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第五节　椭圆
·最新考纲·
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题．
学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 ________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a＞|F1F2|) ________为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
图形
性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：________ 对称中心：________
顶点 A1______，A2______ B1______，B2______ A1______，A2______ B1______，B2______
性 质 轴 长轴A1A2的长为________ 短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
离心率 e＝∈________
a，b，c 的关系 ________
二、必明4个常用结论
1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(5)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(6)＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P49T4改编]椭圆＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
3．[选修2－1·P49T1改编]若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　)
A.＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1或＝1
(三)易错易混
4．(忽视定义中2a＞|F1F2|)平面内一点M到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
5．(忽视焦点位置)已知椭圆＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　椭圆的定义及应用　[综合性]
[例1]　(1)已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)设F1，F2是椭圆 ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
听课笔记：
一题多变
(变条件)若本例(2)中椭圆方程不变，满足|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
【对点训练】
1．[2022·上海闵行中学高三开学考试]已知点P在焦点为F1、F2的椭圆＝1上，则|PF1|＋|PF2|＝________．
2．已知椭圆C：＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
3．[2022·贵州六盘水模拟]已知点F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则＝________．
考点二　椭圆的标准方程　[综合性]
[例2]　(1)[2022·江苏省苏州中学月考]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若＝＝0，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
听课笔记：
反思感悟　求椭圆的标准方程的步骤
【对点训练】
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＋x2＝1 D．＝1
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．[2022·四川自贡高三测试]古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
考点三　椭圆的几何性质　[综合性]
角度1　求椭圆的离心率
[例3]　(1)[2022·安徽蚌埠高三开学考试]已知椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A．　　B． C．　　D．
听课笔记：
(2)[2022·昆明市云南师大附中高三月考]已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|－|PF2|＝2b，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A． B．
C．(0，] D．[，1)
听课笔记：
反思感悟　求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
角度2　最值(或范围)问题
[例4]　(1)[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
(2)已知椭圆＝1(0听课笔记：
反思感悟　求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．
【对点训练】
1．已知F1，F2是椭圆＝1(a>b>0)的左右焦点，椭圆上一点M满足：MF1＝2MF2，∠F1MF2＝60°，则该椭圆离心率是(　　)
A． B．
C． D．
2．若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
考点四　直线与椭圆的位置关系　[综合性]
[例5]　[2020·全国卷Ⅲ]已知椭圆C：＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
听课笔记：
反思感悟　
1．判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
2．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|
＝
＝ (k为直线斜率).
【对点训练】
[2022·烟台模拟]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0，1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．
微专题33 动态几何　动静结合　思想方法
[例]　已知椭圆＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内心为I，过I作平行于x轴的直线分别交PF1，PF2于A，B，则＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
解析：方法一　如图，连接PI并延长交F1F2于E，连接IF1，IF2.
椭圆＝1的长半轴长a＝3，半焦距c＝1.
因为I为△PF1F2的内心，
所以＝＝
＝＝＝＝3，
所以＝，
由△PAB∽△PF1F2，得＝，所以＝，故选D.
方法二　取P为短轴上端点(0，2)，设△PF1F2的内切圆的圆心I(0，r)．
根据＝×2c×b＝(2a＋2c)r，解得r＝＝.
因为△PAB∽△PF1F2，所以＝.
答案：D
名师点评　解析几何动态(常见的有点、线、图形形状或大小等变动)问题中，若所求为固定值，可以“化动为静”(本题将点P为椭圆上的任意点转化到特殊的短轴的端点处)，将一般情况转化为特殊点(如椭圆、双曲线的顶点、焦点等)、线进行处理．
[变式训练]　
已知椭圆＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
第五节　椭圆
积累必备知识
一、
1．F1，F2　|F1F2|
2．x轴，y轴　坐标原点　(－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b　2c　(0，1)　c2＝a2－b2
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
2．解析：焦点在x轴上时，(10－m)－(m－2)＝4，解得m＝4；焦点在y轴上时，(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝8.综上可得m的取值为4或8.
答案：C
3．解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＝1.故A.
答案：A
4．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，但|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案：线段F1F2
5．解析：若0＜m＜5，则e＝＝＝，解得m＝3；若m＞5，则e＝＝＝，解得m＝，综上，m的值为3或.
答案：3或
6．解析：如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆方程＝1可得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝8，2c＝|F1F2|＝4.由P，Q关于原点对称得|OP|＝|OQ|，又|OF1|＝|OF2|，故四边形PF1QF2为平行四边形．
依据|F1F2|＝|PQ|，得到四边形PF1QF2为矩形，故PF1⊥PF2.
在Rt△F1PF2中，∠F2PF1＝90°，则m2＋n2＝(4)2＝48，由(m＋n)2＝64得m2＋n2＋2mn＝48＋2mn＝64，解得mn＝8，所以四边形PF1QF2的面积为8.
答案：8
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)对椭圆方程x2＋5y2＝25变形得，＝1，易得椭圆长半轴的长为5，
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10，
又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝10－7＝3.
(2)由题意得，a＝7，b＝2，c＝5，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝14，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
则100＝(m＋n)2－2mn－2mn cos 60°，解得mn＝＝mn sin 60°＝8.
答案：(1)B　(2)8
一题多变
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.
因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.
所以＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.
答案：24
对点训练
1．解析：因为点P在焦点为F1、F2的椭圆＝1上，所以a2＝16，所以a＝4，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
答案：8
2.
解析:设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，可得|PF|＝4－|PF′|，
所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4，
如图所示，当且仅当P，A，F′三点共线(点P在线段AF′上)时，
此时|PA|＋|PF′|取得最小值，
又由椭圆C：＝1，可得F′(－1，0)且A(2，4)，所以|AF′|＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.
答案：A
3．解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1||PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×4×sin 60°＝.
答案：
考点二
例2　解析：(1)由题知： ，
所以椭圆C的标准方程为：＝1.
(2)因为＝0，所以AF2⊥F1F2，过B作BC⊥x于C，
由＝知，AB过点F1，且AF1＝2BF1，如图，
所以△BCF1∽△AF2F1，
设A(1，y0)，则B，
代入椭圆方程可得，解得a2＝5，
又c＝1，所以b2＝4，
所以椭圆的方程为＝1.
答案：(1)B　(2)D
对点训练
1．解析：由题意有6＞2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＝1.
答案：D
2．解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝，所以b＝＝2.
所以椭圆的方程是＝1.
答案：C
3．解析：∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为＝1(a>b>0)，
由题意可得＝2a×2b＝4ab，
∴S＝abπ＝8π，即ab＝8，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴b＝，
故椭圆方程为＝1.
答案：B
考点三
例3　解析：(1)△OAP是等腰直角三角形，则P是直角顶点，所以P在椭圆上，
所以＝1，a2＝3b2＝3(a2－c2)，e＝＝.
(2)所以|PF1|＝a＋b，又|PF1|≤a＋c，所以b≤c，1＞e＝＝.
答案：(1)C　(2)D
例4　解析：(1)方法一　设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－(2y＋)2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以＝.
方法二　因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝－(2sin θ＋)2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
(2)由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.所以b2＝3，即b＝.
答案：(1)A　(2)
对点训练
1．解析：设MF1＝2r，MF2＝r，由椭圆定义知：r＝.由余弦定理得：4r2＋r2－2r2＝4c2，即3r2＝4c2，所以3·＝4c2，e＝＝.
答案：D
2．解析：由椭圆＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)．
则·＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：C
考点四
例5　解析：(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0.
由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝.
因为|BP|＝|BQ|，
所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为＝.
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为＝.
综上，△APQ的面积为.
对点训练
解析：(1)设椭圆方程为＝1(a＞0，b＞0)，
因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝2得x1＝.
又所以，
消去x2，得＝.解得k2＝，k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
微专题　动态几何　动静结合
变式训练
　解析：∵FP的斜率为－，FP∥l，
∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得＝)，即＝－，∵AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为.
答案：B

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