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第三节　圆的方程
·最新考纲·
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
·考向预测·
考情分析：求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题仍是高考考查的热点，题型将以选择与填空题为主，也可能出现在解答题中．
学科素养：通过求圆的标准方程及利用圆的方程求最值，考查数学运算、直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．圆的定义及方程
定义 平面内与________的距离等于________的点的集合(轨迹)
标准方程 ________(r＞0) 圆心：________， 半径：________
一般方程 ________________(D2＋E2－4F＞0) 圆心：________， 半径：________
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则________________．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P124A组T1改编]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
3．[必修2·P124A组T4改编]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
(三)易错易混
4．(错用点与圆的位置关系)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±4
5．(忽略方程中变量的取值范围)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．
(四)走进高考
6．[天津卷]在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　求圆的方程　[基础性]
1．[2022·赤峰二中检测]已知圆心在x轴上，半径为的⊙C位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则⊙C的方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x＋)2＋y2＝5
D．x2＋(y＋)2＝5
2．以点(1，－1)为圆心，且与直线x－y＋2＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8
3．若直线l：mx＋ny＋3＝0始终平分圆C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0，则2m－3n＝(　　)
A．－6 B．－3
C．3 D．6
4．已知圆x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圆心在直线x＋y－7＝0上，则该圆的面积为(　　)
A．4π　　　B．2π　　　C．π　　　D．
反思感悟　求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点二　与圆有关的最值问题　[综合性]
角度1　借助几何性质求最值
[例1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．
反思感悟　与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
角度2　建立函数关系求最值
[例2]　(1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)[2022·山东潍坊模拟]设点P(x，y)是圆＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
听课笔记：
反思感悟　建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．
【对点训练】
1．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为(　　)
A．6 B．
C．8 D．
2．设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为________．
考点三　与圆有关的轨迹方程　[综合性]
[例3]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
听课笔记：
反思感悟　求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【对点训练】
1．[2022·六盘山高级中学测试]已知圆C：x2＋y2＋4x＝0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝3
C．(x＋1)2＋y2＝2
D．(x＋2)2＋y2＝3
2．[2022·江苏南通高三测试]在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T.若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2－14x＋18＝0
B．x2＋y2＋14x＋18＝0
C．x2＋y2－10x＋18＝0
D．x2＋y2＋10x＋18＝0
第三节　圆的方程
积累必备知识
一、
1．定点　定长　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　(a，b)　r　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由公式可知圆心坐标为(－，－)，半径r＝，解得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝.
答案：D
3．解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，又|CA|＝＝，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
4．解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.
答案：A
5．解析：因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因为y∈[－1，1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值4.
答案：4
6．解析：方法一　根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆，其圆心为(1，0)，半径为1，则该圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
即x2＋y2－2x＝0.
方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由已知条件可得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
提升关键能力
考点一
1．解析：设圆心为C(a，0)(a＜0)，由题意＝，所以a＝－.
圆方程为(x＋)2＋y2＝5.
答案：C
2．解析：因直线与圆相切，所以圆的半径等于点(1，－1)到直线x－y＋2＝0的距离，
即r＝d＝＝2，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8.
答案：D
3．解析：由C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0得圆心C，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则m－n＋3＝0，则2m－3n＝－6.
答案：A
4．解析：圆的方程可化为(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圆心为(m，2m＋1)．
依题意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，
∴圆的半径为2，面积为4π.
答案：A
考点二
例1　解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝.解得k＝±(如图1)．所以的最大值为，最小值为－.
解析：(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，在y轴上的截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
一题多变
解析：∵圆心(2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为，最小值为.
例2　解析：(1)由已知可得线段AB是圆x2＋y2＝1的直径，且|AB|＝2，∴∠APB＝90°.
∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝4，
由基本不等式可得＝2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，∴|PA|＋|PB|≤2.
即|PA|＋|PB|的最大值是2.
(2)由题意知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4.
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1知2≤y≤4，
所以当y＝4时，·的值最大，最大值为12.
答案：(1)B　(2)12
对点训练
1．解析：
x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0，1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.
答案：B
2．解析：由题意知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＝(－2x，－2y)．由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以||＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，||的值最大，最大值为2＝10.
答案：10
考点三
例3　解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
对点训练
1．解析：圆C：x2＋y2＋4x＝0 (x＋2)2＋y2＝4，
所以圆心(－2，0)，半径r＝2,
因为△ABC为等边三角形，且AC＝BC＝2，
所以AB＝2，MC＝×2＝，
所以M的轨迹是以C为圆心，半径为的圆，
所以AB中点M的轨迹方程是(x＋2)2＋y2＝3.
答案：D
2．解析：设P(x，y)，∵PT＝PB，
∴PT2＝2PB2
∴(x－1)2＋y2－1＝2[(x－3)2＋y2]
整理得：x2＋y2－10x＋18＝0.
答案：C

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