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第六节　空间向量及其运算
·最新考纲·
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
4．理解直线的方向向量与平面的法向量．
5．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
·考向预测·
考情分析：本节主要考查空间向量的线性运算、数量积及其坐标运算，利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系，多出现在解答题中的第一小问．
学科素养：通过空间向量的运算及数量积运算考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相________
共面向量 平行于________的向量
共线向 量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使________
共面向 量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________
空间向量 基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝________ 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积：
①a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
②a⊥b ____________(a，b为非零向量)．
③|a|2＝a2，|a|＝.
(2)向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝____________
向量差 a－b＝____________
数量积 a·b＝____________
共线 a∥b ____________(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b ____________
夹角公式 cos 〈a，b〉＝____________________
3.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l________或________，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的______向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
二、必明3个常用结论
1．向量法判断空间中平行与垂直
(1)平行关系
线线平行：l∥m a∥b a＝kb，k∈R；
线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0；
面面平行：α∥β u∥v u＝kv，k∈R.
(2)垂直关系
线线垂直：l⊥m a⊥b a·b＝0；
线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku，k∈R；
面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0.
2．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线．
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
3．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
三、必练3类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(2)对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.(　　)
(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　)
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(5)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)
(6)已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是
n0＝±.(　　)
(7)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2 α⊥β.(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P98习题T7改编]已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
3.
[选修2－1·P97习题T2改编]如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
(三)易错易混
4．(二面角的范围出错)已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则这两个平面所成的二面角的大小为________．
5．(线面角的范围出错)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　空间向量的线性运算　[基础性]
1．在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)
2．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．用表示，则＝________．
3.
在三棱锥O ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量表示
(1)；
(2).
反思感悟　用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
考点二　共线、共面向量定理的应用　[综合性]
[例1]　如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝，＝k(0≤k≤1)．
(1)向量是否与向量共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
听课笔记：
反思感悟　证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【对点训练】
1．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝)．
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
考点三　空间向量的数量积及应用　[综合性]
[例2]　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
(1)求·；
(2)求·.
听课笔记：
一题多变　
1．(变问题)若例2中条件不变，求证：EG⊥AB.
2．(变问题)若例2中条件不变，求EG的长．
3．(变问题)若例2中条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
反思感悟　
1．空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
2．空间向量数量积的3个应用
求夹角 设向量a，b夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离) 利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
【对点训练】
1．在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝(　　)
A．0 B．
C．－ D．－
2．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设向量a＝，b＝，
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
考点四　利用空间向量证明平行或垂直　[综合性]
[例3]　
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.
听课笔记：
反思感悟　
1．用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示
面面平行 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)
②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
【对点训练】
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC.
(2)求证：B1F⊥平面AEF.
第六节　空间向量及其运算
积累必备知识
一、
1．平行或重合　同一平面　a＝λb　xa＋yb　xa＋yb＋zc
2．(1)a·b＝0
(2)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　a1b1＋a2b2＋a3b3　a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　
3．(1)平行　重合　(2)方向
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)√
2．解析：因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c，又a·b＝0，故a⊥b.
答案：C
3．解析：＝＋＝＋)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案：A
4．解析：cos 〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，所以这两个平面所成的二面角的大小为45°或135°.
答案：45°或135°
5．解析：∵cos 〈m，n〉＝－且〈m，n〉∈[0，π]
∴〈m，n〉＝120°
即直线l和平面α的法向量所在直线的夹角为180°－120°＝60°.则l与α所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
提升关键能力
考点一
1．解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝＝)，＝)．
所以＝)－)＝)
＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
答案：B
2．解析：∵＝＝)，
＝＝＝．
答案：
3．解析：(1)＝
＝＝)
＝
＝－.
(2)＝
＝
＝.
考点二
例1　解析：(1)因为＝，＝k，
所以＝
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝)＋
＝k＋
＝＝＋)
＝．
所以由共面向量定理知向量与向量共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0对点训练
1．解析：∵＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.
答案：－3
2．解析：(1)由已知得＝3，
所以＝()＋()，
即＝＝－，
所以共面．
(2)由(1)知共面且过同一点M.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
考点三
例2　解析：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
(1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝()·()
＝·()
＝·()
＝·(c－a)
＝(－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×)＝.
一题多变
1．证明：由本例知＝)＝(b＋c－a)，
所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
2．解析：由本例知＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为.
3．解析：由本例知＝b＋c，＝＝－b＋a，
得cos 〈〉＝＝－.
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
对点训练
1．解析：·＝)·()＝····)＝－1)＝－.
答案：D
2．解析：(1)∵c∥＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．
于是
|c|＝
＝3|m|＝3，
即m＝±1.故c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
解析：(3)方法一　∵ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
且ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
解之，可得k＝2或k＝－.
故当ka＋b与ka－2b互相垂直时，
实数k的值为2或－.
方法二　∵由(2)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，
∴(ka＋b)·(ka－2b)
＝k2a2－ka·b－2b2
＝2k2＋k－10＝0，
从而可解得k＝2或k＝－.
考点四
例3　证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.
又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A，F，D，P，B，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量＝，
因为＝，
且·＝·＝0，
又因为EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因为＝＝(0，－a，0)，
所以·＝·(0，－a，0)＝0，
所以⊥，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD＝D，PD，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
对点训练
证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B1(4，0，4)，D(2，0，2)，A1(0，0，4)，
(1)＝(－2，4，0)，平面ABC的法向量为＝(0，0，4)，
＝0，DE 平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
∴B1F⊥，B1F⊥EF，
又·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
∴⊥，∴B1F⊥AF.
∵AF＝F，∴B1F⊥平面AEF.

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