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第七节　抛物线
·最新考纲·
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质．(范围、对称性、顶点、离心率)
3．理解数形结合的思想．
4．了解抛物线的简单应用．
·考向预测·
考情分析：抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，仍是高考的热点，题型仍将是选择题，填空题，有时出现解答题．
学科素养：通过抛物线的标准方程与几何性质考查数学运算的核心素养；通过抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系考查数学抽象、直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．[注意]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F________ F________ F________ F________
离心率 e＝____
准线方程 ________ ________ ________ ________
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P (x0，y0)) |PF|＝________ |PF|＝________ |PF|＝________ |PF|＝__________
二、必明6个常用结论
与焦点弦有关的常用结论
(以图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
1．y1y2＝－p2，x1x2＝.
2．|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线AB的倾斜角)．
3． + 为定值 .
4．以AB为直径的圆与准线相切．
5．以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
6．过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－ .(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P69例4改编]过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6
3．[选修1－1·P64A组T4(2)题改编]顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________.
(三)易错易混
4．(忽视p的几何意义致误)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2 x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
5．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物的标准方程为________.
(四)走进高考
6．[2021·北京卷]已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，若|FM|＝6，则M的横坐标是________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　抛物线的定义及应用　[综合性]
[例1]　(1)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，P是C上一点．若|PF|＝4，则|OP|＝(　　)
A． B．5
C．2 D．4
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
听课笔记：
一题多变　
1．(变条件)将例1(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变问题)若本例1(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋.
【对点训练】
1．[2022·湖北武汉高三月考]已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
2．已知抛物线y2＝8x的准线为l，点P是抛物线上的动点，直线l1的方程为2x－y＋3＝0，过点P分别作PM⊥l，垂足为M，PN⊥l1，垂足为N，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．2＋
考点二　抛物线的标准方程及性质　[综合性]
[例2]　(1)[2022·贵州贵阳高三开学考试]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A(t，1)在C上且满足|AF|＝2，则p＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
(2)[2022·广西柳州市柳铁一中月考]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，若直线AF的斜率为－，|PF|＝4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝8x
听课笔记：
反思感悟　
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p.
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【对点训练】
1．抛物线y＝ax2(a>0)上点M到其准线l的距离为1，则a的值为(　　)
A． B．1
C．2 D．4
2．[2022·四川内江高三测试]已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A、B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得＝3(O为坐标原点)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
考点三　直线与抛物线的综合问题　[综合性]
[例3]　[2022·绵阳市诊断性考试]已知抛物C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(x0，2)为抛物线上一点，若点B(－2，0)满足()·＝0.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点B的直线l交C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－2于点P，Q，求的值．
听课笔记：
反思感悟 解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒]　涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
对点训练
1．[2022·云南师大附中高三月考]已知抛物线C：y2＝3x，过点P(1，0)且斜率为k(k>0)的直线与C交于A，B两点，若＝3，则k＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．
2．[2022·东北三省四市教研联考]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1，0)的直线m与抛物线C交于D，E两点，记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝，求直线m的方程．
微专题 活用抛物线焦点弦的几个结论　数学抽象
数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一．
题型一　活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2
[例1]　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：设抛物线为y2＝2px，直线AB：x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，
即抛物线C的方程为y2＝8x.
答案：C
[方法总结]该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象的素养；代入数值进行计算，体现数学运算的素养．
[变式训练1]　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到其准线的距离为4，圆M：(x－2)2＋y2＝1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|＋4|BQ|的最小值为________．
题型二　活用|AB|＝x1＋x2＋p＝
[例2]　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：由2p＝3，用|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
[变式训练2]　经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________.
题型三　活用＝为定值
[例3]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　B．　　　C．5　　　D．6
解析：因为|AF|＝2|BF|，＝＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
答案：B
[方法总结]该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象的素养；通过焦半径结论代入计算，体现了数学运算的素养．
[变式训练3]　
如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5 B．6
C． D．
题型四　活用抛物线的焦半径公式|AF|＝，|BF|＝
[例4]　点F是抛物线y2＝4x的焦点，O为原点，点A，B在抛物线上且满足＝3，则△AOB的面积为________．
解析：∵＝3，设y2＝4x的焦点弦的倾斜角为α，∴||＝，||＝，∴＝3×，∴cos α＝，sin α＝.又∵|AB|＝|AF|＋|BF|＝，∴S△AOB＝|AB||OF|sinα＝|OF|·sinα＝＝.
答案：
[变式训练4]　过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝________．
第七节　抛物线
积累必备知识
一、
1．相等　焦点　准线
2．(，0)　(-，0)　(0，)　(0，- )　1　x＝－　x＝　y＝－　y＝　x0＋　－x0＋　y0＋　－y0＋
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，根据题意可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
答案：B
3．解析：设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－ ，m＝ ，所以y2＝－ x或x2＝ y.
答案：y2＝－ x或x2＝ y.
4．解析：由题意知：双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
答案：D
5．解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(0，－2)，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
6．解析：设点M的坐标为(x0，y0)，则有|FM|＝x0＋1＝6，解得x0＝5.
答案：5
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)由y2＝4x可得F(1，0)，准线为x＝－1，
设P(x，y)，因为|PF|＝4，
由抛物线的定义得x＋1＝4，
解得：x＝3，所以y2＝4×3＝12，
所以＝|OP|＝＝＝ .
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.
答案：(1)A　(2)4
一题多变
1．解析：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝
＝ ＝2 ，即|PB|＋|PF|的最小值为2.
答案：2
2．解析：由抛物线的定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线 3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2
对点训练
1．解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x＝－2交x轴于点F′，作NA⊥l于点A，MB⊥l于点B，如图，而点F(2，0)，M为FN的中点，则|NA|＝2，|FF′|＝4，|MF|＝|MB|＝＝3，
所以|FN|＝2|MF|＝6.
答案：B
2.
解析：令抛物线y2＝8x的焦点为F，则F(2，0)，连接PF，如图，因l是抛物线y2＝8x的准线，点P是抛物线上的动点，且PM⊥l于M，于是得|PM|＝|PF|，
点F(2，0)到直线l1：2x－y＋3＝0的距离d＝＝ ，
又PN⊥l1于N，显然点P在点F与N之间，于是有|PM|＋|PN|＝|PF|＋|PN|≥d，当且仅当F，P，N三点共线时取“＝”，
所以|PM|＋|PN|的最小值为d＝.
答案：B
考点二
例2　解析：(1)由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，1＋＝2，p＝2.
解析：(2)
如图：
∵直线AF的斜率为－，∴∠PAF＝∠AFK＝60°，
∵抛物线的定义知|PF|＝|PA|＝4，∴△PAF为等边三角形，∴|AF|＝4，
∴在Rt△AKF中，|KF|＝2，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
答案：(1)D　(2)A
对点训练
1．解析：抛物线y＝ax2(a>0)即x2＝y(a>0)，可得准线方程y＝－，
因为M到其准线l的距离为1，
所以＝1，解得a＝.
答案：A
2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，整理得x2－2(1＋p)x＋1＝0，
则x1＋x2＝2(1＋p)，可得y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p，
由点N为AB的中点，所以N(1＋p，p)
设M(x0，y0)，因为＝3，可得M(3＋3p，3p)，
又由点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，可得(3p)2＝2p×3(1＋p)，
即p2－2p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
答案：B
考点三
例3　解析：(1)由()·＝0可知，△AFB是以AB为底的等腰三角形，由A在抛物线C上得x0＝，由抛物线的定义得|AF|＝.
又|BF|＝＋2，|AF|＝|BF|，
∴p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知A(2，2)，F(1，0)，
设直线l的方程为x＝.
联立得，消去x得y2－4my＋8＝0，Δ＝16m2－32＞0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
直线MA的方程为y－2＝(x－2)，
∴yP＝＋2＝.
同理可得yQ＝.
∴＝
＝＝＝＝1.
对点训练
1．解析：设直线y＝k(x－1)(k>0)，由得ky2－3y－3k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，又＝3，所以，－y1)＝3(x2－1，y2)，则y1＝－3y2，
于是，且k>0，进一步得y2＝－1，k＝.
答案：B
2．解析：(1)由题意不妨设B，
将点B的坐标代入y2＝2px中，得p2＝16，
∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0，与题意不符，所以直线m的斜率一定存在，
设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y＝k(x－1)，
将其代入y2＝8x中，得k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0.
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则，Δ＞0恒成立，
k1＋k2＝＝
＝＝＝，
∴k＝，∴直线m的方程为4x－3y－4＝0.
微专题　活用抛物线焦点弦的几个结论
变式训练1　解析：易知p＝4，圆心M(2，0)即为焦点F，
所以|AP|＋4|BQ|＝(|AF|－1)＋4(|BF|－1)＝|AF|＋4|BF|－5，
根据抛物线的定义|AF|＝xA＋＝xA＋2，|BF|＝xB＋＝xB＋2，
所以|AP|＋4|BQ|＝(xA＋2)＋4(xB＋2)－5＝xA＋4xB＋5，
又xAxB＝＝4，
所以|AP|＋4|BQ|＝xA＋4xB＋5≥2＋5＝13，当且仅当xA＝4xB，即时等号成立，此时直线l的方程是y＝2x－4，
所以|AP|＋4|BQ|的最小值为13.
答案：13
变式训练2　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝，∴p＝2.
答案：2
变式训练3
　解析：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是线段AC的中点，知|AC|＝2|AF|＝2|AD|，则|CF|＝|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故选C.
答案：C
变式训练4　解析：∵|AF|＝＝，|BF|＝＝2p，∴＝＝.
答案：

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