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第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
·最新考纲·
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
·考向预测·
考情分析：直线方程单独考查较少，与圆的方程、圆锥曲线方程结合考查是高考的热点，各种题型都有．
学科素养：通过直线的倾斜角、斜率、方程的求解考查数学运算的核心素养；通过直线方程的综合应用考查直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．直线的倾斜角
(1)定义
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：________.
2．直线的斜率
条件 公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90° k＝________
直线过点A(x1，y1)， B(x2，y2)且x1≠x2 k＝________
直线Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝________
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ______________ 不含直线x＝x0
斜截式 ______________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________________________ 平面内所有直线都适用
[提醒]　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
4．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
二、必明2个常用结论
1．直线倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
三、必练3类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P95习题T2改编]直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋a＝0的斜率为(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．[必修2·P96例4改编]已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
(三)易错易混
4．(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)
A．0 B．
C． D．不存在
5．(忽视斜率与截距对直线的影响)如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
6．(忽视截距为0的情况)经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　直线的倾斜角与斜率　[基础性]
1．直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．设直线l的方程为x＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．
C． D．
3．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
4．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
反思感悟　解决直线的倾斜角与斜率问题的方法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
考点二　直线的方程　[综合性]
[例1]　(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
听课笔记：
反思感悟　求解直线方程的两种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法 ①设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
[提醒]　(1)选用点斜式和斜截式时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)选用截距式时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)选用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.
【对点训练】
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.
考点三　直线方程的综合应用　[综合性]
角度1　直线过定点问题
[例2]　已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标；
(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；
(2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；
(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________．
听课笔记：
反思感悟　
1．直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标．
2．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
角度2　与直线方程有关的多边形面积的最值问题
[例3]　过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例3中条件不变，求当||·||取得最小值时直线l的方程．
反思感悟　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
【对点训练】
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
第九章　平面解析几何
第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
积累必备知识
一、
1．(2)[0，π)
2．tan θ　 　－
3．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
4． 　
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．解析：cos 150°＝－，sin 30°＝ ，所以k＝－ ＝－ ＝
答案：A
3．解析：由中点坐标公式得M(2，4)，N(3，2)，则kMN＝＝－2，∴MN所在直线的方程为：y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0.
答案：C
4．解析：因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为 .
答案：C
5．解析：将Ax＋By＋C＝0化为y＝－ x－ ，
∵A·C＜0，B·C＜0，∴－＜0，－＞0.
∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．
答案：三
6．解析：当直线过原点时，方程为y＝ x.即x－4y＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝k，把点A(4，1)代入直线的方程可得k＝5，故直线方程是x＋y－5＝0.
答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0
提升关键能力
考点一
1．解析：由l：x＋y＋1＝0可得y＝－x－，所以直线l的斜率为k＝－，
设直线l的倾斜角为α，则tan α＝－，
因为0°≤α＜180°，所以α＝150°.
答案：D
2．解析：当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为，
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－，
∵cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，
∴k∈(－∞，－1]
即tan α∈(－∞，－1]
又α∈[0，π)，∴α∈，
由上知，倾斜角的范围是.
答案：C
3．解析：依题意得kAC＝＝1，kAB＝＝a－3，由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
4.
解析：如图所示，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l斜率的取值范围为(－∞，－
答案：(－∞，－
考点二
例1　解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1，3)，
因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＝1.　①
将(－5，2)代入①，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，
则－5k＝2，解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
对点训练
解析：(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即直线过(0，0)及(4，1)两点，
所以直线的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则直线的方程为＝1.
因为直线过点(4，1)，所以＝1，
所以a＝5，
所以直线的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当直线斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当直线斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
考点三
例2　解析：(1)当x＝0时， y＝3，所以直线过定点(0，3)；
(2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0)；
(3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0)．
答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0)
例3　解析：设直线l：＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以＝1.
(1)因为＝1≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋≥9，
当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
一题多变
解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＝1，所以＝1.
||·||＝－·
＝－(a－4，－1)·(－4，b－1)
＝4(a－4)＋b－1＝4a＋b－17
＝(4a＋b)－17
＝16＋＋1－17≥2×4＝8
当且仅当a＝b＝5时取等号，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.
对点训练
解析：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解得.
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
解析：(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得，解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

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