资源简介

　直线与圆锥曲线的位置关系
　提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　直线与圆锥曲线的位置　[基础性]
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
2．[2022·武汉调研]已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　　)
A．(0，) B．[1，]
C．(－) D．(1，)
反思感悟　
1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
考点二　弦长问题　[综合性]
[例1]　已知椭圆M：＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
听课笔记：
　反思感悟 弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【对点训练】
1．[2022·辽宁大连一中模拟]已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点P(2，3)，双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　)
A．4　　　B．2　　　C．8　　　D．2
2．[2022·合肥教学检测]直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于________．
考点三　中点弦问题　[综合性]
[例2]　(1)过椭圆＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
(2)[2022·重庆巴蜀中学月考]已知双曲线＝1(a>0，b>0)，F(5，0)为该双曲线的右焦点，过F的直线交该双曲线于A，B两点，且AB的中点为M，则该双曲线的方程为________．
听课笔记：
反思感悟　解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【对点训练】
1．[2022·贵州适应性测试]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，倾斜角为的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为2，则p的值为(　　)
A．　　　 B．1　 　　C．2　　 　D．4
2．[2022·江西模拟]已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系
提升关键能力
考点一
1．解析：由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.
答案：D
2．解析：联立，得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以k≠±1，设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以
整理得整理1答案：D
考点二
例1　解析：(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝＝
＝.
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
对点训练
1．解析：易得双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线的方程为x2－＝λ(λ＞0)，把点(2，3)代入可得4－3＝λ.
∴λ＝1，双曲线的方程为x2－＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2，0)，可得A(2，2)，B(2，－2)，可得S△AOB＝×2×4＝4.
答案：A
2．解析：抛物线C：y2＝12x的焦点为(3，0)，当直线l的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y＝k(x－3)，由，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋6＝16，∴k2＝3，k＝±，∴直线l的倾斜角等于或.
答案：或
考点三
例2　解析：(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故＝＝1，两式相减得
＝0.因为点P(3，1)是AB的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋4y－13＝0.
解析：(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减可以得到
＝0，
因为AB的中点为M，
所以x1＋x2＝－，y1＋y2＝－，
所以kAB＝＝＝，
又kAB＝kFM＝＝1，所以＝1，即16a2＝9b2，
由解得故双曲线方程为＝1.
答案：(1)B　(2)＝1
对点训练
1．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，且＝tan ＝，由，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，由题意知x1≠x2，∴(y1＋y2)·＝2p，即4＝2p，得p＝2.
答案：C
2．解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有)＝).即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，
∴·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－.
答案：A

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