资源简介

第九节　圆锥曲线的综合问题
·最新考纲·
1．了解圆锥曲线的简单应用．
2．理解数形结合的思想．
3．掌握解决直线和圆锥曲线位置关系的方法．
·考向预测·
考情分析：直线与圆锥曲线的综合应用问题(特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题)是高考热点，常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，近年试题难度有所降低．
学科素养：通过最值、定点问题考查了学生的数学素养，直线与圆锥曲线等问题考查了学生的数学运算、数学抽象．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点
a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) ________
b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) ________
a≠0 Δ>0 两个________的解 ________
Δ＝0 两个相等的解 ________
Δ<0 无实数解 ________
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|
＝·.
二、必明3个常用结论
1．在椭圆＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－.
2．在双曲线＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
3．在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
三、必练3类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　)
(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－1·P49T8改编]直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3．[选修2－1·P69例4改编]已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝________．
(三)易错易混
4．[2022·韶关检测]已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．2
5．[2022·石家庄摸底考试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝________．
第九节　圆锥曲线的综合问题
积累必备知识
一、
1．(1)无公共点　一个交点　不等　两个交点　一个交点　无交点
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
3．解析：直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14.
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
答案：16
4．解析：由题意可知焦点F(1，0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2，2)，故直线l的斜率为2，选D.
答案：D
5．解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝2＝
2 ＝，解得p＝2.
答案：2

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