2023届高考一轮复习9.9 直线与圆锥曲线的位置关系 学案(含答案)

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2023届高考一轮复习9.9 直线与圆锥曲线的位置关系 学案(含答案)

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 直线与圆锥曲线的位置关系
 提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 直线与圆锥曲线的位置 [基础性]
1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为(  )
A.1 B.1或3
C.0 D.1或0
2.[2022·武汉调研]已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点,则k的取值范围为(  )
A.(0,) B.[1,]
C.(-) D.(1,)
反思感悟 
1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.
(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.
2.判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况.
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时,判别式Δ起着关键性的作用,第一:可以限定所给参数的范围;第二:可以取舍某些解以免产生增根.
考点二 弦长问题 [综合性]
[例1] 已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值.
听课笔记:
 反思感悟 弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=
=(k为直线斜率).
[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
【对点训练】
1.[2022·辽宁大连一中模拟]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,且双曲线过点P(2,3),双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A,B两点,则△AOB的面积为(  )
A.4   B.2   C.8   D.2
2.[2022·合肥教学检测]直线l过抛物线C:y2=12x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点.若弦AB的长为16,则直线l的倾斜角等于________.
考点三 中点弦问题 [综合性]
[例2] (1)过椭圆=1内一点P(3,1),且被点P平分的弦所在直线的方程是(  )
A.4x+3y-13=0
B.3x+4y-13=0
C.4x-3y+5=0
D.3x-4y+5=0
(2)[2022·重庆巴蜀中学月考]已知双曲线=1(a>0,b>0),F(5,0)为该双曲线的右焦点,过F的直线交该双曲线于A,B两点,且AB的中点为M,则该双曲线的方程为________.
听课笔记:
反思感悟 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【对点训练】
1.[2022·贵州适应性测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为2,则p的值为(  )
A.    B.1    C.2    D.4
2.[2022·江西模拟]已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A、B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为(  )
A.- B.- C.- D.-
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
提升关键能力
考点一
1.解析:由得k2x2+(4k-8)x+4=0,
若k=0,则y=2,符合题意.
若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,
所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.
答案:D
2.解析:联立,得消去y得(1-k2)x2+2kx-5=0,所以k≠±1,设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以
整理得整理1答案:D
考点二
例1 解析:(1)由题意得解得a=,b=1.
所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
所以|AB|=
==
=.
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.
对点训练
1.解析:易得双曲线的渐近线方程为y=±x,可得双曲线的方程为x2-=λ(λ>0),把点(2,3)代入可得4-3=λ.
∴λ=1,双曲线的方程为x2-=1,c2=1+3=4,c=2,F(2,0),可得A(2,2),B(2,-2),可得S△AOB=×2×4=4.
答案:A
2.解析:抛物线C:y2=12x的焦点为(3,0),当直线l的斜率不存在时,弦长为12,不合题意,故直线l的斜率存在,设为k,则直线l:y=k(x-3),由,得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0,Δ=(6k2+12)2-4k2×9k2=144(k2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+6=16,∴k2=3,k=±,∴直线l的倾斜角等于或.
答案:或
考点三
例2 解析:(1)设所求直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故==1,两式相减得
=0.因为点P(3,1)是AB的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=2,故kAB==-,所以直线AB的方程为y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.
解析:(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减可以得到
=0,
因为AB的中点为M,
所以x1+x2=-,y1+y2=-,
所以kAB===,
又kAB=kFM==1,所以=1,即16a2=9b2,
由解得故双曲线方程为=1.
答案:(1)B (2)=1
对点训练
1.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,且=tan =,由,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),由题意知x1≠x2,∴(y1+y2)·=2p,即4=2p,得p=2.
答案:C
2.解析:由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有)=).即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,
∴·=-,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM====-,又知kAB=-1,∴-×(-1)=-,∴=-.
答案:A

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