资源简介

第二节　空间几何体的表面积和体积
·最新考纲·
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
·考向预测·
考情分析：高考常以三视图为载体，主要考查柱、锥、球的表面积和体积，以选择题、填空题的形式出现，属于容易题．
学科素养：通过空间几何体的表面积与体积的计算考查直观想象、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧＝____ S圆锥侧＝____ S圆台侧＝________
2.空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体 表面积 体积
柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____
锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝________
台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝________ V＝________
二、必明3个常用结论
1．正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)
(4)球的体积之比等于半径之比的平方．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P27练习T1改编]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
3.
[必修2·P29习题B组T1改编]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．
(三)易错易混
4．(长度单位与体积单位的换算出错)《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆的周长约为(　　)
A.1丈3尺 B．5丈4尺
C.9丈2尺 D．48丈6尺
5．(不会分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　空间几何体的侧面积和表面积　[基础性、综合性]
[例1]　(1)[2022·云南省部分学校统一检测]《九章算术》中将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“阳马”和某“堑堵”的组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．28＋12 B．24＋12
C．26＋12 D．12＋24
(2)
[2022·河南周口模拟]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D．8＋4
听课笔记：
反思感悟　三类几何体表面积的求法
求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则 几何体的 表面积 通常将不规则几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出不规则几何体的表面积
【对点训练】
1．[2020·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　　)
A.6＋4 B．4＋4
C.6＋2 D．4＋2
2．[2022·安徽池州市高三模拟]古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为5.若圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥S′O′的侧面积为(　　)
A.15π B．60π
C.96π D．120π
3．[2022·福建厦门市高三模拟]2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是(　　)
A.9＋6 B．9＋8
C.12＋6 D．12＋8
考点二　空间几何体的体积　[综合性]
角度1　公式法求体积
[例2]　正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A.20＋12 B．28
C. D．
听课笔记：
角度2　割补法求体积
[例3]　
在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积V＝________ cm3.
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例3中条件不变，求斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　等体积法求体积
[例4]　如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为(　　)
A. B．
C. D．
反思感悟　
(1)处理体积问题的思路
(2)求体积的常用方法
①直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．
②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．
③等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换．
【对点训练】
1．如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形．点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1 AEF的体积为2，则四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为(　　)
A.12　　　B．8　　　C．20　　　D．18
2．图1是一种生活中常见的容器，其结构如图2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF.现测得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF ABCD的体积为(　　)
A.2 500 cm3 B．3 500 cm3
C.4 500 cm3 D．3 800 cm3
考点三　空间几何体的外接球与内切球[创新性]
角度1　几何体的外接球
[例5]　(1)[2022·天津市武清区检测]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)
A.12π　　B．20π　　C．24π　　D．32π
(2)[2022·天津高三模拟]长方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，则球面面积为(　　)
A.π B．π C．4π D．8π
听课笔记：
反思感悟　处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[例6]　(1)[2022·成都市高三模拟]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P ABC有一个内切球O，则球O的体积为(　　)
A. B． C． D．9π
(2)[2022·江苏南京高三模拟]已知直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为(　　)
A.25∶1 B．2∶1
C.5∶1 D．∶1
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)若例6(1)中“若三棱锥P ABC有一个内切球O，”改为“若三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，”则球O的表面积为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
【对点训练】
1．[2022·河北衡水市检测]已知正三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A.π B．3π C．6π D．9π
2．[2022·沙坪坝区测试]在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝AC＝BC＝，则三棱锥P ABC外接球的表面积是(　　)
A.9π B．π
C.4π D．π
3．已知在三梭锥A BCD中，AB＝CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A. B．
C. D．
微专题28 数学文化与立体几何的交汇　交汇创新
纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新．从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养．
[例]　
[2022·四川眉山市高三模拟]中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．如图所示的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为________．
解析：
由题意可知：球O为鳖臑ABCD的外接球，
∵AB⊥平面BCD，BD，CD 平面BCD，∴AB⊥BD，AB⊥CD，
又CD⊥BC，AB，BC 平面ABC，AB＝B，
∴CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，∴CD⊥AC；
取AD中点E，连接BE，CE，
∵AB⊥BC，∴BE＝AE＝DE，同理可知：CE＝AE＝DE，
∴点E与球O的球心O重合，球O的半径R＝AD＝＝，
∴球O的表面积S＝4πR2＝6π.
答案：6π
名师点评　求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解．
[变式训练]　[2022·安徽高三测试]《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》中有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈．问积几何？答曰：四千三百七十五尺．意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈．问水沟的容积是多大？答案是4 375立方尺．若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)(　　)
A．4 375 B．1 875＋350
C．1 750＋350 D．700＋350
第二节　空间几何体的表面积和体积
积累必备知识
一、
1．2πrl　πrl　π(r′＋r)l
2．Sh　Sh　4πR2　πR3
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：设底面半径为r，由侧面展开图为半圆可知，圆锥母线长l＝2r，所以S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2.
答案：2
3．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为×π×22×3＝6π，表面积为2××π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.
答案：6π　12＋10π
4．解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，依题意，圆柱体积为V＝πr2h，即2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9尺，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺．
答案：B
5．解析：圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.
②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
答案：24π2＋8π或24π2＋18π
6．解析：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π.
答案：39π
提升关键能力
考点一
例1　解析：
(1)由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，“堑堵”的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为4，“阳马”的底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的表面积分两部分，“堑堵”部分的表面积S堑堵＝×2×2×2＋2×4＋2×4＋2×4－×2×2＝18＋8，
“阳马”部分的表面积，S阳马＝2×2＋×2×2＋×2×2×2×2＝6＋4，
所以该几何体的表面积为S堑堵＋S阳马＝18＋8＋6＋4＝24＋12.
(2)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.
答案：(1)B　(2)A
对点训练
1．解析：在正方体中还原几何体如图．
几何体为正方体的一部分：三棱锥P ABC，
S表面积＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC
＝×2×2×2×2＋×2×2＋×2×2＝2＋6.
答案：C
2．解析：由题意得：圆锥SO的底面直径为6，高为＝4，
所以高与底面直径之比为＝，
因为圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，
所以圆锥S′O′的底面直径为＝12，则底面半径为6，
所以圆锥S′O′的母线长为＝10，
所以圆锥S′O′的侧面积为×2π×6×10＝60π.
答案：B
3．解析：棱长为1的正方形的面积为1×1＝1，正六边形的面积为6××1×1×＝，
又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，
所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8个，
所以该多面体的表面积为8×＋6＝12＋6.
答案：C
考点二
例2　
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝×(16＋4＋)＝.
答案：D
例3　解析：方法一(分割法)　将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为2 cm，高为5 cm的圆柱，其体积V1＝π×22×5＝20π(cm3)；上面是底面半径为2 cm，高为8－5＝3(cm)的圆柱的一半，其体积V2＝×π×22×3＝6π(cm3)．
∴该组合体的体积V＝V1＋V2＝20π＋6π＝26π(cm3)．
方法二(补形法)　在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为2 cm.高为8＋5＝13(cm)，该圆柱的体积V1＝π×22×13＝52π(cm3)．∴该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V＝V1＝26π(cm3)．
答案：26π
一题多变
解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(5＋8)×(π×4)＝26π(cm2)．
答案：26π
例4　解析：易知三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为，底面积为，故其体积为＝.
答案：A
对点训练
1．解析：设点F到平面ABB1A1的距离为h，因为VA1 AEF＝VF A1AE＝·h＝·h＝(AA1·AB)·h＝S四边形ABB1A1·h＝，所以＝6VA1 AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为12.
答案：A
2．解析：如图，连接AC，EC，AF.∵ABCD是矩形，∴AB＝CD.∴过点D作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，则AG⊥EF.由题意知，AG＝25 cm.∵AD⊥平面CDEF，∴AD⊥DG.∵AD＝15 cm，∴DC与EF间的距离DG＝＝20(cm).∵EF＝30 cm，AB＝DC＝20 cm，∴S△ECD＝×20×20＝200(cm2)，S△EFC＝×30×20＝300(cm2)．∴VA EDC＝×200×15＝1 000(cm3)，VA EFC＝×300×15＝1 500(cm3)．∵VB AFC＝VC AFB＝＝VA CEF＝×1 500＝1 000(cm3)，∴几何体EF ABCD的体积VEF ABCD＝VA DCE＋VA EFC＋VB AFC＝1 000＋1 500＋1 000＝3 500(cm3)．
答案：B
考点三
例5　解析：(1)将三棱锥P ABC放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥P ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝＝＝2.
设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2＝4＋4＋12＝20，故R2＝5.
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝20π.
(2)因为长方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB＝2，AD＝，AA1＝1，
所以4R2＝22＋()2＋12＝8，球的表面积为4πR2＝8π.
答案：(1)B　(2)D
例6　解析：(1)因PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA＝A，于是得BC⊥平面PAB，PB⊥BC，而PA⊥AB，PA⊥AC，
又PA＝BC＝4，AB＝3，则有AC＝＝5，PB＝＝5，
三棱锥P ABC的表面积为S＝S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC＝(PA·AB＋AB·BC＋PB·BC＋PA·AC)＝32，
连接OA，OB，OC，OP，如图：
三棱锥P ABC被分割为四个三棱锥O PAB，O ABC，O PBC，O PAC，它们的高均为球O的半径r，
VP ABC＝VO PAB＋VO ABC＋VO PBC＋VO PAC＝r(S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC)＝，
而VP ABC＝PA·S△ABC＝×4××3×4＝8，则＝8，得r＝，
所以球O的体积为V＝π·r3＝π·＝.
(2)设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以R1＝a，
故正三棱柱的高为2×a＝a，
当球外接于正三棱柱时，设球的半径为R2，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：
因为OO1＝R1＝a，CO1＝＝a，
所以OC2＝＝a2，
∴外接球与内切球表面积之比为＝＝5∶1.
答案：(1)C　(2)C
一题多变
解析：将三棱锥P ABC放在一个长方体中，则三棱锥P ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC.设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2＝16＋16＋9＝41，故R2＝.所以外接球的表面积S＝4πR2＝41π.
答案：41π
对点训练
1．解析：正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，
所以外接球的直径2R＝＝，所以4R2＝6，外接球的表面积4πR2＝6π.
答案：C
2.
解析：由已知P ABC是正三棱锥，设PH是正棱锥的高，由外接球球心O在PH上，如图，设外接球半径为R，又CH＝＝1，则PH＝＝2，
由OC2＝OH2＋CH2得R2＝(2－R)2＋12，解得R＝，
所以表面积为S＝4π×＝.
答案：D
3．解析：如图，将三棱锥A BCD放入长方体AEBF HCGD中，
设HC＝a，CG＝b，CE＝c，则a2＋b2＝22，a2＋c2＝32，b2＋c2＝32，
所以a＝b＝，c＝，则三棱锥A BCD的体积VA BCD＝abc＝，
S△ABC＝S△BCD＝S△ABD＝S△ACD＝2，设三棱锥A BCD内切球的半径为r，
则球心到三棱锥A BCD四个面的距离都为r，设三棱锥A BCD的表面积为S，
则VA BCD＝S×r＝×8×r＝，因此r＝，
所以三棱锥A BCD内切球的体积V＝πr3＝.
答案：D
微专题　数学文化与立体几何的交汇
变式训练
　解析：依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱，
底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺，
因为该沟两边坡面坡角相等，所以坡面宽为 ＝，
所以此沟表面为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，尺，尺，所以面积共计为700＋350平方尺．
答案：D

展开更多......

收起↑