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第十二讲 函数与方程
【考试要求】
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
【知识梳理】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x轴有交点 函数 y＝f(x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函
数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0
的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与 x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x) 2＝3x－2的零点为 .( √ )
3
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( × )
(3)若 f(x)在(a，b)上连续，且 f(a)f(b)>0，则 f(x)在(a，b)上没有零点．( × )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0时没有零点．( √ )
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
3．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
答案 C
解析 对于选项 C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分
法求解．
4．已知函数 y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零
点，所以 y＝f(x)在[1,6]上至少有 3个零点．
5．若函数 f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
6．若函数 f(x)＝ax＋b有一个零点 2，则函数 g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案 0 1，－
2
解析 由题意知 2a＋b＝0，
则 b＝－2a，
令 g(x)＝bx2－ax＝0，
a 1
得 x＝0或 x＝ ＝－ ，
b 2
所以 g(x)的零点为 0 1，－ .
2
【典型例题】
题型一 函数零点所在区间的判定
1．函数 f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且 f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故 f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选 C.
2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求 a，b，c的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
答案 A
解析 因为 f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又 f(2)＝
－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选 A.
反思感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，
进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的
有关性质进行判断．
练习 2
3．函数 f(x)＝ln x 2－ 的零点所在的大致区间是( )
x
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 由题意知，f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，
∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，
∴在(1,2)内 f(x)无零点；
又 f(3)＝ln 3 2－ >0，
3
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点，
同理可知 f(x)在(3,4)内，(e，＋∞)内均无零点．
题型二 函数零点个数的判定
x2＋2x－3，x≤0，
4．f(x)＝ 的零点个数为( )
－2＋ln x，x>0
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 当 x≤0时，
由 f(x)＝x2＋2x－3＝0得 x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当 x>0时，由 f(x)＝－2＋ln x＝0得 x＝e2.
∴函数的零点个数为 2.
5．函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1个零点．
方法二 设 y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为 f(x)的零点个数．
故函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1个零点．
反思感悟 判断函数存在零点的 3种方法
(1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存
在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)
的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数 y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由 f(a)·f(b)<0 即可判
断函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则
函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
练习 3
6．求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋lg 2－2>0，
又 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
故函数 f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x和 g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知 g(x)＝lg(x＋1)的图象和 h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
7．判断函数 f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数 y＝ln x与 y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数 y＝3－x2与 y＝ln x的图象在 x∈(0，＋∞)只有一个交点，从而 ln x＋x2－3
＝0有一个根，
即函数 f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于 f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，
又 f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
∴f(x)在(1,2)上必有零点，
又 f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，
∴零点只有一个．
题型四 根据函数零点个数求参数范围
e x a, x 0,
8．已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a的取值范
2x a, x 0
围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，
0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有
一个零点，需－a<0，即 a>0.综上，09．若函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数 m的取值范
围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 两根分别属于两区间
解 函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与 x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
f －1 ＝2>0， m< 1－ ，
2
根据图象(图略)列出不等式组 f 0 ＝2m＋1<0， 解得 5
f 1 ＝4m＋2<0， m>－ ，6
f 2 ＝6m＋5>0，
5 1
5 1 － ，－
∴－ 6 2
练习 4
10．函数 f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数 a的取值范围．
解 由 f(x)＝0得 a－1＝2|x|－x2，
因为函数 f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数 y＝a－1与 y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数 y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0【课堂小测】
1．函数 f(x)＝ln x 2－ 的零点所在的区间是( )
x－1
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
2
解析 函数 f(x)＝ln x－ 在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为 f(2)＝ln 2
x－1
－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以 f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．函数 f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由数形结合可知函数 y＝ln x的图象与函数 y＝x2－4x－5的图象有 2 个交点，所以函
数 f(x)有 2个零点，故 C正确．
2x a, x 0,
3．(多选)若函数 f(x)＝ 有两个不同的零点，则实数 a的取值可能为( )
ln x, x 0
A．－1 B.1 C．1 D．2
2
答案 BC
解析 当 x>0时，由 f(x)＝ln x＝0，得 x＝1.
因为函数 f(x)有两个不同的零点，
则当 x≤0时，函数 f(x)＝2x－a有一个零点．
令 f(x)＝0，得 a＝2x.
因为 0<2x≤20＝1，
所以 04．已知函数 f(x) 2＝ ＋a的零点为 1，则实数 a的值为________．
3x＋1
1
答案 －
2
2 1
解析 依题意，f(1)＝ ＋a＝0，∴a＝－ .
3＋1 2
5．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a的取值范围是__________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 函数 f(x)的零点的个数就是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与函数 y＝x＋a的图象的交点的个
数，如图，当 a>1时，两函数图象有两个交点；当 01.
6．函数 f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为 2,3.
(1)求 b，c的值；
(2)若函数 g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求 m的取值范围．
解 (1)∵2,3为方程 x2＋bx＋c＝0的两根，
－b＝2＋3， b＝－5，
∴ ∴
c＝2×3. c＝6.
(2)由(1)知 f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
g 1 >0，
1
依题意 g 2 <0， 解得－ g 4 >0，
1
－ ，0
故实数 m的取值范围是 2 .
【课后作业】
1．在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. ( 1 ,0) B. (0, 1) C. (1 , 1) D. (1 , 3)
4 4 4 2 2 4
答案 C
1 1 1 1
4
解析 因为 f 4 ＝ e－2<0，f 2 ＝ e－1>0，所以 f 4 ·f 2 <0，又函数 f(x)在定义域上单调
1 1
，
递增，所以零点在区间 4 2 上．
2．函数 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数 a的值为( )
A 1 1 1．－ B．0 C. D．0或－
4 4 4
答案 D
解析 当 a＝0时，f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0得 x＝－1，
故 f(x)只有一个零点为－1.
当 a≠0时，则Δ＝1＋4a 0 a 1＝ ，∴ ＝－ .
4
综上有 a＝0 1或－ .
4
2|x| , x 1,
3．已知函数 f(x) ＝ 若关于 x的方程 f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，
x
2 3x 3, x 1.
则实数 a的取值范围为( )
1 1 3 1
A. ( ,1) B.{ } C. ( , ]∪(1，＋∞) D．R
2 2 8 2
答案 C
解析 作出函数 f(x)的图象如图，
因为关于 x的方程 f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以 y＝2a与函数 y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得 2a>2 3或 <2a≤1.
4
解得 a>1 3或 8 2
1
4．函数 f(x)＝x3－ ( ) x 的零点有______个．
2
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 1
x ln x, x 0,
5．已知函数 f(x)＝ 则 f(x)的零点为________．
x2 x 2, x 0.
答案 －1和 1
x>0， x≤0，
解析 令 f(x)＝0得 或
xln x＝0 x2－x－2＝0，
解得 x＝1或 x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和 1.
6．已知函数 f(x)＝|1－x2|＋a，若 f(x)有四个零点，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 函数 y＝f(x)有四个零点，
即 y＝－a与 y＝|1－x2|有四个交点，
作出函数 y＝|1－x2|的图象如图，
由图可知 0<－a<1，即－1【知识梳理】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 有交点 函数 y＝f(x)有 ．
(3)函数零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，
函数 y＝f(x)在区间 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 ，这个 c也就是方
程 f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在
的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与 x轴的交点
零点个数
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 2函数 f(x)＝3x－2的零点为 .( )
3
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )
(3)若 f(x)在(a，b)上连续，且 f(a)f(b)>0，则 f(x)在(a，b)上没有零点．( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0时没有零点．( )
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
1
3．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
4．已知函数 y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．若函数 f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数 a的取值范围是________．
6．若函数 f(x)＝ax＋b有一个零点 2，则函数 g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【典型例题】
题型一 函数零点所在区间的判定
1．函数 f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求 a，b，c的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
练习 2
3．函数 f(x) ln x 2＝ － 的零点所在的大致区间是( )
x
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
2
题型二 函数零点个数的判定
x2 2x 3, x 0,
4．f(x)＝ 的零点个数为( )
2 ln x, x 0.
A．3 B．2 C．1 D．0
5．函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
练习 3
6．求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
7．判断函数 f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
3
题型四 根据函数零点个数求参数范围
e x a, x 0,
8．已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a的取值范
2x a, x 0
围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1]
9．若函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数 m的取值范
围．
练习 4
10．函数 f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数 a的取值范围．
4
【课堂小测】
1．函数 f(x) 2＝ln x－ 的零点所在的区间是( )
x－1
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
2．函数 f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2x a, x 0,
3．(多选)若函数 f(x)＝ 有两个不同的零点，则实数 a的取值可能为( )
ln x, x 0
A 1．－1 B. C．1 D．2
2
4 2．已知函数 f(x)＝ ＋a的零点为 1，则实数 a的值为________．
3x＋1
5．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a的取值范围是__________．
6．函数 f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为 2,3.
(1)求 b，c的值；
(2)若函数 g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求 m的取值范围．
5
【课后作业】
1．在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
1 1 1 1 1 3
A. ( ,0) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )
4 4 4 2 2 4
2．函数 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数 a的值为( )
A 1 B 0 C.1 D 0 1．－ ． ． 或－
4 4 4
2|x| , x 1,3．已知函数 f(x)＝ 若关于 x的方程 f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，
2 x 3x 3, x 1.
则实数 a的取值范围为( )
A. (1 ,1) B.{1} C. (3 , 1 ]∪(1，＋∞) D．R
2 2 8 2
1
4．函数 f(x)＝x3－ ( ) x 的零点有______个．
2
x ln x, x 0,
5．已知函数 f (x) 2 则 f(x)的零点为________．
x x 2, x 0.
6．已知函数 f(x)＝|1－x2|＋a，若 f(x)有四个零点，则实数 a的取值范围是________．
6

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