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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
·最新考纲·
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
·考向预测·
考情分析：判断直线与圆的位置关系，判断圆与圆的位置关系，求弦长仍是高考考查的热点，题型将以选择题与填空题为主，也可能出现在解答题中．
学科素养：通过直线与圆、圆与圆位置关系的判断考查直观想象、逻辑推理的核心素养；通过弦长、切线问题的求解考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．直线与圆的位置关系与判断
方法 过程 依据 结论
代数法 联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac Δ＞0 ________
Δ＝0 ________
Δ＜0 ________
几何法 计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系．相交时弦长为2 ________ 相交
________ 相切
________ 相离
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2＞0)．
方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 ________ ________
外切 ________ ____________
相交 ________________ 两组不同的实数解
内切 d＝________(r1≠r2) ____________
内含 0____d____|r1－r2| (r1≠r2) ________
[提醒]　对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．
二、必明3个常用结论
1．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋.
3．两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，　①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，　②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)
(二)教材改编
2．[必修2·P127例1改编]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
3．[必修2·P129例3改编]两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
(三)易错易混
4．(忽视切线斜率不存在)过点M(1，2)的圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0的切线方程是________．
5．(忽视两圆相切有两种情况)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________．
(四)走进高考
6．[2020·天津卷]已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　直线与圆的位置关系　[基础性]
1．已知直线l：kx－y＋k＝0，圆O：x2＋y2＝2，则直线l与圆O的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2．已知集合A＝{(x，y)|a2x＋y－a＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则A的元素个数为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．无法确定
反思感悟　判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ＜0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ＞0，那么直线与圆相交.
考点二　圆的切线与弦长问题　[综合性]
角度1　直线与圆的相切问题
[例1]　过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．
听课笔记：
一题多变
1．(变条件)在例1中，若点P坐标变为(＋1，＋1)，其他条件不变，求切线方程．
2．(变问题)在例1中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程．
3．(变问题)在例1中，已知条件不变，则切线PA的长度为________，弦AB的长度为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法
几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．
代数法 当斜率不存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
角度2　与圆有关的弦长问题
[例2]　(1)直线2x＋y－a＝0被圆x2＋y2＋2x－4y＝0所截得的弦长为4，则实数a＝(　　)
A．或－　　　　B．0或
C．0或－ D．5或－5
(2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．0
听课笔记：
反思感悟　有关弦长问题的2种求法
几何法 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2
代数法 联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝
【对点训练】
1．[2022·安徽皖东四校联考]若直线l：4x－ay＋1＝0与圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，则实数a的值为(　　)
A． B．
C．或1 D．或1
2．[2022·湖北八校联考]已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18
C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25
考点三　圆与圆的位置关系　[综合性]
[例3]　已知两圆C1: x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
听课笔记：
反思感悟　
1．判断两圆位置关系的方程
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【对点训练】
1．[2022·安徽黄山五校联考]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　B．相交　　C．外切　　D．相离
2．若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为(　　)
A．1 B．11 C．121 D．1或121
微专题32 圆与一些知识的交汇　交汇创新
[例]　(1)已知m＝(2cos α，2sin α)，n＝(3cos β，3sin β)，若m与n的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋＝0与圆(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置关系是(　　)
A．相交　　B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
(2)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}，若A中有且仅有一个元素，则r的值为__________．
解析：(1)由向量的夹角公式得cos 〈m，n〉＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝，圆心(cos β，－sin β)到直线的距离d＝＝1＞，
∴直线与圆相离．
(2)∵A中有且仅有一个元素，∴两圆x2＋y2＝＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，5＝|r－2|，∴r＝7；当两圆外切时，5＝|r＋2|，∴r＝3.
答案：(1)D　(2)7或3
名师点评1．直线、圆与其他知识的交汇成为高考的热点，本例是直线、圆、平面向量与三角函数的交汇，直线、圆还经常与不等式、集合等知识交汇．
2．解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．
[变式训练]　
在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________.
第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
积累必备知识
一、
1．相交　相切　相离　d＜r　d＝r　d＞r
2．d＞r1＋r2　无解　d＝r1＋r2　一组实数解　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　|r1－r2|　一组实数解　≤　＜　无解
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0＜＜1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．
答案：B
3．解析：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4，两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．
答案：B
4．解析：由题意知点M在圆外，且圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝1，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，所以＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝2，综上切线方程为x＝1或y＝2.
答案：x＝1或y＝2
5．解析：由题意，定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为A(1，2)，半径R＝1；半径为r的圆的圆心为B(0，1)，所以|AB|＝＝.因为两圆相切，所以|AB|＝|R＋r|或|R－r|，
即|1＋r|＝或|1－r|＝.
解得r＝1±或r＝－1±.
因为r＞0，所以r＝1＋或－1.
答案：＋1或－1
6．解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25，又r>0，所以r＝5.
答案：5
提升关键能力
考点一
1．解析：由圆O：x2＋y2＝2，可得圆心O(0，0)，半径r＝，
因为圆心O(0，0)到直线l：kx－y＋k＝0的距离d＝＝<1<＝r，
所以直线l与圆O相交．
答案：A
2．解析：a＝0时，y＝0与圆相交有两个交点，
a≠0时，d＝＝＝＜1，
∴直线与圆相交，有两个交点．
答案：A
考点二
例1　解析：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
答案：x＝2或4x－3y＋4＝0
一题多变
1．解析：易知点P(＋1，＋1)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，则kPC＝＝1，
∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y－(＋1)＝－[x－(＋1)]，即x＋y－－2＝0.
2．解析：由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0，　①
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，　②
由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程．
3．解析：如图，在Rt△PAC中，|PA|＝＝＝3.
又∵·|PA|·|AC|＝|PC|·，解得|AB|＝.
答案：3　
例2　解析：(1)化圆的方程为标准方程，得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为 (－1，2)，半径r＝.因为圆心到直线2x＋y－a＝0的距离d＝＝，
所以直线2x＋y－a＝0被圆所截得的弦长L＝2＝2＝4，解得a＝±.
解析：(2)在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
答案：(1)A　(2)A
对点训练
1．解析：根据题意，得圆心C(－2，2)到直线l：4x－ay＋1＝0的距离d＝＝2，解得a＝.
答案：A
2．解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0，4)，半径r＝|CM|＝＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25.
答案：C
考点三
例3　解析：(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝＝3，故公共弦长为2 ＝2.
对点训练
1．解析：将圆M的方程化为x2＋(y－a)2＝a2，则圆心M(0，a)，半径r1＝a.M到直线x＋y＝0的距离d＝，则()2＋2＝a2，得a＝2，故M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心N(1，1)，半径r2＝1，所以|MN|＝，而|r1－r2|<|MN|答案：B
2．解析：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1，0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得＝|－6|，解得m＝1或121.
答案：D
微专题　圆与一些知识的交汇
变式训练
　解析：方法一　设A(a，2a)，a>0，
则C，
∴圆C的方程为＋(y－a)2＝＋a2，
得
∴·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a>0，∴a＝3，
∴点A的横坐标为3.
方法二　由题意易得∠BAD＝45°.
设直线DB的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
∴tan ∠ABO＝－tan (θ－45°)＝3，
∴kAB＝－tan ∠ABO＝－3.
∴AB的方程为y＝－3(x－5)，
由得xA＝3.
答案：3

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