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第八节　曲线与方程
·最新考纲·
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：求曲线的轨迹方程及利用方程研究轨迹的性质仍是高考考查热点，题型多出现在解答题的第(1)问．
学科素养：通过轨迹方程的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
3．求轨迹方程的四个常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
二、必明2个常用结论
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系
(1)两条直线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)
(二)教材改编
2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
3．和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为____________________．
(三)易错易混
4．(忽视隐含限制条件)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线
B．两条射线
C.两条线段
D．一条直线和一条射线
5．(忽视P不在x轴上)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．
(四)走进高考
6．[2021·浙江卷]已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　　)
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　直接法求轨迹方程　[基础性]
1．[2022·杭州调研]已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
2．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
反思感悟　直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合理的直角坐标系；
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；
(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
[提醒]　对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．
考点二　定义法求轨迹方程　[综合性]
[例1]　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
听课笔记：
一题多变　
1．(变条件)若例1中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为
________________________________________________________________________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件)若例1中圆M，N方程分别变为“圆M：(x＋4)2＋y2＝2；圆N：(x－4)2＋y2＝2”，其余条件不变，求C的方程．
反思感悟　定义法求轨迹方程的解题策略
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【对点训练】
已知动圆P恒过定点，且与直线x＝－相切．求动圆P圆心的轨迹M的方程．
考点三　代入法(相关点法)求轨迹方程　[综合性]
[例2]　设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
听课笔记：
反思感悟　相关点法求轨迹方程的步骤
(1)明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)；
(2)寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；
(3)将x0，y0代入已知曲线方程；
(4)整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程．
【对点训练】
已知点F(4，0)，H，△ABC的两顶点A(－2，0)，B，且点C满足||＝2||.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)设a＝(5，0)，b＝(0，3)，＝(a·，b·)，求动点C′的轨迹方程．
第八节　曲线与方程
积累必备知识
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2，0)为端点向右的一条射线．
答案：C
3．解析：设点的坐标为(x，y)，
由题意知()2＋()2＝c，
即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，
即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.
答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0
4．解析：由(2x＋3y－1)(－1)＝0得：2x＋3y－1＝0或－1＝0.即2x＋3y－1＝0(x≥3)为一条射线，或x＝4为一条直线．
答案：D
5．解析：因为A(－2，0)，B(1，0)，动点P不在x轴上，且∠APO＝∠BPO，所以点O在∠APB的平分线与AB的交线上，故＝＝2，设P(x，y)(y≠0)，则＝2，整理可得点P的轨迹方程为：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
6．解析：由题意得f(s－t)f(s＋t)＝[f(s)]2，即[a(s－t)2＋b][a(s＋t)2＋b]＝(as2＋b)2，即(as2＋at2－2ast＋b)·(as2＋at2＋2ast＋b)＝(as2＋b)2，即(as2＋at2＋b)2－(2ast)2－(as2＋b)2＝0，即(2as2＋at2＋2b)at2－4a2s2t2＝0，即－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，所以－2as2＋at2＋2b＝0(t≠0)或t＝0，所以＝1或t＝0.当t≠0时，平面上点(s，t)的轨迹是双曲线；当t＝0时，平面上点(s，t)的轨迹是直线．
答案：C
提升关键能力
考点一
1．解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
答案：A
2．解析：设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，
∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得x2＋y2＝4.
∵M，N，P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
考点二
例1　解析：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＝1(x≠－2)．
一题多变
1．解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x<－2)．
答案：y＝0(x<－2)
2．解析：设动圆P的半径为r，
∴|PM|＝r＋，|PN|＝r－.
∴|PM|－|PN|＝2，又M(－4，0)，N(4，0)，
∴|MN|＝8.
∴2＜|MN|.
由双曲线定义知，P点轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴方程为＝1(x≥ )．
对点训练
解析：由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x＝－的距离相等，∴圆心P的轨迹是以为焦点，直线x＝－为准线的抛物线，且p＝，∴动圆P圆心的轨迹M的方程为y2＝x.
考点三
例2　解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯 一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
对点训练
解析：(1)设动点C(x，y)，其中y≠0.
由||＝2||得＝2，
化简得x2＋y2＝1(y≠0)．
(2)设点C′(x′，y′)，由得
将其代入(1)中的方程得＝1(y′≠0)，
则曲线C′的轨迹方程为＝1(y≠0)．

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