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第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
·最新考纲·
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域, 不包括________
Ax＋By＋C≥0 包括________
不等式组 各个不等式所表示平面区域的________
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的______________________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的____________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的________
线性约束条件 由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数 关于x，y的________解析式
可行解 满足线性约束条件的解________
可行域 所有可行解组成的________
最优解 使目标函数取得________或________的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题
二、必明2个常用结论
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．
2．判断二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　　)
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　　)
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P86练习T3改编]不等式组表示的平面区域是(　　)
3．[必修5·P91练习T1(1)改编]若变量x，y满足则x－2y的最大值为________．
(三)易错易混
4．(目标函数的几何意义不清)已知则x2＋y2的最小值是________．
5．(最优解个数无数理解不透)已知实数x，y满足不等式组若z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　)
A．18 B．10
C．6 D．4
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域　[基础性]
1．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)
A．1　　　B． C．　　　D．
2．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a≥ B．0C．1≤a≤ D．03．已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．3 D．1
反思感悟　二元一次不等式(组)表示的
平面区域的确定方法
(1)线定界：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线；
(2)点定域：在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，代入不等式检验，若满足不等式，则包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域，否则为另一侧所表示的平面区域；
(3)交定区：若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，求这些区域的公共部分，这个公共部分即为所求．
考点二　求目标函数的最值问题　[综合性]
角度1　求线性目标函数的最值
[例1]　(1)设实数x，y满足不等式组则2x－y的取值范围为(　　)
A．[－4，2]　　　　　　B．[－1，2]
C．[－1，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)[2021·浙江卷]若实数x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．
听课笔记：
反思感悟　
1．求目标函数的最值
形如z＝ax＋by(b≠0)的目标函数，可变形为斜截式y＝－x＋(b≠0)．
(1)若b>0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；
(2)若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．
2．求目标函数最优解的常用方法
如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：
(1)将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；
(2)将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
角度2　求非线性目标函数的最值
[例2]　变量x，y满足
(1)设z＝，求z的取值范围；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
听课笔记：
一题多变
1．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝x2＋y2”改为“z＝x2＋y2＋6x－4y＋13”，如何求解？
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝”改为“z＝|x＋y|”，如何求解？
反思感悟　求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解．常见非线性目标函数类型及其几何意义．
(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离.
角度3　求参数值或取值范围
[例3]　(1)已知x，y∈R满足条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(2，3)处取得最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[1，3]
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
听课笔记：
　反思感悟 由目标函数的最值求参数的方法
(1)把参数当常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数求出最值，通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围．
(2)先分离含有参数的式子，数形结合确定含参数的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
[提醒]　参数可能在表示可行域的不等式中(影响可行域的形状)，也可能在目标函数中(影响最优解的位置)，求解时注意参数的影响，有时需要对参数进行分类讨论．
【对点训练】
1．若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
2．设x，y满足约束条件则目标函数z1＝2x－y的最大值是________，目标函数z2＝ 的最小值是________．
3．设x，y满足若z＝2x＋y的最大值为，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0
C．1 D．－或1
考点三　线性规划的实际应用　[应用性]
[例4]　某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是________．
听课笔记：
反思感悟　
1．解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
【对点训练】
[2022·河北省“五个一名校联盟”考试]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　)
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.15万元　　　　　　　　B．16万元
C．17万元 D．18万元
第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
积累 必备知识
一、
1．边界直线　边界直线　公共部分
2．有序数对(x，y)　有序数对(x，y)
3．不等式(组)　一次　一次　(x，y)　集合　最大值　最小值　最大值　最小值
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．
答案：C
3．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线x－2y＝0并平移，当经过A(4，0)时，(x－2y)max＝4－2×0＝4.
答案：4
4．解析：作出表示的可行域，如图中阴影部分所示，易求得点A(1，2)，B(3，4)．x2＋y2的几何意义为可行域内的点到原点O的距离的平方．由图知，可行域内的点A到原点的距离最小，所以x2＋y2的最小值是12＋22＝5.
答案：5
5．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，
则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.
答案：1
6．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．
解方程组得，即点A的坐标为(1，3)．从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.故选C.
答案：C
提升关键能力
考点一
1．解析：作可行域如图中等腰直角三角形OAB所示，
由得 即B，且A(1，0)．
所以其面积为×1＝，故选C.
答案：C
2．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l3：x＋y＝.
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．
即a的取值范围是0答案：D
3．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.
由于直线y＝kx＋2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，
当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
由于6<7，由此可得k<0.由
可得D，
依题意应有×2×＝1，
解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.
答案：B
考点二
例1　解析：(1)如图，画出可行域(如图，阴影部分含边界)，令z＝2x－y，y＝2x－z.当z＝0时，画出初始目标函数表示的直线y＝2x，当直线平移至点A(0，1)时，z＝2x－y取得最小值zmin＝2×0－1＝－1，根据可行域可知，无最大值，所以2x－y的取值范围是[－1，＋∞)．
解析：(2)画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
目标函数z＝x－y化为y＝2x－2z，
由解得设A(－1，1)，
当直线y＝2x－2z过A点时，
z＝x－y取得最小值为－.
答案：(1)C　(2)B
例2　解析：由约束条件
作出可行域如图所示．
由解得A.
由解得C(1，1)．
由解得B(5，2)．
(1)因为z＝＝，
所以z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝，zmax＝kOA＝.
所以z的取值范围为.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.
所以z的取值范围为[2，29].
一题多变
1．解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例．
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
所以z的取值范围为[16，64].
2．解析：满足约束条件的可行域及各点坐标同本例．
z＝|x＋y|＝·的几何意义是可行域上的点到直线x＋y＝0的距离的倍．结合图形可知，可行域上点C(1，1)到直线x＋y＝0的距离最小，可行域上点B(5，2)到直线x＋y＝0的距离最大，
所以zmax＝＝7，zmin＝＝2.
所以z的取值范围为[2，7].
例3　解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，且目标函数仅在点A(2，3)处取到最大值，所以－a－1，故选D.
解析：(2)不等式1≤y≤x＋y≤ax＋3等价于
化简得
设z＝y－2x，则y＝2x＋z，且z的最大值是3，
由图形知，a－1≤2，解得a≤3，
所以实数a的取值范围是(－∞，3].
答案：(1)D　(2)A
对点训练
1．解析：由画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)．
由解得A(4，－2)，由解得B(2，2)，
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2，2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
答案：－2　8
2．解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最小值，即z2＝x2＋y2的最小值为＝2.
答案：6　2
3．解析：由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得代入2x＋y＝得a＝1，故选C.
答案：C
考点三
例4　解析：根据题意，设培优小组A，B能够成立的学生人数分别为x，y(x，y均为正整数)，则z＝x＋y，作出不等式组所表示的平面区域，为图中四边形OABC及其内部的整数点，作出直线x＋y＝0，平移该直线，当平移后的直线经过点(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)时，z＝x＋y取得最大值，zmax＝5，故两培优小组能够成立的学生人数和最多是5.
答案：5
对点训练
解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得
∴M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
答案：D

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