资源简介

第一节　空间几何体的结构特征及三视图和直观图
·最新考纲·
1．认识柱、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
·考向预测·
考情分析：空间几何体的结构、空间几何体的三视图与直观图仍会是高考的热点，多结合几何体的体积和表面积的计算进行考查．命题形式主要以选择题、填空题为主．
学科素养：通过三视图的识别及应用考查直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相____且____ 多边形 互相____
侧棱 ________ 相交于____， 但不一定相等 延长线交于____
侧面 形状 ________ ______ ____
2.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，____于底面 相交于____ 延长线交于____
轴截面 全等的____ 全等的________ 全等的________ ____
侧面 展开图 ____ ____ ____
[提醒]　台体是由锥体截得的，注意截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
3．直观图
(1)画法：常用________．
(2)规则：
①原图形中x轴，y轴，z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)________．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的________．
4．三视图
(1)几何体的三视图包括________视图、______视图、________视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：________一样高，________一样长，________一样宽，看不到的线画虚线．
二、必明3个常用结论
1．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征
(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；
(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；
(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
3．原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形的面积的关系：(1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观图．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　)
(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　　)
(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P8习题T1改编]下列说法不正确的是(　　)
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
3．[必修2·P8习题T1改编]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)
(三)易错易混
4．(三个视图间的关系不清)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
5．(斜二测画法的规则不清)利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．
以上结论正确的个数是________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为____________(写出符合要求的一组答案即可)．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　空间几何体的结构特征　[基础性]
1．下列结论正确的是(　　)
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
2．下列说法中正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①②　　B．①③ C．②③　　D．②④
3.
[2020·全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A． B．
C． D．
4．[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
反思感悟　空间几何体概念的辨析方法
考点二　空间几何体的直观图　[综合性]
[例1]　已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
听课笔记：
一题多变
若例1中将“正三角形△ABC的边长为2”改为“正△A′B′C′的边长为2”，则△ABC的面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟 原图与直观图中的“三变”与“三不变”
【对点训练】
1．以下关于斜二测直观图的结论，
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的个数是(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
3.
有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
考点三　空间几何体的三视图　[综合性]
角度1　已知几何体，识别三视图
[例2]　如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)
　　
A．①②⑥ B．①②③
C．④⑤⑥ D．③④⑤
听课笔记：
反思感悟　已知几何体，识别三视图的步骤
(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；
(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．
角度2　已知三视图还原几何体
[例3]　[2020·全国卷Ⅱ]如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为(　　)
A．E　　　B．F C．G　　　D．H
听课笔记：
反思感悟　由三视图确定几何体的步骤
角度3　已知三视图中的部分视图，判断其他视图．
[例4]　(1)[2021·全国甲卷]
在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)
(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
听课笔记：
反思感悟　由几何体的部分视图确定剩余视图的方法
解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下的部分视图的可能形式，当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．
【对点训练】
1．[2022·山西省八校高三联考]已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为(　　)
A．2 B．3
C．3 D．2
2．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最大面的面积是(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
第八章　立体几何初步
第一节　空间几何体的结构特征及三视图和直观图
积累必备知识
一、
1．平行　相等　平行　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形　梯形
2．垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆　矩形　扇形　扇环
3．(1)斜二测画法　(2)垂直　平行于坐标轴　不变　一半
4．(1)正　侧　俯　(2)正侧　正俯　侧俯
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2．解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
答案：B
3．解析：由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱．
答案：③⑤
4．解析：由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．则该几何体的侧视图为B.
答案：B
5．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，正方形的直观图是一般的平行四边形；③错误，因为斜二测画法平行关系不变，所以等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，故④也错误．
答案：1
6．解析：根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．
答案：③④(答案不唯一，②⑤也可)
提升关键能力
考点一
1．解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．
答案：B
2．解析：由棱锥的定义可知，棱锥的各个侧面都是三角形，①正确；由棱锥的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，②错误；③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，④错误．故选B.
答案：B
3．解析：如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝，
∴以|PO|为边长的正方形面积为h2－，
侧面三角形面积为ah，
∴h2－＝ah，
∴4h2－2ah－a2＝0，
两边同除以a2可得4－2·－1＝0，
解得＝，
又∵>0，∴＝.
答案：C
4．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26　－1
考点二
例1　解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝＝.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
答案：
一题多变
解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，AB＝A′B′＝2，在△O′A′C′中，由正弦定理，得＝，
所以O′C′＝×2＝.
图①　　　图②　
所以△ABC的高OC＝2O′C′＝2.
所以S△ABC＝×2×2＝2.
答案：2
对点训练
1．解析：角的水平放置的直观图一定是角，①正确；相等的角在直观图中不一定相等，例如在正方体ABCD EFGO的直观图中∠ADC≠∠DAB，故②错误；相等的线段在直观图中不一定相等，例如在正方体ABCD EFGO的直观图中AD＝DC，故③错误；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行，故④正确．综上所述，正确的个数为2.
答案：C
2．解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.
答案：A
3.
解析：如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可还原原图形如图．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，
B′C′＝＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×2＝2＋.
答案：2＋
考点三
例2　解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.
答案：B
例3　
解析：根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.
答案：A
例4　解析：(1)根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
解析：(2)由三棱锥C－ABD的正视图、俯视图得三棱锥C－ABD的侧视图为直角边长是的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C－ABD的侧视图的面积为.
答案：(1)D　(2)D
对点训练
1．解析：由三视图还原该几何体的直观图，为如图所示的四棱锥P－ABCD，其中该四棱锥的底面是一个上底为1、下底为2、高为2的直角梯形，平面PBC⊥底面ABCD，△PBC是边长为2的正三角形，易知AB＝BC＝PB＝PC＝2，CD＝1，AD＝PD＝，PA＝2，所以最长棱的长度为2.
答案：D
2．解析：如图所示，由三视图可知该几何体是四棱锥P ABCD截去三棱锥P ABD后得到的三棱锥P BCD.其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，易知面积最大面为面PBD，面积为＝2.
答案：C

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