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第二节　两直线的位置关系
·最新考纲·
1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
·考向预测·
考情分析：确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点．往往和圆锥曲线综合起来．题型多为解答题．
学科素养：通过两直线位置关系的判定及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件 两直线位置关系 斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 ________
k1与k2都不存在
垂直 ________
k1与k2一个为零、另一个不存在
[注意]　在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑．
2．两条直线的交点
3．三种距离公式
三种距离 条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝____________
点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝________________
两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝____________
二、必明2个常用结论
1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点 (x，y)关于直线y＝x的对称点为 (y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P109习题T3改编]若直线mx－3y－2＝0与直线(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，则实数m的值为(　　)
A．2 B．－1
C．1 D．0
3．[必修2·P101习题T2改编]已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为(　　)
A. B．2－
C．－1 D．＋1
(三)易错易混
4．(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
5．(忽视平行线间系数的对应关系)直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　两条直线的平行与垂直　[基础性]
1．直线l1：y＝ax与直线l2：＝1平行，则a＝(　　)
A. B．－
C． D．－
2．[2022·上海市长宁区延安中学高三月考]“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．经过直线2x－y＝0与x＋y－6＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线方程为(　　)
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－6＝0
C．x＋2y－10＝0 D．x－2y＋6＝0
反思感悟　由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝≠0)
l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
考点二　两直线的交点与距离问题　[综合性]
角度1　交点问题
[例1]　(1)已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　)
A．(－2，－1) B．(2，3)
C．(2，1) D．(－2，1)
(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
听课笔记：
反思感悟　(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到方程组的解就可以写出交点的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
角度2　距离问题
[例2]　(1)点(0，－1)到直线3x－4y＋1＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．1
(2)已知直线l1：y＝3x－2，直线l2：6x－2y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
(3)[2022·玉林市育才中学模拟]x轴上任一点到定点 (0，2)、 (1，1)距离之和的最小值是(　　)
A． B．2＋
C． D．＋1
听课笔记：
反思感悟　
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式．
【对点训练】
1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为(　　)
A． B．2
C．11 D．3
2．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　)
A． B．0
C．－1 D．1
3．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
考点三　对称问题　[应用性]
角度1　点关于点对称
[例3]　过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
听课笔记：
反思感悟
若点M( ， )和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
,进而求解．
角度2　点关于线对称
[例4]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________.
听课笔记：
反思感悟　点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组
可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).
角度3　线关于线对称
[例5]　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
听课笔记：
反思感悟　线关于线对称的解题方法
求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程；
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
【对点训练】
1．点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
2．[2022·青铜峡市高级中学月考]已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0
微专题31 直线系方程的灵活应用　思想方法
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系．
直线系方程的常见类型
(1)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(2)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
一、平行直线系
[例1]　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
解析：由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0(C≠1)，又因为直线l过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋C＝0，解得C＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．
[例2]　求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解析：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过两直线交点的直线系
[例3]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为________．
解析：方法一　由方程组解得即两直线交点为，
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0.
方法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得两直线交点为，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
方法三　由题意可设所求直线方程为
(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，　①
又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
答案：4x－3y＋9＝0
名师点评
1．本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.
[变式训练]　已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
第二节　两直线的位置关系
积累必备知识
一、
1．k1＝k2　k1k2＝－1
3．
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：两直线平行，其系数满足关系式－3m＝－3(2－m)，解得m＝1.
答案：C
3．解析：由题意知 ＝1，所以|a＋1|＝，又a＞0，所以a＝－1.
答案：C
4．解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得：a＝0或a＝1.
答案：0或1
5．解析：直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离即直线2x＋2y＋1＝0，2x＋2y＋4＝0之间的距离d＝＝ .
答案：
6．解析：方法一　点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离为d＝＝ ，注意到k2＋1≥2k，于是2(k2＋1)≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．
即|k＋1|≤ · ，所以d＝≤，故点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为.
方法二　由题意知，直线l：y＝k(x＋1)是过点P(－1，0)且斜率存在的直线，点Q(0，－1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝.
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：直线l2：＝1的斜率为＝－，
因为直线l1：y＝ax与直线l2：＝1平行，所以a＝＝－.
答案：D
2．解析：若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，
则3a＋a(2a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，
则“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由题意，联立方程组，解得，即交点为P(2，4)，
设与直线2x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0，
把点P(2，4)代入x－2y＋m＝0，即2－8＋m＝0，解得m＝6，即所求直线方程为x－2y＋6＝0.
答案：D
考点二
例1　解析：(1)因为点N在直线x－y＋1＝0上，所以可设点N的坐标为(x0，x0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝＝.因为直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，所以kMN×＝－1，即＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2，3)．
(2)由方程组，得，
即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
答案：(1)B　(2)4x＋3y－6＝0
例2　解析：(1)点(0，－1)到直线3x－4y＋1＝0的距离为d＝＝＝1.
(2)直线l1的方程可化为6x－2y－4＝0，则l1与l2之间的距离d＝＝.
(3)x轴上任一点到定点(0, 2)、(1，1)距离之和的最小值，就是求解(0，2)关于x轴的对称点，连接对称点与(1，1)的距离即可，
因为(0, 2)关于x轴的对称点为(0，－2)，
所以＝.
即x轴上任一点到定点(0，2)、(1, 1)距离之和的最小值是.
答案：(1)D　(2)D　(3)C
对点训练
1．解析：设边BC的中点为D(x，y)．
因为B(3，－6)，C(5，2)，所以x＝＝4，y＝＝－2，
即D(4，－2)，所以AD＝＝2.
答案：B
2．解析：直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，
所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，
即m·＝－1，∴m＝－1.
答案：C
3．解析：由方程组，解得.
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，
∴，
解得－＜k＜.
答案：
考点三
例3　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
例4　解析：设A′(x，y)
由已知得
解得
故A′.
答案：
例5　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由
得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
答案：A
对点训练
1．解析：设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，
则有，
解得，
故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0，1)．
答案：B
2．解析：直线2x－3y＋4＝0取两点(1，2)，(－2，0)，其关于x＝1对称的点为(1，2)，(4，0)在直线l上，故斜率为＝－，即方程为y－0＝－(x－4)，即2x＋3y－8＝0.
答案：A
微专题　直线系方程的灵活应用
变式训练
　解析：∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
把l2的方程写成4x－8y－2＝0
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
答案：2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0

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