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第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
·最新考纲·
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面)．
·考向预测·
考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点．
学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．平面的基本性质
　　表示 公理　　 文字语言 图形语言 符号语言
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理2 __________的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有______过该点的公共直线 α＝l，且P∈l
2.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________．
(3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：____________．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 ________ 1个
平行 ________ 0个
在平面内 ________ 无数个
平面与平面 平行 ________ 0个
相交 ________ 无数个
二、必明3个常用结论
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α＝a.(　　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α＝A.(　　)
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)
(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P43练习T1改编]下列说法正确的个数为(　　)
①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则两个平面重合．
A．0　　　B．1　　 　 C．2　　　 D．3
3．[必修2·P45例2改编]已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
(三)易错易混
4．(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)
①若α α，b β，则a与b是异面直线；
②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；
④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
5．(忽视直线在平面内)已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　平面的基本性质　[基础性]
[例1]　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC＝P，A1C1＝Q.证明：
(1)B，D，F，E四点共面；
(2)若直线A1C与平面BDEF的交点为R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线共点．
听课笔记：
反思感悟　共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点线共面问题的两种方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线，确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(2)证明点共线问题的两种方法
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在一条特定直线上．
(3)证明多线共点问题的步骤
①先证其中两条直线交于一点；
②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明．
【对点训练】
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
考点二　空间两直线的位置关系　[综合性]
[例2]　(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　)
A．a∥c
B．a，c是异面直线
C．a，c相交
D．a，c平行或相交或异面
(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
听课笔记：
反思感悟　
【对点训练】
1．若平面α和直线a，b满足a＝A，b α，则a与b的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有______．(填上所有正确答案的序号)
考点三　异面直线所成的角　[综合性]
[例3]　(1)[2022·广西南宁三中高三模拟]在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于(　　)
A． B．
C． D．
(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
听课笔记：
反思感悟　用几何法求异面直线所成角的具体步骤：
【对点训练】
1．直三棱柱ABC A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．[2022·黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考]三棱锥P ABC所有棱长都为2，E，F分别为PC，AB的中点，则异面直线BE，PF所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
积累必备知识
一、
1．过不在一条直线上　一条
2．(1)相交　平行　任何一个平面　(2)平行　相等或互补　(3)锐角(或直角)　
3．a＝A　a∥α　a α　α∥β　α＝l
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
(5)√
2．解析：②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，①③正确．
答案：C
3．解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
答案：B
4．解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．
答案：④
5.
解析：如图，直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则a与α的位置关系是a∥α或a α.
答案：a∥α或a α
6．解析：
方法一　如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.
答案：D
提升关键能力
考点一
例1　证明：(1)连接B1D1(图略)
∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α＝PQ.
又A1C＝R，∴R∈A1C，
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)∵EF∥BD，且EF≠BD，
∴DE与BF一定相交，设交点为M.
∵BF 平面BCC1B1，DE 平面DCC1D1，平面BCC1B1∩平面DCC1D1＝CC1，
∴M∈CC1.
∴DE，BF，CC1三线共点．
对点训练
证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴FE∥A1B且EF＝A1B.
∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，
∴EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．
证明：(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE 平面ABCD，
且P∈D1F 平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
考点二
例2　解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面．
(2)
取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.
答案：(1)D　(2)B
对点训练
1．解析：当A∈b时，a与b相交，当A b时，a与b异面．
答案：D
2．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面，所以图②④中GH与MN异面．
答案：②④
考点三
例3　解析：(1)取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，
如图所示，∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF＝，OE＝，故cos ∠OEF＝＝.
(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°，当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
答案：(1)B　(2)或
对点训练
1．解析：如图，将三棱柱补成一个正方体，由正方体的性质可知，AC1∥BD1，所以直线BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD＝60°，即BA1与AC1成60°的角．
答案：C
2.
解析：连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，
∵E是PC的中点，
∴EO∥PF，
∴∠BEO(或其补角)是异面直线BE与PF所成的角．
设三棱锥P ABC的所有棱长为2，
则PF＝BE＝CF＝＝，
则EO＝PF＝＝FO＝CF，
则BO＝＝＝，
在∠BEO中，由余弦定理得
cos ∠BEO＝＝＝，
∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为.
答案：D

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