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第七节　立体几何中的向量方法
·最新考纲·
1．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
·考向预测·
考情分析：本节内容以几何体为载体，重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，这仍会是高考的热点，多出现在解答题的第(2)问．
学科素养：通过建立空间直角坐标系解决空间角及空间的探究性问题考查数学运算、数学建模、直观想象等核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角为β l1与l2所成的角为θ
范围 (0，π) ________
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝________
2.直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，
平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝________．
3．二面角的求法
(1)如图①，AB，CD是二面角α l β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为θ＝________.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n1，n2〉或－cos 〈n1，n2〉．
4．利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y2，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
二、必明1个常用结论
直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　)
(3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P118复习参考题T10改编]在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
3.
[选修2－1·P113习题T9改编]如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．
(三)易错易混
4.
(不恰当建立空间直角坐标系)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．
(四)走进高考
5.
[2020·山东卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)
A．20°　 　B．40° C．50°　 　D．90°
详解答案
一、（0 , ]
二、
三、〈,〉
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×
2.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈〉|＝.
答案：D
3．解析：由图易知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0，a)，所以F，E.所以EF＝
＝＝a.
答案：a
4.
解析：以A为原点，以所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，则A(0，0，0)，C1(1，，2)，D(1，0，2)，
＝(1，，2)，＝(1，0，2)．
∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成角，
cos ∠C1AD＝
＝＝，
又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.
答案：
5．解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，
其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝ ∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.
答案：B

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