即－所以
②－①得2＝6，所以c＝9.
答案：9

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