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第三章 不等式
§ 3.1　不等关系与不等式
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b，c ∈R，a>b，则下列不等式成立的是 (　　)
A．< B．a2>b2
C．> D．a |c|>b |c|
2．如果a、b、c满足cA．a b>ac B．b c>ac
C．cb23．已知a、b为非零实数，且aA．a2C．< D．<
4．已知－1为 (　　)
A．AC．A5．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 (　　)
A．aC．b6．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系
为 (　　)
A．MN D．M≥N
7．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是 (　　)
A．a b>ac B．ac>b c
C．a |b|>c |b| D．a2>b2>c2
8．若d>0，d≠1，m，n∈N*，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是 (　　)
A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm+nC．1＋dm+n≥dm＋dn D．不能确定
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是____ ____．
10．若x ∈R，则与的大小关系为____ ____．
11．设n>1，n ∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系
为_____ ___．
12．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是___ _____．
三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分8分）比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x ∈R.
14．（本小题满分8分）设a>b>0，试比较与的大小．
15．（本小题满分8分）已知1216．（本小题满分10分）老丁同时收到甲、乙两家公司的聘用通知，甲公司给出的年薪为24 000元，且以后每年都比上一年增加年薪800元，乙公司给出的年薪为18 000元，且以后每年都比上一年增加年薪1 550元．如果老丁对甲、乙两公司的满意度相同，请你给老丁出出主意，他该去哪家公司应聘？
四、探究与拓展（本题满分14分）
17．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
答案
1．C　 2．C 3．C 4．B　 5．C　 6．C　 7．A　 8．A
9．[－1,6]　 10．≤　 11．A>B 12． p＜r＜s＜q
13．解：x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．
14．解：方法一　作差法
∵－＝
＝＝.
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1 ∴>.
15．解：∵15∴12－36∴－24又<<，∴<<，
∴<<4.
∴－2416．解：设第n年甲、乙两公司给出的年薪分别为an，bn，则数列{an}、{bn}均为等差数列，其中a1＝24000，d＝800，则其前n项和为
An＝24000n＋×800＝400n2＋23600n，
b1＝18000，d′＝1550，则其前n项和为
Bn＝18000n＋×1550＝775n2＋17225n，
令Bn－An≥0得375n2－6375n≥0，∴n≥17.
答：老丁若应聘17年以下应去甲公司；应聘17年，两公司均可，若应聘17年以上，则应去乙公司．
17．解：f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或即1＜x＜时，logx＜0，
∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，
即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
§ 3.2　一元二次不等式及其解法 （第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是 　　 (　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　　　　　　　 D．
2．不等式<2的解集为 　　 (　　)
A．{x| x≠－2} 　　B．R
C．? 　　D．{x |x<－2或x>2}
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为 　　(　　)
A．{x |x<－1或x>2}　　　　　　　　 B．{x| x≤－1或x≥2}
C．{x|－14．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，
那么实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
5．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是 (　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为 (　　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
7．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解是 (　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
8．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围 (　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．
10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x| x<－2，或x>－}，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为___ ____．
11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__ ______．
三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分8分）解下列不等式：
(1)x4＋3x2－10<0； (2)x2－3|x|＋2≤0.
14．（本小题满分8分）解下列关于x的不等式：56x2－ax－a2<0.
15．（本小题满分8分）若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，求m的取值范围．
16．（本小题满分10分）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x| α0的解集．
四、探究与拓展（本题满分14分）
17．若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
答案
1．B　　2．A　　3．D　　４．Ｄ　　５．B　　６．B　　７．A　　８．Ｄ
９．－213．(1)原不等式的解集为{x|－(2)原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
14．解　56x2－ax－a2<0?(7x－a)(8x＋a)<0?<0
当a>0时，>－.
∴原不等式的解集为 ；
当a＝0时，＝－，x2<0.
∴原不等式的解集为?；
当a<0时，<－.
∴原不等式的解集为.
15．解：当m＝0时，1<0不成立，∴m≠0；
当m<0时，抛物线y＝mx2－mx＋1开口向下，∴不等式mx2－mx＋1<0的解集一定不是空集；
当m>0时，要使解集非空，应有Δ＝m2－4m>0，∴m>4，综上知不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集时m＜0或m＞4.
16．不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
17．解：∵x2－x－2>0，∴x>2或x<－1.
又2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，∴(2x＋5)(x＋k)<0.①
(1)当k>时，－k<－，
由①有－k(2)当k＝时，①的解集为空集；
(3)当k<时，－<－k，由①得－∴或
∵原不等式只有整数解－2，
∴　∴－3≤k<2.
§ 3.2　一元二次不等式及其解法 （第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－5ax＋4a2≤0}，A∩B＝{x|3A．1 B．4 C．1或4 D．3
2．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是 (　　)
A．0≤m<1 B．0C．03．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于 (　　)
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
4．函数y＝ 对一切x ∈R恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
5．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 (　　)
A．－2≤a< B．－2≤a≤
C．－2≤a<1 D．－2≤a≤1
6．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
7．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是 (　　)
A．13
C．12
8．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有两个不等实根x1，x2，且0A．－2＜k＜－1 B．3＜k＜4
C．－2＜k＜4 D．－2＜k＜－1或3＜k＜4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为____．
10．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝_____
11．不等式≤3的解集为_____________________________．
12．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x ∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是________．
三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分8分）若关于x的不等式x2－3kx－x＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，求k的取值范围．
14．（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
15．（本小题满分8分）某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售
80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
16．（本小题满分10分）解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
四、探究与拓展（本题满分14分）
17．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
答案
1．A 2．C　 3．B　 4．D 　5．A　 6．B 　7．B　 8．D
9．(5,7) 10．4 11． 　12．6
13．解：不等式化为x2－(3k＋1)x＋k(2k＋1)<0，
由(2k＋1)－k>0得k>－1.
∴当k>－1时， k当k＝－1时，不等式无解．
当k<－1时，2k＋1∵不等式的解集中含有整数1，
∴不等式的解为k∵不等式的解集中的整数只有1，
∴，∴0又k>－1，∴k的取值范围是(0，]．
14．－15．(1)2≤P≤6　(2)P＝2　(3)P＝4
16．解：(1)a＝0时，原不等式化为x－2＜0，∴x＜2.∴原不等式解集为{x| x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＜0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，，
又2＞，∴原不等式解集为{x|＜x＜2}．
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＞0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，.
当0＜a＜1时＞2，原不等式的解集为{x |x＞或x＜2}．
当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，解集为{x∈R|x≠2}．
当a＞1时，2＞＞0，原不等式解集为{x |x＞2或x＜}．
综上所述，不等式解集为：a＝0时，{x∈R |x＜2}；a＝1时，{x∈R|x≠2}；a＜0时，{x|＜x＜2}；0＜a＜1时，{x| x＞或x＜2}；a＞1时，{x |x＞2或x＜}．
17．(1)x>3或x<－1　(2)p>－1
§ 3.3.1　二元一次不等式（组）与平面区域 （第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为 (　　)

2．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则 (　　)
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是 (　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．在平面直角坐标系中，不等式组 (a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为 (　　)
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
5．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组，则平面区域D的面积是 (　　)
A．＋ B．1＋
C．＋ D．1＋
6．设x2＋y2≤1表示的平面区域对应点集为M，|x|＋|y|≤1表示的平面区域对应点集为N，则M与N的关系是 (　　)
A．MN B．MN
C．M＝N D．M与N无包含关系
7．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝k x＋分为面积相等的两部分，则k的值是 (　　)
A． B． C． D．
8．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是 (　　)
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区
域内，则a＝________．
10．不等式组表示的平面区域的形状为____________．
11．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
12．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）作出不等式组所表示的平面区域．
14．（本小题满分12分）利用平面区域求不等式组的整数解．
15．（本小题满分12分）若直线y＝k x＋1与圆x2＋y2＋k x＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积．
答案
1．B　 2．D 3．C　 4．D　 5．B　 6．B 7．A　 8．A　
9．3 10．正方形　 11．　 12．013．解　如下图所示．

14．整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)
15．　 16．8
§ 3.3.1　二元一次不等式（组）与平面区域 （第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式组，表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则(　　)
A．P1?D，P2?D B.P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
2．不等式组表示的平面区域是 (　　)
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
3．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围
是 (　　)
A．a<－ B．a>1
C．a<－或a>1 D．－4．不等式组表示的平面区域是 (　　)
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
5. 已知点和在直线的两侧，则的取值范围是（　 ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知点M，N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是 ( )
A. B. C. D.
7．不等式组表示的平面区域内的整点个数为 (　 )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是 (　　)
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．不等式|2x－y＋m|＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是____ ____．
10．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为 ．
11. 点到直线的距离等于，且在不等式表示的平面区域内，则点坐标是 ．
12．设a＞0.点集S内的点(x、y)满足下列所有条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，
③x＋y ≥a，④x＋a ≥y，⑤y＋a ≥x.那么S的边界是一个_______边形(填边数)．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）求不等式组表示的平面区域的面积．
14．（本小题满分12分）经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
15．（本小题满分12分）某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16. 预算用元购买单价为元的桌子和元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的倍．问：桌、椅各买多少才合适？
答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.A
9. 0＜m＜3 10.  11. 12.6
13.解：不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域为为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，
可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)
S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB
＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.
14. 解：（法一）由题意知直线l斜率存在，设为k.则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题知：A、B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有：(k＋1)(2k－2)≤0
∴－1≤k≤1.
（法二）①kPA ≤k≤ kPB.数形结合法．
②直线l：y＝k x－1，与线段AB：y＝3x－5(1≤x≤2)有公共点
∴方程组在1≤x≤2上有解．
消去y得，x＝，
∴1≤≤2，∴－1≤k≤1.
15.解：设每天派出A型车x辆、B型车y辆
则即画出平面区域为图中阴影部分：
16. 答案：解：设桌椅分别买，张，由题意得
由解得
点的坐标为．
由解得
点的坐标为
以上不等式所表示的区域如图所示，
即以，，为
顶点的△及其内部．
对△内的点，设，
即为斜率为，轴上截距为的平行直线系．
只有点与重合，即取，时，取最大值．
，．买桌子张，椅子张时，是最优选择．
§ 3.3.2　简单的线性规划问题 （第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为 (　　)
A．9 B． C．1 D．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为 (　　)
A．－1 B．1 C．2 D．－2
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为 (　　)
A． B．8 C．16 D．10
4．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z=x+a y
取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为 (　　)
A．－3　 B．3
C．－1 D．1
5．已知，若z＝x＋2y的最大值是3，则a的值是 (　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为 (　　)
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若
M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值
为 (　　)
A．3 B．4 C．3 D．4
8．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(，)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是 (　　)
A．(－ ，－) B．(－，－)
C．(，) D．(－，)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知x、y满足条件则z＝2x＋5y的最大值为_______．
10．已知实数x，y满足则的最大值为__ __．
11．已知－112．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
14．（本小题满分12分）求的最大值和最小值，使式中的，满足约束条件．
15．（本小题满分12分）已知f(x)＝ax2－c，且－4≤ f(1)≤－1，－1≤ f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知实数x，y满足.
(1)求x2＋y2－2的取值范围；
(2)求的取值范围．
答案
1．A　 2．B 3．D　 4．A　 5．A 6．A 　7．B 8．B
9．19　 10． 2 11．(3,8) 12．[－1,3]
13．(1)x∈，y∈[－3,8]　(2)42个
14．解：已知不等式组为
在同一直角坐标系中，
作直线，和，
再根据不等式组确定可行域△ （如图）．
由解得点．
所以；
因为原点到直线的距离为，所以．
15. 解：由已知得即
目标函数f(3)＝9a－c.令z＝9a－c作出可行域，如图
由图可知，目标函数z＝9a－c分别在点A、B处取得最值．
由得A(0,1)．
由得B(3,7)．
将两组解分别代入z＝9a－c中得z的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20，
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
16．(1)[16,114]
(2)∪[2，＋∞)
§ 3.3.2　简单的线性规划问题 （第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知x、y满足，则  的最值是 (　　)
A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值无最小值
2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 (　　)
A．5种　　 B．6种　　 C．7种　　 D．8种
3．若x、y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是 (　　)
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润
为 (　　)
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
5. 给出平面区域如图所示，若使目标
函数取得最大值
的最优解有无穷多个，则的值
为 （　　）
A． B．
C． D．
6．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (　　)
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
7．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于(　　)
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
8．若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为 (　　)
A．9 B．3
C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9. 给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．
10．实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是__ _____．
11．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m=
12．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少
为________元．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
14．（本小题满分12分）两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？

阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
15．（本小题满分12分）某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A、B的外壳分别为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／
飞机运输量／
粮食
石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案
1．C 2．C　 3．B　 4．B　 5．B 6．B　 7．C　 8．D
9． 10． 　 11． 5 12．2300
13．投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大
14．解：设A，B两种药品分别为x片和y片，
则有，
两类药片的总数为z=x+y，两类药片的价格
和为k=0.1x+0.2y.
如图所示，作直线l：x+y=0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线
经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组，得交点A坐标.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x+y=11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x=3，y=8时，k取最小值1.9，
因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
15．解：设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得
所有的薄钢板的总面积是z＝2x＋3y.
可行性区域如图所示的阴影部分，其中l1：3x+6y=45；l2：5x+6y=55，l1与l2的交点为A(5,5)，因目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z的最小值为2×5+3×5=25.即甲、乙两种板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
16. 解：设需安排艘轮船和架飞机，则
　　即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参
数）中经过可行域内某点且和原点距离
最小的直线，此直线经过直线
和的交点
，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中
必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
§ 3.4　基本不等式 （第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是 (　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
2．若a，b ∈R，且a b>0，则下列不等式中，恒成立的是 (　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．＋> D．＋≥2
3．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是 (　　)
A．2 B．3 C．1 D.
4．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系
是 (　　)
A．m>n B．m5．设0A．logab＋logba≥2 B．logab＋logba≥－2
C．logab＋logba≤－2 D．logab＋logba>2
6．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是 (　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C．≥2 D．>
7．设x，y ∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为 (　　)
A．2 B． C．1 D．
8．已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若a<1，则a＋有最______(填“大”或“小”)值，为________．
10．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
11．已知a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．
12．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共4个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分8分）设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
14．（本小题满分8分）已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.
15．（本小题满分8分）已知a，b，c为不等正实数，且a b c＝1.
求证：＋＋<＋＋.
16．（本小题满分10分）设a、b、c都是正数，求证：a＋，b＋，c＋三个数中至少有一个不小于2.
四、探究与拓展（本题满分14分）
17．已知a>b>0，求证：a2＋≥16.
答案
1．C　 2．D 　3．C 4．A　 5．C　 6．D　 7．C　 8．D
9．大　－1　 10．2 11． P13．证明　∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
14．证明　∵xy＝1，
∴＝＝＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当，
即时取等号．
15．证明　∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.
16．解：假设a＋，b＋，c＋都小于2，即a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则a＋＋b＋＋c＋<6，
当a、b、c都是正数时，
a＋＋b＋＋c＋＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6
与上式矛盾．
∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
17．证明　方法一　∵a>b>0，∴a－b>0.
∴a2＋＝[(a－b)＋b]2＋≥[2]2＋
＝4(a－b)b＋
≥4×2＝16.
取“＝”时当且仅当：a－b＝b>0且(a－b)b＝>0，
即当a＝2且b＝时“＝”号成立．
方法二　∵a>b>0，∴a－b>0，b(a－b)≤2＝，
当且a＝2b时取等号，
∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16.
当a＝2，b＝时，等号成立．
§ 3.4　基本不等式 （第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a、b是正实数，给出以下不等式：
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，
其中恒成立的序号为 (　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．函数y＝log2 (x>1)的最小值为 (　　)
A．－3 B．3 C．4 D．－4
3．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值
为 (　　)
A．2 B．4 C．16 D．不存在
4．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg x lg y的最大值是 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．
5．若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为 (　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 (　　)
A． B．4 C． D．5
7．设a>1，b>1且a b－(a＋b)＝1，那么 (　　)
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．a b有最大值＋1 D．a b有最小值2(＋1)
8．若x y是正数，则2＋2的最小值是 (　　)
A．3 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
10．一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾
区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2千米，则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．
11．若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．
12．函数y＝loga(x＋3)－1(a>1，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线
m x＋n y＋1＝0上，其中m n>0，则＋的最小值为________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，
＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
14．（本小题满分12分）设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

15．（本小题满分12分）单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．求函数的值域。
答案
1．D 2．B　 3．B　 4．A 　5．C 6．C 　7．A　 8．C　
9．9　 10．8　 11．2　 12．8
13．解：　x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等号在＝即＝时成立，
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，
∴ab＝16.
∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
14．　
15．解： (1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则
z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.
16．解：由已知：，
（i）当即时，，
当且仅当即时，，此时；
（ii）当即时，
，
当且仅当即时，，此时；
综上所述，所求函数的值域为
第三章 不等式单元测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＞0，b＞0 则下列不等式中不成立的是 (　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C．≥a＋b D．≥
2．若关于x的方程x2＋m x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．如果a ∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是 (　　)
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
4．若不等式ax2＋b x－2>0的解集为，则a＋b等于 (　　)
A．－18 B．8 C．－13 D．1
5．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围 (　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
6．不等式≥2的解为 (　　)
A．[－1,0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
7．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是 (　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
8．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x<－2或3C．{x| x≤－2或x>3} D．{x| x<－2或x≥3}
9．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 (　　)
A．－1C．－10．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值
为 (　　)
A．12 B．10 C．8 D．2
11．在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数)所表示的平面
区域的面积等于2，则a的值为 (　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3
12．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为 (　　)
A． B． C． D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知关于x的不等式ax2＋b x＋c＜0的解集是{x| x＜－2，或x＞－}，则不
等式ax2－b x＋c＞0的解集为___ _____．
14．不等式>0的解集是____________________________________．
15．设x，y ∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
16．设A＝log2011，B＝log2011，则A与B的大小关系为_____．
17．设正数x，y满足＋≤a· 恒成立，则a的最小值是______．
18．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝_______.
三、解答题(本大题共5个小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)若3∈M，且5?M，求实数a的取值范围．
(2)当a＝4时，求集合M．
20．已知a，b，c ∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：≥8．
21．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有两个不等实根x1，x2，且
0＜x1＜1＜x2＜2，求实数k的取值范围．
22．已知点M(x1，f(x1))是函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)图像C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l.
(1)求切线l的方程；
(2)设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．
23．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
答案
1．D　2．C　3．B　4．C　5．D　6．A　7．D　8．A　9．C　10．B　11．D　12．A
13．{x|＜x＜2} 14．{x|－56} 15．9　 16．A>B 17．　 18．3
19．(1)1≤a<或9(2)M＝{x| x<－2或20．证明：　∵a，b，c ∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝＝＋≥2＝>0；
同理，－1≥>0；－1≥>0.
上述三个不等式相乘得
≥··＝8.
即≥8.
21．解：　结合f(x)＝7x2－(k＋13)x＋k2－k－2的图像知：
???
?－2＜k＜－1或3＜k＜4.
所以实数k的取值范围为：－2＜k＜－1或3＜k＜4
22. 解：(1)f′(x)＝－，∴k＝f′(x1)＝－.
∴切线方程为y－＝－(x－x1)，
即y＝－x＋.
(2)在y＝－x＋中，令y＝0得x＝2x1，
∴A(2x1,0)．令x＝0，得y＝，∴B(0，)．
∴△AOB的周长m＝2x1＋＋ .
∴m＝2(x1＋＋ )，x1∈(0，＋∞)．
令t＝x1＋，∵x1∈(0，＋∞)，∴t≥2.
∴当t＝2，即x1＝1时，m最小＝2(2＋)．
故△AOB周长的最小值是4＋2.
23．解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车
型车
限量
车辆数
运物吨数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线
过时，最小，但
不是整点，继续向上平移直线
可知，是最优解．这时
（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为
（元）．

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