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第四节　基本不等式
·最新考纲·
1．理解基本不等式(a，b>0)．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．
·考向预测·
考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中．
学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，和x＋y有最________值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，积xy有最________值.(简记：和定积最大)
[提醒]　利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
二、必明1个常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4) (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　)
(2)(a＋b)2≥4ab.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件．(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P100练习T1改编]当x>1时，x＋的最小值为________．
3．[必修5·P100练习T2改编]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
(三)易错易混
4．(未注意等号成立的条件)当x≥2时，x＋的最小值为________．
5．(未注意字母的正负号)函数f(x)＝(x<0)的最大值为________．
(四)走进高考
6．[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　利用基本不等式求最值　[综合性]
角度1　配凑法
[例1]　(1)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
(2)已知0听课笔记：
反思感悟　配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
角度2　常数代换法
[例2]　若正数m，n满足2m＋n＝1，则的最小值为(　　)
A．3＋2　　　 B．3＋
C．2＋2 D．3
听课笔记：
反思感悟　常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
角度3　消元法
[例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则
(1)x＋3y的最小值为________；
(2)xy的最大值为________．
听课笔记：
反思感悟　消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的取值范围．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝＋x，则(　　)
A．f(x)有最小值 B．f(x)有最小值－
C．f(x)有最大值－ D．f(x)有最大值－
2．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则的最小值为________．
考点二　基本不等式的综合应用　[综合性]
角度1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
[例4]　(1)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则的最小值是(　　)
A．2－ B．－1
C．3＋2 D．3－2
(2)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
听课笔记：
反思感悟　基本不等式与函数、数列、解析几何结合的题目，往往先通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
角度2　求参数值或取值范围
[例5]　(1)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A． B．2
C．4 D．
(2)[2021·江西吉安期中]设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是(　　)
A．[4，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(4，＋∞)
听课笔记：
反思感悟　求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或取值范围．
【对点训练】
1．设x>0，y>0，且＝1，若3x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－6]
B．(－∞，－4]
C．(－6，4)
D．(－4，6)
2．若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
考点三　基本不等式的实际应用　[应用性]
[例6]　小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
听课笔记：
反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；
(3)在定义域内，求函数的最值；
(4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．
【对点训练】
网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．
微专题27 均值不等式的向量形式　交汇创新
我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及(a，b∈R＋)是两个应用广泛的均值不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
但将(a，b∈R＋)简单地类比为就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到(a，b∈R＋) ≥ab(a，b∈R＋)，而不等式(a＋b)2≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1　设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
定理2　设a，b是两个向量，则≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
[例1]　若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析：方法一　由定理1得
32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，
所以a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立，
故a·b的最小值是－.
方法二　由定理2得
2a·(－b)≤＝，
则a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立．
故a·b的最小值是－.
答案：－
说明　本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，a·b的最大值为；当λ<0时，a·b的最小值为.
[例2]　已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．
解析：引入正参数λ，
由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b，
1－2b2＝a·b≤＝，
当且仅当λa2＝b2，即b2＝λ2时等号成立．
所以1－2λ2＝a·b≤＝，
解得λ＝|b|≥，
故|b|的最小值为.
答案：
[例3]　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．
解析：由(a－c)·(b－c)＝0得
c2＝c·(a＋b)，
由定理1及已知条件得
c2＝c·(a＋b)≤[c2＋(a＋b)2]
＝(c2＋a2＋b2)＝(c2＋2)，
解得|c|2≤2，故|c|的最大值是.
拓展1　已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是.
拓展2　已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 .
[例4]　平面上三点A，B，C满足·>0，求＋的最小值．
解析：由定理2得0<·＝，
则＋＋＝||2＋≥2·||·＝4，
故当且仅当＝，且||＝时，＋取得最小值4.
[例5]　设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围．
解析：由定理1得a·b≤，
所以a·b≤，
解得a·b≤1.
又由定理1得(－a)·b≤，
所以a·b≥－＝－，
解得a·b≥－3.
所以－3≤a·b≤1.
因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，
所以1≤a2－a·b＋b2≤9.
名师点评　以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．
第四节　基本不等式
积累必备知识
一、
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b
2．(1)x＝y　小　(2)x＝y　大　
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：当x>1时，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．
答案：3
3．解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x) m，由题意可知0则面积S＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：25
4．解析：设x＋2＝t，则x＋＝t＋－2.
又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋－2在[4，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋－2即x＋取得最小值，最小值为4＋－2＝3.
答案：3
5．解析：因为x<0，所以f(x)＝＝2x＋＋1＝－(－2x＋)＋1≤－2＋1＝1－2，当且仅当－2x＝，即x＝－时，等号成立，所以f(x)的最大值为1－2.
答案：1－2
6．解析：＝＝＝4，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．故所求的最小值为4.
答案：4
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋
＝(4x－5)＋＋3
≥2 ＋3
＝2＋3＝5
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，所以f(x)的最小值为5.
解析：(2)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
答案：(1)5　(2)
例2　解析：因为2m＋n＝1，
则＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以的最小值为3＋2，故选A.
答案：A
例3　解析：(1)方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
(2)方法一　9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，∴t>0，
∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，
解得0∴，∴xy≤3，
当且仅当x＝3，即x＝3，y＝1时取等号，
∴xy的最大值为3.
方法二　∵x＝，
∴x·y＝·y＝
＝
＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3.
当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号．
∴xy的最大值为3.
答案：(1)6　(2)3
对点训练
1．解析：∵x<，
∴－x>0，f(x)＝＋x，＝＋x－
＝－≤－2＋＝－，
当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.
答案：D
2．解析：令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴＝＝(m＋n)＝(2＋2)＝.
当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．
∴的最小值为.
答案：
考点二
例4　解析：(1)直线平分圆，即直线过圆的圆心，由题意可知圆心坐标(1，2)．
则2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1
所以＝()(a＋b)＝3＋()≥3＋2
当且仅当＝，即b＝－1，a＝2－时取等号．
解析：(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝(2＋1)＝，
当且仅当n＝，即n＝4时取等号，
所以的最小值是.
答案：(1)C　(2)
例5　解析：(1)∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝恒成立，
∵≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，∴a≤2，故实数a的最大值为2，故选B.
(2)∵x＋y＝1, 且x>0，y>0，a>0，∴＝()(x＋y)＝a＋1＋≥a＋1＋2，
∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1，故选C.
答案：(1)B　(2)C
对点训练
1．解析：∵＝1，
∴3x＋2y＝(3x＋2y)＝12＋
≥12＋2＝24，
当且仅当时取等号，
∴m2＋2m<24，
∴－6答案：C
2．解析：由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得
cos A＝＝
＝＝
≥＝.
当且仅当b＝c时等号成立．
综上可得，cos A的最小值是.
答案：B
考点三
例6　解析：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，可得10－5因为2<10－5<3，
所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以二手车出售后，
小王的年平均利润为＝19－≤19－2＝9，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．
对点训练
解析：由题意知t＝－1(1当且仅当x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元．
答案：37.5

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