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2022年天津市和平区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算﹣5﹣（﹣8）的结果等于（　　）
A．3 B．13 C．﹣3 D．﹣13
2．2tan45°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
3．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
8．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（　　）
A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）
10．在反比例函数y的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
11．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠EAC＝∠B B．△EDC是等腰直角三角形
C．BD2+AD2＝2CD2 D．∠AED＝∠EDC
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：
①abc＞0；
②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；
③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；
④2c﹣a＜2n．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算x （﹣x）2的结果等于 　 　．
14．计算（23）（23）的结果等于 　 　．
15．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　 　．
16．直线y＝3x﹣2经过第 　 　象限，y随x的增大而 　 　，与x轴的交点坐标为 　 　．
17．如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，AE＝DE＝1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B为格点，以AB为直径作圆，圆心为O，⊙O上有一点C，连接OC．
（Ⅰ）OC的长为 　 　；
（Ⅱ）在OB上有一点P，⊙O内有一点Q，连接PQ，CQ，满足四边形COPQ为平行四边形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出 COPQ，并简要说明 COPQ是如何找到的（不要求证明） 　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．
20．在疫情期间，学校推出了“空中课堂”，为了解该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）参加这次调查的学生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（Ⅱ）求统计的这组学生听课时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）若该学校九年级共有800名学生，请估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于5.5h的人数．
21．如图，AB为⊙O的直径，△ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于点B．
（Ⅰ）如图①，延长AD交PB于点P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AP交⊙O于点E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度数．
22．如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，折断部分CD长5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车出行．已知小红家，天塔，鼓楼在一条直线上，天塔离小红家2km，她从家骑自行车出发，匀速骑行0.2小时后到达天塔，参观一段时间后按原速，匀速骑行前往鼓楼，刚到达鼓楼，接到妈妈电话，快速返回家中，回家途中匀速骑行．小红从家出发到返回家中，小红离开家的距离ykm随离开家的时间xh变化的函数图象大致如图所示．
（Ⅰ）填表：
离开家的时间h 0.1 0.2 0.5 1.2
离开家的距离ykm 　 　 2 　 　 　 　
（Ⅱ）填空：
①小红在天塔游玩的时间为 　 　h；
②从天塔到鼓楼的途中，骑行速度为 　 　km/h；
③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为 　 　km/h；
④小红离开家的距离为4km时，离开家的时间为 　 　h．
（Ⅲ）当0.8≤x≤1.6时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点A（4，0），点C（0，2），点O（0，0），点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF⊥x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将△AEF沿EF翻折，使点A落在x轴上点D处，得到△DEF．
（Ⅰ）如图①，连接DC，当∠CDF＝90°时，求点D的坐标．
（Ⅱ）①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；
②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当t≤2时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0），经过A（﹣1，0）和B（3，0）两点，点C（0，﹣3），连接BC，点Q为线段BC上的动点．
（Ⅰ）若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S＝S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
（Ⅱ）若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG＝BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算﹣5﹣（﹣8）的结果等于（　　）
A．3 B．13 C．﹣3 D．﹣13
解：﹣5﹣（﹣8）
＝﹣5+8
＝3．
故选：A．
2．2tan45°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
解：2tan45°＝2×1＝2．
故选：D．
3．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：C．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．稳，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．中，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．求，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．进，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
5．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左右两边各一个小正方形，
故选：C．
6．估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
解：∵，
∴78，
∴估计的值在7和8之间；
故选：D．
7．计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
解：原式
＝﹣1．
故选：B．
8．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
解：，
①+②，得3x﹣3y＝6，
两边都除以3得：x﹣y＝2，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（　　）
A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）
解：∵B（﹣6，0），C（4，0），
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝10，
在Rt△ABO中，OA8，
∴A（0，8），
∵AD∥BC，
∴D（10，8），
故选：B．
10．在反比例函数y的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
解：∵1＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
11．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，对于下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠EAC＝∠B B．△EDC是等腰直角三角形
C．BD2+AD2＝2CD2 D．∠AED＝∠EDC
解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
由旋转的性质可知∠EAC＝∠B＝45°，EC＝DC，∠ECD＝90°，故A正确，不符合题意；
∴△EDC是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意；
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°，DE2＝2CD2，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴AE2+AD2＝2CD2，
∵AE＝BD，
∴BD2+AD2＝2CD2，故C正确，不符合题意
不能证明∠AED＝∠EDC，故D错误，符合题意；
故选：D．
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：
①abc＞0；
②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；
③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；
④2c﹣a＜2n．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由题意得：1，
∴b＝﹣2a．
∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∴b＜0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0．
∴abc＞0．
∴①的结论正确；
∵方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为x1，x2，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于点A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，
∴x1＜﹣1，x2＞3，
∴②的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），
∴二次函数有最小值n．
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有公共点．
∴方程ax2+bx+c＝n﹣1无解．
即方程ax2+bx+c﹣n+1＝0没有实数根．
∴③的结论错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），
∴n＝a+b+c．
∵b＝﹣2a，
∴n＝﹣a+c，
∴2n＝﹣2a+2c，
∴2n﹣（﹣a+2c）＝﹣a＜0，
∴2c﹣a＞2n，
∴④的结论错误．
综上，正确的结论为：①②，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算x （﹣x）2的结果等于 　x3　．
解：x （﹣x）2
＝x x2
＝x3，
故答案为：x3．
14．计算（23）（23）的结果等于 　﹣1　．
解：原式＝（2）2﹣32
＝8﹣9
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　　．
解：∵袋子中装有10个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
16．直线y＝3x﹣2经过第 　第一、三、四　象限，y随x的增大而 　增大　，与x轴的交点坐标为 　（，0）　．
解：在y＝3x﹣2中，
当y＝0时，3x﹣2＝0，
解得：x，
∴直线y＝3x﹣2与x轴的交点坐标为（，0）；
∵k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴直线y＝3x﹣2的经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，与x轴的交点坐标为（，0）；
故答案为：第一、三、四；增大；（，0）．
17．如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，AE＝DE＝1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 　　．
解：连接DN，延长DN交AC于F，连BF，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED＝∠ACB＝90°，DE＝AE，AC＝BC，
∴∠EAD＝∠EDA＝∠BAC＝45°，
∴DE∥AC，
∴∠DEN＝∠FCN，
在△DEN和△FCN中，
，
∴△DEN≌△FCN（ASA），
∴DE＝FC，DN＝NF，
∴AE＝FC，
∵M是BD中点，
∴MN是△BDF的中位线，
∴MNBF，
∵∠EAD＝∠BAC＝45°，
∴∠EAC＝∠ACB＝90°，
在△CAE和△BCF中，
，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴BF＝CE，
∴MNCE，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，AE＝DE＝1，
∴△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠BAC＝45°，
∴∠EAC＝90°，
∴CE，
∴MNCE．
故答案为：．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B为格点，以AB为直径作圆，圆心为O，⊙O上有一点C，连接OC．
（Ⅰ）OC的长为 　2　；
（Ⅱ）在OB上有一点P，⊙O内有一点Q，连接PQ，CQ，满足四边形COPQ为平行四边形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出 COPQ，并简要说明 COPQ是如何找到的（不要求证明） 　连接CB交网格线于点J，作直线AJ交⊙O于点K，连接CK，作直线CO交⊙O于点L，连接KL交ABN于点P，取CK的中点Q，连接PQ，四边形COPQ即为所求　．
解：（Ⅰ）∵AB＝4，
∴OCAB＝2，
故答案为：2；
（Ⅱ）如图， COPQ即为所求．
连接CB交网格线于点J，作直线AJ交⊙O于点K，连接CK，作直线CO交⊙O于点L，连接KL交ABN于点P，取CK的中点Q，连接PQ，四边形COPQ即为所求．
故答案为：连接CB交网格线于点J，作直线AJ交⊙O于点K，连接CK，作直线CO交⊙O于点L，连接KL交ABN于点P，取CK的中点Q，连接PQ，四边形COPQ即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤2　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤2　．
解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．
20．在疫情期间，学校推出了“空中课堂”，为了解该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）参加这次调查的学生人数为 　200　，图①中m的值为 　44　；
（Ⅱ）求统计的这组学生听课时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）若该学校九年级共有800名学生，请估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于5.5h的人数．
解：（Ⅰ）参加这次调查的学生人数为32÷16%＝200（人），
m%100%＝44%，即m＝44，
故答案为：200，44；
（Ⅱ）这组学生听课时间数据的平均数为5.08（h），
众数为5.5h，中位数为5.5（h）；
（Ⅲ）800416（人），
答估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于5.5h的人数为416人．
21．如图，AB为⊙O的直径，△ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于点B．
（Ⅰ）如图①，延长AD交PB于点P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AP交⊙O于点E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度数．
解：（Ⅰ）连接BD，∵∠C＝40°，
∴∠ABD＝∠C＝40°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠ABP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠BAP＝90°﹣50°＝40°；
（Ⅱ）连接BC，
则∠ABC＝∠D，
∵∠D＝∠P，
∴∠ABC＝∠P，
∵AB为⊙O的直径，PB切⊙O于点B，
∴∠ACB＝∠ABP＝90°，
∴∠CAB＝∠BAP，
∵，
∴∠CAP＝∠ABC，
∴∠P＝2∠BAP，
∴∠P＝60°，∠BAP＝30°．
22．如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，折断部分CD长5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73．
解：过点A作AM⊥CD，垂足为M，
设CM＝x米，
在Rt△ACM中，∠ACD＝60°，
∴AM＝CM tan60°x（米），
AC2x（米），
∵CD＝5.73米，
∴DM＝CD﹣CM＝（5.73﹣x）米，
在Rt△AMD中，∠ADC＝37°，
∴tan37°0.75，
∴x≈1.7，
经检验：x≈1.7是原方程的根，
∴AC＝2x＝3.4（米），
由题意得：BC＝CD＝5.73米，
∴AB＝AC+BC＝3.4+5.73≈9（米），
∴木杆AB的长度约为9米．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车出行．已知小红家，天塔，鼓楼在一条直线上，天塔离小红家2km，她从家骑自行车出发，匀速骑行0.2小时后到达天塔，参观一段时间后按原速，匀速骑行前往鼓楼，刚到达鼓楼，接到妈妈电话，快速返回家中，回家途中匀速骑行．小红从家出发到返回家中，小红离开家的距离ykm随离开家的时间xh变化的函数图象大致如图所示．
（Ⅰ）填表：
离开家的时间h 0.1 0.2 0.5 1.2
离开家的距离ykm 　1　 2 　2　 　6　
（Ⅱ）填空：
①小红在天塔游玩的时间为 　0.6　h；
②从天塔到鼓楼的途中，骑行速度为 　10　km/h；
③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为 　10　km/h；
④小红离开家的距离为4km时，离开家的时间为 　1或　h．
（Ⅲ）当0.8≤x≤1.6时，请直接写出y关于x的函数解析式．
解：（Ⅰ）由题意可知，当h＝0.1时，y＝1；当x＝0.5时，y＝2；当x＝1.2时，y＝2+1×（1.2﹣0.8）＝2+4＝6，
故答案为：1；2；6；
（Ⅱ）①小红在天塔游玩的时间为：0.8﹣0.2＝0.6（h），
故答案为：0.6；
②从天塔到鼓楼的途中，骑行速度为10km/h，
故答案为：10；
③接到妈妈电话后，小红返回家的速度为：6÷（1.6﹣1.2）＝15（km/h），
故答案为：15；
④小红离开家的距离为4km时，离开家的时间为：1h或1.2+2÷15（h），
故答案为：1或；
（Ⅲ）当0.8≤x1.2时，设y＝kx+b，则：
，
解得，
故y＝10x﹣6；
当1.2＜x≤1.6时，设y＝mx+n，则：
，
解得，
故y＝﹣15x+24，
∴y．
24．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点A（4，0），点C（0，2），点O（0，0），点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF⊥x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将△AEF沿EF翻折，使点A落在x轴上点D处，得到△DEF．
（Ⅰ）如图①，连接DC，当∠CDF＝90°时，求点D的坐标．
（Ⅱ）①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；
②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当t≤2时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵∠ACB＝90°，
∴∠OCB+∠OCA＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB，
∵点A（4，0），点C（0，2），点O（0，0），
∴tan∠OAC＝tan∠OCB，
∴，
∴，
∴OB＝1，则B（﹣1，0），
当∠CDF＝90°时，∠ODC+∠ADF＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠ADF，
由折叠得∠ADF＝∠OAC，
∴∠OCD＝∠OAC，
由题意得AE＝2t，
∵直线EF⊥x轴，
∴tan∠OAC，
∴EF＝t，
∴tan∠OAC＝tan∠OCD，
∴，
∴OD＝1．
∴点D的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）①由题意得AE＝DE＝2t，BE＝5﹣2t，OE＝4﹣2t，
∴OD＝4t﹣4，
∴D（4﹣4t，0），F（4﹣2t，t），
设直线DF的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线DF的解析式为yx+2t﹣2，
∵B（﹣1，0），C（0，2），
同理得直线BC的解析式为y＝2x+2，
∴，解得，
∴M（，），
若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，
由图可得DE＞BE，即2t＞5﹣2t，
解得t，
∵点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，
∴t≤2，
∴t的取值范围为t≤2；
②当t时，重叠部分为△DEF的面积，
S△DEFDE EF2t t＝t2，
t时，S，t时，S，
∴当t时，S；
当t≤2时，重叠部分为四边形BEFM的面积，
S四边形BEFM＝S△DEF﹣S△BDM＝t2﹣S△BDM，
由①知：B（﹣1，0），D（4﹣4t，0），M（，），
∴BD＝﹣1﹣4+4t＝4t﹣5，
∴S△BDM （4t﹣5），
∴S四边形BEFM＝t2﹣S△BDM＝t2，
∴当t时，S有最大值为，
∴当t≤2时，S；
综上，S的取值范围为S．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0），经过A（﹣1，0）和B（3，0）两点，点C（0，﹣3），连接BC，点Q为线段BC上的动点．
（Ⅰ）若抛物线经过点C；
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，AQ，△PAQ与△PBQ面积记为S1，S2，若S＝S1+S2，当S最大时，求点P坐标；
（Ⅱ）若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG＝BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG最小值为时，求抛物线解析式．
解：（Ⅰ）①设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
故该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）．
②如图，连接CP，过点P作PM∥y轴交BC于点M，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴S△PAQ＝S△PCQ，
∴S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PCQ+S△PBQ＝S△PBC，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴SOB PM3（﹣m2+3m）m2m（m）2，
∵0，0＜m＜3，
∴m时，S最大，
即P（，）；
（Ⅱ）如图，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G，
∴AE＝AB＝4，∠EAB＝45°，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0，可得y＝﹣3a，
∴H（0，﹣3a），
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵AG＝BQ，
∴△AEG≌△BAQ（AAS），
∴EG＝AQ，
∴AQ+HG＝EG+HG≥HE，
当点E，G，H共线时，AQ+HG最小，即HE＝3，
过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴，
在Rt△ATE中，∠EAT＝45°，
∴sin∠EAT，con∠EAT，
∴ETAE＝2，ATAE＝2，
∴E（﹣1+2，2），
在Rt△ENH中，
∴NH2+NE2＝EH2，
可得，（﹣1+2）2+（23a）2＝（3）2，
解得a或a（舍去），
∴抛物线的解析式为：yx2x﹣1．

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