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第十三讲 任意角及弧度制
【知识梳理】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用 l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ °.
弧长公式
扇形面积公式
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
(2)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( )
(3)终边落在 y轴上的角的正切函数值为 0.( )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
2．－240°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
4．18°＝________ rad.
5 π．圆心角为 弧度，半径为 6的扇形的面积为________．
3
6．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．
1
【典型例题】
题型一 终边相同的角及象限角
1．将下列各角表示为 k 360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
2．若角α的终边在直线 y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.{ | k 2 ,k Z} B.{ | k 2 3 ,k Z}
4 4
C.{ | k 3 ,k Z} D.{ | k ,k Z}
4 4
练习 1
3．在四个角 20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k 360°，k∈Z B．100°＋k 360°，k∈Z
C．260°＋k 360°，k∈Z D．－260°＋k 360°，k∈Z
题型二 区域角的表示
5．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
6 α．若角α是第二象限角，则 是第________象限角．
2
2
练习 2
7．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于 x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
8．集合{ | k k ,k Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
4 2
9．已知角 2α的终边在 x轴的上方，那么α是第________象限角．
题型三 与扇形的弧长、面积有关的计算
10．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
练习 3
11．练习已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的弧长和面积．
3
【课堂小测】
1 9π．下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是( )
4
A．2kπ＋45°(k∈Z) B k 360° 9π． ＋ (k∈Z)
4
C．k 360°－315°(k∈Z) D kπ 5π． ＋ (k∈Z)
4
2 3π．若扇形的面积为 、半径为 1，则扇形的圆心角为( )
8
A.3π B.3π C.3π D.3π
2 4 8 16
3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时转过的角度是 60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D α．若α是第二象限角，则 是第一或第三象限角
2
4．在 0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
5．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．
6．已知半径为 10的圆 O中，弦 AB的长为 10.
(1)求弦 AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长 l及弧所在的弓形的面积 S.
4
【课后作业】
1．给出下列四个命题：
3π 4π
①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
4 3
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k 360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k 360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k 360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k 360°，k∈Z}
3．(多选)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，下列选项可能正确的有( )
A．圆的半径为 2 B．圆的半径为 1
C．圆心角的弧度数是 1 D．圆心角的弧度数是 2
4．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
5 k ．设集合 M＝{ | ,k Z}，N＝{α|－π<α<π}，则 M∩N＝____________.
2 3
6．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
5第十三讲 任意角及弧度制
【考试要求】
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
【知识梳理】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式
l
角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用 l表示)
r
角度与弧度的换算 1° π rad
180
＝ ；1 rad＝ ( )
180
弧长公式 弧长 l＝|α|r
S 1lr 1扇形面积公式 ＝ ＝ |α|r2
2 2
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( √ )
(3)终边落在 y轴上的角的正切函数值为 0.( × )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
2．－240°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角．
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
π
答案
3
4．18°＝________ rad.
π
答案
10
5 π．圆心角为 弧度，半径为 6的扇形的面积为________．
3
答案 6π
1 π
解析 扇形的面积为 ×62× ＝6π.
2 3
6．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．
答案 {α|k·360°＋45°<α解析 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α【典型例题】
题型一 终边相同的角及象限角
1．将下列各角表示为 k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
解 (1)420°＝360°＋60°，
而 60°角是第一象限角，故 420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而 210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而 300°是第四象限角，故 1 020°是第四象限角．
反思感悟 首先把各角写成 k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限
即可．
2．若角α的终边在直线 y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.{ | k 2 3 ,k Z} B.{ | k 2 ,k Z}
4 4
C.{ | k 3 ,k Z} D.{ | k ,k Z}
4 4
答案 D
解析 由图知，
|α 3π π＝2nπ＋ ，n∈Z |α＝2nπ－ ，n∈Z角α的取值集合为 α 4 ∪ α 4
|α＝ 2n＋1 π π－ ，n∈Z |α＝2nπ π－ ，n∈Z |α＝kπ π－ ，k∈Z＝ α 4 ∪ α 4 ＝ α 4 .
练习 1
3．在四个角 20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
4．与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z
答案 C
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成 260°＋k·360°，k∈Z，故选 C.
题型二 区域角的表示
5．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解 终边在 30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在 180°
－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边
在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思感悟 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间
{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上 360°的整数倍，即得区域角集合．
6．若角α α是第二象限角，则 是第________象限角．
2
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角，
π
∴ ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
2
π
∴ ＋kπ<α<π＋kπ，k α α∈Z.当 k为偶数时， 是第一象限角；当 k为奇数时， 是第三象限角．
4 2 2 2 2
α
综上， 是第一或第三象限角．
2
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的
终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定 kα α， (k∈N*)的终边位置的方法
k
kα α α先写出 或 的范围，然后根据 k的可能取值确定 kα或 的终边所在位置．
k k
练习 2
7．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于 x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解 如题图(1)所示，以 OB为终边的角有 330°角，可看成是－30°，
∴以 OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．
如题图(2)所示，以 OB为终边的角有 225°角，可看成是－135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．

8．集合{ | k k ,k Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
4 2
答案 C
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ π π π π＋ ≤α≤2nπ＋ ，此时α表示的范围与 ≤α≤ 表示的范围一样；
4 2 4 2
当 k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ π＋π＋ ≤α≤2nπ＋π π π π＋ ，此时α表示的范围与π＋ ≤α≤π＋ 表示
4 2 4 2
的范围一样，故选 C.
9．已知角 2α的终边在 x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案 一或三
解析 由题意知 k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故 k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照 k的
奇偶性进行讨论．当 k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当 k＝
2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象
限角．
题型三 与扇形的弧长、面积有关的计算
10．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为 l cm，半径为 R cm，
l＋2R＝10，①
依题意有 1lR＝4. ②
2
①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4.
当 R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．
R 4 l 2 θ 2 1当 ＝ 时， ＝ ，此时， ＝ ＝ (rad)．
4 2
1
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
2
反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略
(1) 1 1记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝ lR＝ αR2(其中 l是扇形的弧长，R是扇形的半径，
2 2
α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中
已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
练习 3
11．练习已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的弧长和面积．
解 已知扇形的圆心角α 60° π＝ ＝ ，半径 r＝10 cm，
3
则弧长 l＝α·r π＝ ×10 10π＝ (cm)，
3 3
1
于是面积 S＝ lr 1 10π＝ × ×10 50π＝ (cm2)．
2 2 3 3
【课堂小测】
1 9π．下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是( )
4
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360° 9π＋ (k∈Z)
4
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ 5π＋ (k∈Z)
4
答案 C
9π 9π
解析 与角 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ (k∈Z)或 k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与
4 4
弧度制不能混用，所以只有答案 C正确．
2 3π．若扇形的面积为 、半径为 1，则扇形的圆心角为( )
8
A.3π B.3π C.3π D.3π
2 4 8 16
答案 B
解析 设扇形的圆心角为α，
3π
∵扇形的面积为 、半径为 1，
8
3π 1
∴ ＝ α·12 3π，∴α＝ .
8 2 4
3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时转过的角度是 60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D α．若α是第二象限角，则 是第一或第三象限角
2
答案 BD
解析 对于 A，时钟经过两个小时转过的角度是－60°，故错误；
对于 B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于 C，若三角形的内角为 90°，则是终边在 y轴正半轴上的角，故错误；
对于 D，∵角α的终边在第二象限，
2kπ π∴ ＋ <α<2kπ＋π，k∈Z，
2
∴kπ π＋ < α4 2 2
当 k＝2n，n∈Z 2nπ π< α<2nπ π α时， ＋ ＋ ，n∈Z，得 是第一象限角；
4 2 2 2
当 k＝2n＋1，n π∈Z 时，(2n＋1)π＋ < α<(2n 1)π π α＋ ＋ ，n∈Z，得 是第三象限角，故正确．
4 2 2 2
4．在 0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案 120°，300°
解析 根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当 k
＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在 0°～360°范围内的角为 120°.
5．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．
答案 {α|n·180°＋30°<α解析 方法一 (并集法)
在 0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为 30°<α<150°和 210°<α<330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°<α{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，
k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α方法二 (旋转法)
观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转 180°，恰好与
另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α6．已知半径为 10的圆 O中，弦 AB的长为 10.
(1)求弦 AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长 l及弧所在的弓形的面积 S.
解 (1)由⊙O的半径 r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60° π＝ .
3
(2)由(1) α π可知 ＝ ，r＝10，
3
∴弧长 l＝α·r π 10π＝ ×10＝ ，
3 3
1
∴S 扇形＝ lr
1 10π 10 50π＝ × × ＝ ，
2 2 3 3
S 1·AB· 3AB 1而 △AOB＝ ＝ ×10×5 3＝25 3，2 2 2
2π
－ 3
∴S 弓形＝S 扇形－S△AOB＝25 3 .
【课后作业】
1．给出下列四个命题：
3π 4π
①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
4 3
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
3π
解析 ①中－ 是第三象限角，从而①错．
4
4π π π 4π②中 ＝ ＋ ，则 是第三象限角，从而②正确．
3 3 3
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案 C
3．(多选)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，下列选项可能正确的有( )
A．圆的半径为 2 B．圆的半径为 1
C．圆心角的弧度数是 1 D．圆心角的弧度数是 2
答案 ABC
解析 设扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为α，
2r＋αr＝6，
r＝1， r＝2，
则由题意得 1αr2 2 解得 或＝ ，
2 α＝4 α＝1，
可得圆心角的弧度数是 4或 1.
4．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案 2
解析 设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，所以正方形边长为 2r，所以圆心
2r
角的弧度数是 ＝ 2.
r
5 k ．设集合 M＝{ | ,k Z}，N＝{α|－π<α<π}，则 M∩N＝____________.
2 3
5π π π 2π
－ ，－ ， ，
答案 6 3 6 3
解析 由－π2 3 3 3
5π π π 2π
－ ，－ ， ，
因为 k∈Z，所以 k＝－1,0,1,2，所以 M∩N＝ 6 3 6 3 .
6．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．

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