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第十一讲 对数函数图象与性质及应用
【知识梳理】
1．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域
值域
过定点 ，即 x＝ 时，y＝ .
当 x>1时， ； 当 x>1时， ；
性质
当 0在(0，＋∞)上是 . 在(0，＋∞)上是 .
【基础自测】
1．函数 y＝2＋ log2 x (x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
2．已知 a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
3．不等式 log2 (x 1) >－1的解集是( )
A.{x | x 2 } 3B．{x|x>2} C．{x|x>1} D.{x | x }
3 2
4．函数 y＝lg(x＋1)的图象大致是________．
5．函数 f(x)＝logax 在[2,4]上的最大值与最小值的和为 6，则 a 的值为________．
6．关于函数 y log 1 (x 1)的单调性叙述正确的是________．(填序号)
2
①在 R 上单调递减；②在(1，＋∞)上单调递增；
③在(1，＋∞)上单调递减；④在(0，＋∞)上单调递减．
【典型例题】
题型一 比较指数式、对数式的大小
1．比较下列各组数的大小：
(1)log 35 与 log 45 ； (2) log1 2与 log1 2； (3)log23与 log54.4 3
3 5
1
2．设 a＝log3e，b＝e1.5， c log1 ，则( )
3 4
A．b3．若实数 a，b，c 满足 loga2A．a练习 1
4．已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a5．比较下列各组值的大小：
① log 0.5, log 0.6; ②log1.51.6，log1.51.4；2 2
3 3
③log0.57，log0.67； ④log3π，log20.8.
题型二 解对数不等式
6．解下列关于 x 的不等式：
(1) log 1 x log 1 (4 x); (2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
7 7
7．若 log 2a <1，则实数 a 的取值范围是 .
3
练习 5
8．求满足不等式 log3x<1的 x 的取值集合；
9．若 log 2a <1(a>0，且 a≠1)，求实数 a 的取值范围．
5
题型三 对数型复合函数的单调性及值域
10．求函数 y log 1 (1 x
2 )的单调区间．
2
11．已知 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且 a≠1)．
(1)求函数 f(x)的定义域，值域；
(2)若函数 f(x)有最小值为－2，求 a 的值．
练习 3
12．函数 y＝ log1 1 3x 的值域为________．
5
13．已知函数 f(x) log x＋1＝ 2 .
x－1
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
【课堂小测】
1．函数 y＝ log3 2x－1 的定义域为( )
1
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C. ( , ) 1D. ( ,1)
2 2
2．设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
3．函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．若函数 f(x)＝logax(其中 a 为常数，且 a>0，a≠1)满足 f(2)>f(3)，则 f(2x－1)是________．
5．若函数 f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
6 x．已知函数 f(x－1)＝lg .
2－x
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)判断 f(x)的奇偶性；
(3)解关于 x 的不等式 f(x)≥lg(3x＋1)．
【课后作业】
1.如图，曲线是对数函数 y＝logax 的图象，已知 a 4 3 3 1的取值有 ， ，， ，则相应 C1，C2，C3，
3 5 10
C4的 a 的值依次是( )
A. 3 4 1 3 B. 3 4 3 1 C.4 3 3 1 4 1 3，， ， ，，， ， ，， D. ，3， ，
3 10 5 3 5 10 3 5 10 3 10 5
2．函数 y＝ log1 3 4x x2 的单调递增区间是( )
3
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(2,3)
3．(多选)已知 a，b>0且 a≠1，b≠1，若 logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
4．比较大小，用不等号连接起来．
(1)log0.81.5________log0.82； (2)log25________log75；
(3)log34________2； (4)log35________log64.
5．函数 f(x)＝log2 x· log 2 (2x)的最小值为________．
6．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求实数 a 的值及 f(x)的定义域；
0 3，
(2)求 f(x)在区间 2 上的最大值．第十一 对数函数图象与性质及应用
【考试要求】
1.能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
【知识梳理】
1．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即 x＝1时，y＝0
当 x>1时，y>0； 当 x>1时，y<0；
性质
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
【基础自测】
1．函数 y＝2＋ log2 x (x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 当 x≥1时，log2x≥0，
所以 y＝2＋log2x≥2.
2．已知 a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
答案 B
解析 a＝log23.6>1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选 B.
3．不等式 log2 (x 1) >－1的解集是( )
A.{x | x 2 } B．{x|x>2} C 3．{x|x>1} D.{x | x }
3 2
答案 D
解析 ∵log2(x－1)>－1＝log
1
2 ，
2
∴x－1>1 3，即 x> .
2 2
4．函数 y＝lg(x＋1)的图象大致是________．
答案 ③
解析 由底数大于 1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是 y＝lg x的图象向左平移 1个单位长
度(或令 x＝0得 y＝0，而且函数为增函数)．
5．函数 f(x)＝logax在[2,4]上的最大值与最小值的和为 6，则 a的值为________．
答案 2
loga2＋loga4＝6，
解析 依题意得
a>0且 a≠1，
所以 3loga2＝6，即 loga2＝2，
所以 a2＝2，所以 a＝ 2(舍－ 2)．
6．关于函数 y log 1 (x 1)的单调性叙述正确的是________．(填序号)
2
①在 R 上单调递减；
②在(1，＋∞)上单调递增；
③在(1，＋∞)上单调递减；
④在(0，＋∞)上单调递减．
答案 ③
【典型例题】
题型一 比较指数式、对数式的大小
1．比较下列各组数的大小：
(1)log 35 与 log
4
5 ；
4 3
(2) log1 2与 log1 2；
3 5
(3)log23与 log54.
(1) 3 4 3 4解 方法一 对数函数 y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而 < ，所以 log5 4 3 4 3
log 3方法二 因为 5 <0，log
4
5 >0，
4 3
log 3所以 5 4
5 .
4 3
1 1
(2)由于 log1 2＝ ， log1 2＝ ，
3 log
1 1
2
3 5
log2
5
1 1
又对数函数 y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且 0< < <1，
5 3
1 1
所以 0>log 12 >log
1
2 ，所以 <
3 5 log 1 log 1
，
2 2
3 5
所以 log1 2 log 1 2.
3 5
(3)取中间值 1，因为 log23>log22＝1＝log55>log54，所以 log23>log54.
反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
1
2．设 a＝log3e，b＝e1.5， c log1 ，则( )
3 4
A．bC．c答案 D
解析 c log 11 ＝log34>log3e＝a.
3 4
又 c＝log342，
∴a3．若实数 a，b，c满足 loga2A．aC．c答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得
1 < 1 < 1 <0，
log2a log2b log2c
即 log2c可得 c思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可
用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而
底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0
或 1.
练习 1
4．(2019·全国Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a答案 B
解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a5．比较下列各组值的大小：
① log 0.5, log 0.6;②log1.51.6，log1.51.4；2 2
3 3
③log0.57，log0.67；④log3π，log20.8.
解 ①因为函数 y log 2 x是(0，＋∞)上的减函数，且 0.5<0.6，
3
所以 log 2 0.5 log 2 0.6.
3 3
②因为函数 y＝log1.5x是(0，＋∞)上的增函数，且 1.6>1.4，
所以 log1.51.6>log1.51.4.
③因为 0>log70.6>log70.5
1 1
，所以 < ，
log70.6 log70.5
即 log0.67④因为 log3π>log31＝0，
log20.8log20.8.
题型二 解对数不等式
6．解下列关于 x的不等式：
(1) log 1 x log 1 (4 x);
7 7
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
x>0，
解 (1)由题意可得 4－x>0， 解得 0x<4－x，
所以原不等式的解集为{x|02x－5>0，
(2)当 a>1时，原不等式等价于 x－1>0， 解得 x>4.
2x－5>x－1.
2x－5>0，
当 00，
2x－55
解得 2
综上所述，当 a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
5当 07．若 log 2a <1，则实数 a的取值范围是 .
3
02
解析 当 a>1时，满足条件；当 03 3
0 2，
综上，a∈ 3 ∪(1，＋∞)．
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如 logax>logab的不等式，借助 y＝logax的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分 a>1
与 0(2)形如 logax>b的不等式，应将 b化为以 a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助 y＝logax
的单调性求解．
(3)形如 logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0 且不等于 1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的
对数进行求解，或利用函数图象求解．
练习 5
8．求满足不等式 log3x<1的 x的取值集合；
解 因为 log3x<1＝log33，
x>0，
所以 x满足的条件为 即 0log3x所以 x的取值集合为{x|09 log 2．若 a <1(a>0，且 a≠1)，求实数 a的取值范围．
5
解 log 2<1 2a ，即 loga 5 5
当 a>1时，函数 y＝logax在定义域内是增函数，
所以 log 2a 5
当 0log 2由 a 5 5 5
0 2，
所以实数 a的取值范围为 5 ∪(1，＋∞)．
题型三 对数型复合函数的单调性及值域
10．求函数 y log 1 (1 x
2 )的单调区间．
2
解 要使 y log 1 (1 x
2 )有意义，则 1－x2>0，
2
所以 x2<1，所以－1因此函数的定义域为(－1,1)．
令 t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当 x∈(－1,0]时，当 x增大时，t增大， y log 1 t减小．
2
2
所以当 x∈(－1,0]时， y log 1 (1 x )是减函数；
2
2
同理可知，当 x∈[0,1)时， y log 1 (1 x )是增函数．
2
即函数 y log 1 (1 x
2 )的单调递减区间是(－1,0]，
2
单调递增区间为[0,1)．
反思感悟 求形如 y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域．
(2)研究函数 t＝f(x)和函数 y＝logat在定义域上的单调性．
(3)判断出函数的增减性求出单调区间．
11．已知 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且 a≠1)．
(1)求函数 f(x)的定义域，值域；
(2)若函数 f(x)有最小值为－2，求 a的值．
1－x>0，
解 (1)由 得定义域为{x|－3x＋3>0，
f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，
令 t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
因为 x∈(－3,1)，所以 t∈(0,4]．
所以 f(t)＝logat，t∈(0,4]．
当 0当 a>1时，值域为(－∞，loga4]．
0(2)y 1min＝－2，由(1)及题意得 得 a＝ .
loga4＝－2， 2
练习 3
12．函数 y＝ log1 1 3x 的值域为________．
5
答案 (0，＋∞)
解析 因为 3x>0，所以－3x<0，
所以 0<1－3x<1.
又 y＝ log1 t (t＝1－3x)是关于 t的减函数，
5
所以 y＝ log1 t > log1 1＝0.
5 5
∴y>0
13 x＋1．已知函数 f(x)＝log2 .
x－1
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
解 (1)要使函数有意义，
x＋1>0， x＋1<0，
则有 或
x－1>0， x－1<0.
解得 x>1或 x<－1.
所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
所以函数的定义域关于原点对称．
f( －x＋1－x)＝log2 ＝log
x－1
2
－x－1 x＋1
＝－log x＋12 ＝－f(x)．
x－1
所以 f(x)为奇函数．
(2)设 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1x2＋1 x1＋1
则 －
x2－1 x1－1
2 x1－x2
＝ <0，
x2－1 x1－1
x2＋1
所以 x2－1 x1－1
log x2＋1x2－1 x1－1
所以 f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．
故 f(x)＝log x＋12 的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
x－1
【课堂小测】
1．函数 y＝ log3 2x－1 的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
1 1
，＋∞ ，1
C. 2 D. 2
考点 对数不等式
题点 解对数不等式
答案 A
log3 2x－1 ≥0，
解析 要使函数有意义，需满足
2x－1>0，
2x－1≥1，
∴ ∴x≥1，∴函数 y＝ log3 2x－1 的定义域为[1，＋∞)．
2x－1>0，
2．设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
考点 对数值大小比较
题点 对数值大小比较
答案 D
解析 a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，
在同一坐标系内分别画出 y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，
当 x＝2时，由图易知 log32>log52>log72，
∴a>b>c.
3．函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1.
∴log2(3x＋1)>0.
∴函数 f(x)的值域为(0，＋∞)．
4．若函数 f(x)＝logax(其中 a为常数，且 a>0，a≠1)满足 f(2)>f(3)，则 f(2x－1)是________．
答案 {x|1解析 ∵f(2)>f(3)，
∴f(x)＝logax是减函数，
2x－1>0， x>
1
，
2
由 f(2x－1)0， ∴ x<2，
2x－1>2－x， x>1，
∴15．若函数 f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
答案 2
解析 令 u(x)＝x2－x＋2，则 u(x)在[0,2]上的最大值 u(x)max＝4，最小值 u(x) 7min＝ .
4
当 a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得 a＝2；
当 07 2 7a ＝ ，得 a＝ (舍去)．故 a＝2.
4 2
6．已知函数 f(x－1)＝lg x .
2－x
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)判断 f(x)的奇偶性；
(3)解关于 x的不等式 f(x)≥lg(3x＋1)．
解 (1)令 t＝x－1，则 x＝t＋1，
x
由题意知 >0，即 02－x
则－1f(t) lg t＋1 lg t＋1所以 ＝ ＝ ，
2－ t＋1 1－t
f(x) lg x＋1故 ＝ (－11－x
(2)由(1)知，f(x) lg x＋1＝ (－11－x
1＋x
－x＋1 1－x 1＋x
所以 f(－x)＝lg ＝lg ＝lg 1－x －1＝－lg ＝－f(x)，
1－ －x 1＋x 1－x
所以 f(x)为奇函数．
(3) lg x＋1原不等式可化为 ≥lg(3x＋1)，－11－x
x＋1
即 ≥3x＋1>0，－11－x 3 3
1 1
－ ，0 ，1
故原不等式的解集为 3 ∪ 3 .
【课后作业】
1.如图，曲线是对数函数 y＝log 4 3 1ax的图象，已知 a的取值有 ，3，， ，则相应 C1，C2，C3，
3 5 10
C4的 a的值依次是( )
A. 3 4 1 3，， ，
3 10 5
B. 3 4 3 1，，，
3 5 10
C.4 3 3 1， ，，
3 5 10
D.4，3 1 3， ，
3 10 5
答案 B
2．函数 y＝ log1 3 4x x2 的单调递增区间是( )
3
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(2,3)
答案 D
解析 由－3＋4x－x2>0，得 x2－4x＋3<0，得 1设 t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为 x＝2.
∵函数 y＝ log1 t为减函数，
3
∴要求函数 y＝ log1 3 4x x2 的单调递增区间，
3
即求函数 t＝－3＋4x－x2,1∵函数 t＝－3＋4x－x2,1∴函数 y＝ log1 3 4x x2 的单调递增区间为(2,3)，故选 D.
3
3．(多选)已知 a，b>0且 a≠1，b≠1，若 logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
答案 AD
解析 ①当 a>1时，logab>1＝logaa，
∴b>a，∴b>a>1，
∴(a－1)(a－b)<0.
②当 01＝logaa，∴b∴0∴b－1<0，b－a<0，
∴(b－1)(b－a)>0.
4．比较大小，用不等号连接起来．
(1)log0.81.5________log0.82；
(2)log25________log75；
(3)log34________2；
(4)log35________log64.
答案 (1)> (2)> (3)< (4)>
5．函数 f(x)＝log2 x· log 2 (2x)的最小值为________．
1
答案 －
4
log x 1＋
解析 依题意得 f(x) 1＝ log2x·(2＋2log2x)＝(log x)2
2 1 1
2 ＋log2x＝ 2 2－ ≥－ ，当 log2x
2 4 4
1 x 2 1＝－ ，即 ＝ 时等号成立，所以函数 f(x)的最小值为－ .
2 2 4
6．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求实数 a的值及 f(x)的定义域；
0 3，
(2)求 f(x)在区间 2 上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且 a≠1)，
1＋x>0，
∴a＝2.由 得－13－x>0，
∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当 x∈[0,1]时，f(x)单调递增；
1 3，
当 x∈ 2 时，f(x)单调递减，
0 3，
故函数 f(x)在 2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2.

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