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第六节　双曲线
·最新考纲·
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质．(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题．
学科素养：通过双曲线求标准方程、离心率、渐近线等问题的求解考查数学运算、直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 ________为双曲线的焦点________为双曲线的焦距
________________＝2a
2a＜|F1F2|
[注意]　(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
图形
标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0)
性质 范围 ________________ ________________
对称性 对称轴：________ 对称中心：________ 对称轴：________ 对称中心：________
顶点 顶点坐标：A1______，A2________ 顶点坐标：A1________，A2________
渐近线 ________________ ________________
离心率 e＝________，e∈________
性 质 实虚 轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝____；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c间 的关系 c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝.
二、必明4个常用结论
1．双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直．
2．渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±.
3．渐近线与离心率．
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝.
4．若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
(5)若双曲线＝1(a>0，b>0)与＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P61练习T3改编]以椭圆＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________.
3．[选修2－1·P55练习T3改编]已知方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.
(三)易错易混
4．(忽视双曲线定义的条件致误)平面内到点F1(3，0)，F2(－3，0)距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹是________．
5．(弄错双曲线上点的位置)P是双曲线＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A． B．
C． D．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　双曲线的定义及应用　[综合性]
[例1]　(1)[2022·重庆市高三测试]已知双曲线C：＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)
A．1 B．1或9
C．3或9 D．9
(2)[2022·肥城市高三月考]已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝ |PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48 B．24
C．12 D．6
听课笔记：
反思感悟　双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，经常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|—|PF2||＝2a.运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[提醒]　在应用双曲线定义时．要注意定义中的条件．搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【对点训练】
1．[2022·河南非凡联盟联考]已知双曲线C：＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(　　)
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
2．[2020·全国卷Ⅱ]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A.1 B．2
C．4 D．8
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________．
考点二　双曲线的标准方程　[综合性]
[例2]　(1)双曲线C：＝1过点()，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
(2)[2022·河南商丘高三月考]已知双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，点A在C上，且关于原点O的对称点为B，|AB|＝|F1F2|四边形AF1BF2的面积为6，则双曲线C的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－y2＝2 D．－x2＝1
听课笔记：
反思感悟　求双曲线标准方程的步骤
[提醒]　(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
(2)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
【对点训练】
1．[2022·浙江高三开学考试]已知双曲线的一个焦点为(，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．－x2＝1 B．y2－＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
2．已知F1(－5，0)，F2(5，0)是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过F1的直线l与圆O：x2＋y2＝a2切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段PF1的中点，若|OM|－|TM|＝1，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
考点三　双曲线的几何性质　[综合性]
角度1　双曲线的离心率
[例3]　(1)[2021·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A.　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2022·湖南省长沙市高三调研]已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，且满足|QF|－|PF|＝8，虚轴的上端点B在圆x2＋(y－3)2＝1内，则该双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(，2) B．(，2)
C．() D．()
听课笔记：
反思感悟　求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
角度2　双曲线的渐近线
[例4]　(1)[2022·黑龙江哈尔滨市测试]点P为双曲线＝1(a>0)右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条渐近线方程是(　　)
A．2x＋3y＝0 B．4x＋9y＝0
C．3x－2y＝0 D．9x－4y＝0
(2)[2021·全国乙卷]已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为__________．
听课笔记：
反思感悟　求双曲线渐近线方程的方法
(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程．
[提醒]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．
【对点训练】
1．[2022·贵州省思南中学检测]过双曲线＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A．　　B．　　C．＋1　　D．
2．[2022·肥城市高三测试]已知F1、F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足|OQ|＝|OF1|，直线F1Q与该双曲线的左支交于P点，且P恰好为线段F1Q的中点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±2x D．y＝±3x
3．[2022·成都模拟]已知点(1，2)是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
考点四　直线与双曲线的位置关系　[综合性]
[例5]　[2022·长沙四校联考]设A，B分别为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＝t，求t的值及点D的坐标．
听课笔记：
反思感悟　
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．有时根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
【对点训练】
[2022·福建省高三质检]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2＋y2＝1上，且＝－1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N，问△OMN(O为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
微专题34 方程思想求离心率　思想方法
[例]　[2020·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A坐标为(a，0)，
∵AB的斜率为3，
∴＝3，即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.故离心率e＝2.
答案：2
名师点评　(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e的方程，然后求出离心率e.
(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a，c的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e的方程或不等式求解．
[变式训练]　
设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，]
C．[，1) D．[，1)
第六节　双曲线
积累必备知识
一、
1．||MF1|－|MF2||　F1，F2　|F1F2|
2．x≥a或x≤－a　y≤－a或y≥a　坐标轴　原点　坐标轴　原点　(－a，0)　(a，0)　(0，－a)　(0，a)　y＝±x　y＝±x　　(1，＋∞)　2a　2b　a2＋b2
3．y＝±x
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2．解析：由已知得a＝3，c＝5，则双曲线方程为＝1.
答案：＝1
3．解析：因为该方程表示双曲线，所以(m＋2)(m＋5)＞0，即m＞－2或m＜－5，即m的取值范围为(－∞，－5)
答案：(－∞，－5)
4．解析：由题意知|F1F2|＝6，而|PF1|－|PF2|＝±6，满足2a＝|F1F2|这一条件，故所求点的轨迹是两条射线．
答案：两条射线
5．解析：由题知a＝4，b＝9，c＝＝，由于|PF1|＝9＜a＋c＝4＋，故点P只能在左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝8，所以|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
6．解析：由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.
答案：A
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，
所以|PF1|＝5<2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，
所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9.
(2)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝2c＝10，由勾股定理可知：三角形PF1F2为直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
答案：(1)D　(2)B
对点训练
1．解析：由题意知＝，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.
答案：C
2．解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则|r1－r2|＝
＝4c2，
∴4c2－2r1r2＝4a2，∴r1r2＝2b2.
＝r1r2＝×2b2＝b2＝4，
∴e＝＝＝，
解得a2＝1，即a＝1.
答案：A
3．解析：由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos ∠F1PF2
＝＝＝.
答案：
考点二
例2　解析：(1)∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为＝1，
将点()的坐标代入双曲线的方程可得＝＝1，解得a＝1，故b＝，
因此，双曲线的方程为x2－＝1.
解析：(2)由原点O分别为AB和F1F2的中点，得四边形AF1BF2为平行四边形，又|AB|＝|F1F2|，则四边形AF1BF2为矩形．由四边形AF1BF2的面积为6，得|AF1||AF2|＝6，再结合|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝16及双曲线的定义，得||AF1|－|AF2||＝2a，即4a2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝16－12＝4，即a2＝1，
所以b2＝c2－a2＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1.
答案：(1)B　(2)B
对点训练
1．解析：由题意得：双曲线的焦点在x轴上，且c＝＝，再由c2＝a2＋b2，解得：a2＝2，b2＝1，该双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：D
2.
解析：由于M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以OM∥PF2，OM＝PF2.
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|MF1|－|OM|＝a，
由于|OM|－|TM|＝1，所以|MF1|－|TM|＝a＋1，
即|TF1|＝a＋1，也即＝a＋1，即a2＋a－12＝0，
解得a＝3，负根舍去．
所以b＝＝4.
所以双曲线的方程为＝1.
答案：A
考点三
例3　解析：(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|
＝
＝m，所以C的离心率e＝＝
＝＝＝.
解析：(2)
设双曲线C的右焦点为F′，连接PF′，QF′，如图所示．由对称性可知，P，Q关于原点对称，则|OP|＝|OQ|.又|OF′|＝|OF|，所以四边形PFQF′为平行四边形，所以|PF|＝|QF′|，则|QF|－|PF|＝|QF|－|QF′|＝2a＝8，所以a＝4.因为虚轴的上端点B(0，b)在圆x2＋(y－3)2＝1内，所以02＋(b－3)2＜1，解得2＜b＜4，则2＜＜4，即2＜＜4，得2＜c＜4，所以e＝∈()．
答案：(1)A　(2)C
例4　解析：(1)由题意，点P为双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，
因为|PF1|＝7，|PF2|＝3，由双曲线的定义，可得2a＝|PF1|－|PF2|＝4，解得a＝2，
所以双曲线的一条渐近线方程是y＝±x＝±x，即3x±2y＝0.
所以双曲线的一条渐近线方程是3x－2y＝0.
解析：(2)双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝± x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
答案：(1)C　(2)4
对点训练
1.
解析：不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝，即a2＋4a2＝c2，所以e＝.
答案：A
2．解析：依题意，令|OQ|＝|OF1|＝|OF2|＝c，则有QF1⊥QF2，
令|QF2|＝2t，由双曲线定义得|QF1|＝2a＋2t，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则|PQ|＝|PF1|＝a＋t，|PF2|＝3a＋t，
在Rt△PQF2中，|PQ|2＋|QF2|2＝，即(a＋t)2＋(2t)2＝(3a＋t)2，解得t＝2a，则|QF2|＝4a，|QF1|＝6a，
在Rt△F1QF2中，|QF1|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，即36a2＋16a2＝4c2，c2＝13a2，于是得b2＝12a2，＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
答案：C
3．解析：已知点(1，2)是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上一点，得＝1，即＝b2＋4，所以e＝＝＝＞，所以e＞.
答案：C
考点四
例5　解析：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝ x.
即bx－2y＝0，
∴＝，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为＝1.
解析：(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
若＝t，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
对点训练
解析：(1)不妨设F1(－c，0)，F2(c，0)，因为A(a，0)，从而＝＝(c－a，0)，
故由＝a2－c2＝－1，又因为a2＋b2＝c2，所以b＝1，
又因为A(a，0)在圆O：x2＋y2＝1上，所以a＝1，
所以双曲线C的标准方程为：x2－y2＝1.
解析：(2)由于动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N，
当动直线l的斜率不存在时，l：x＝±1，MN＝2，S△OMN＝×1×2＝1
当动直线l的斜率存在时，且斜率k≠±＝±1，
不妨设直线l：y＝kx＋m，
故由 (1－k2)x2－2mkx－m2－1＝0，
从而Δ＝(－2mk)2－4(1－k2)(－m2－1)＝0，化简得，k2＝m2＋1，
又因为双曲线C的渐近线方程为：y＝±x，
故由 ，从而点M，同理可得，N，
所以|MN|＝＝，
又因为原点O到直线l：kx－y＋m＝0的距离d＝，
所以S△OMN＝|MN|d＝，又由k2＝m2＋1，
所以S△OMN＝＝1，
故△OMN的面积为定值，定值为1.
微专题　方程思想求离心率
变式训练
　解析：设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即 ＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，故≤e＜1.
答案：D

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