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第十四讲 三角函数定义与同角三角函数基本关系
【考试要求】
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2. sin α理解同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α.
cos α
【知识梳理】
1．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边 OP与单位圆相交于点 P(x，y)，
点 P的纵坐标 y叫做α的正弦函数，记作 sin α，即 sin α＝y；点 P的横坐标 x叫做α的余弦函
cos α cos α x P y数，记作 ，即 ＝ ；把点 的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作 tan α，即
x
tan α y＝ (x≠0)．
x
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2) sin α 商数关系： ＝tan α ( k ,k Z) .
cos α 2
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
(2)终边落在 y轴上的角的正切函数值为 0.( × )
(3)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × )
(4) α R tan α sin α若 ∈ ，则 ＝ 恒成立．( × )
cos α
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则 cos α等于( )
A.4 B.3 C 3 4．－ D．－
5 5 5 5
答案 D
3．sin(－315°)的值是( )
A 2．－ B 1 2 1．－ C. D.
2 2 2 2
答案 C
2
解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝ .
2
4．若 sin θ·cos θ>0，则θ在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
答案 B
解析 因为 sin θ·cos θ>0，
所以 sin θ<0，cos θ<0或 sin θ>0，cos θ>0，
所以θ在第一象限或第三象限．
5 5 π．若 sin α＝ ， <α<π，则 tan α等于( )
5 2
A．－2 B．2 C.1 D 1．－
2 2
答案 D
π
解析 ∵ <α<π 2 5，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ ，
2 5
∴tan α sin α 1＝ ＝－ .
cos α 2
6 tan α 2 3sin α－cos α．已知 ＝ ，则 等于( )
sin α＋2cos α
A.5 B 5 C.5 D 5．－ ．－
4 4 3 3
答案 A
3tan α－1 3×2－1 5
解析 原式＝ ＝ ＝ .
tan α＋2 2＋2 4
【典型例题】
题型一 三角函数定义
3
1．已知角α的终边与单位圆的交点为 P ( , y) (y<0)，则 tan α＝ .
5
4
答案 －
3
3
，y
解析 因为点 P 5 (y<0) 9在单位圆上，则 ＋y2＝1，
25
y 4 4所以 ＝－ ，所以 tan α＝－ .
5 3
2．已知角α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值．
解 设射线 y＝2x(x≥0)上任一点 P(x0，y0)，
则|OP|＝r＝ x20＋y20，
∵y0＝2x0，∴r＝ 5x0，
sin α y0 2 5∴ ＝ ＝ ，cos α x＝ 0 5＝ .
r 5 r 5
延伸探究
3
，y
1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P 5 (y<0)”改为“α的终边经过点P(－
3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值．
解 由已知可得|OP|＝ －3 2＋ －4 2＝5.
如图所示，设角α的终边与单位圆交于点 P0(x，y)．
分别过点 P，P0作 x轴的垂线 PM，P0M0，
则|MP|＝4，|M0P0|＝－y，
|OM|＝3，|OM0|＝－x，
△OMP∽△OM0P0，
y |M P | －|MP| 4
于是，sin α＝y＝ ＝－ 0 0＝ ＝－ ；
1 |OP0| |OP| 5
cos α x x |OM0| －|OM| 3＝ ＝ ＝－ ＝ ＝－ ；
1 |OP0| |OP| 5
tan α y sin α 4＝ ＝ ＝ .
x cos α 3
2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线 y＝2x
上”，其结论又如何呢？
解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a
sin α y 2a 2 5 cos α x a 5所以 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ .
r 5a 5 r 5a 5
(2)若α的终边在第三象限内，
设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，
因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝－ 5a(a<0)，
所以 sin α y 2a 2 5＝ ＝ ＝－ ，cos α x a 5＝ ＝ ＝－ .
r － 5a 5 r － 5a 5
反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则
sin α b对应角的正弦值 ＝ ，余弦值 cos α a b＝ ，正切值 tan α＝ .
a2＋b2 a2＋b2 a
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
练习 1
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，若 A(－1，y)是角θ终边上的一点，
且 sin θ 3 10＝－ ，则 y＝________.
10
答案 －3
解析 因为 sin θ 3 10＝－ <0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以 y<0，
10
y 3 10
由三角函数的定义，得 ＝－ .
y2＋1 10
解得 y＝－3.
4．已知角α的终边过点 P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝ .
答案 1或－1
解析 因为 r＝ －3a 2＋ 4a 2＝5|a|，
①若 a>0，则 r＝5a，角α在第二象限．
sin α y 4a 4＝ ＝ ＝ ，cos α x －3a 3＝ ＝ ＝－ ，
r 5a 5 r 5a 5
2sin α cos α 8 3所以 ＋ ＝ － ＝1.
5 5
②若 a<0，则 r＝－5a，角α在第四象限，
sin α 4a 4 cos α －3a 3＝ ＝－ ， ＝ ＝ .
－5a 5 －5a 5
2sin α cos α 8 3所以 ＋ ＝－ ＋ ＝－1.
5 5
题型二 已知一个三角函数值求另两个三角函数值
5．(1)已知 cos α 8＝－ ，求 sin α，tan α的值．
17
解 ∵cos α 8＝－ <0，
17
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
8
sin α＝ 1－cos2
－
α＝ 1－ 17 2 15＝ ，
17
15
tan α sin α＝ ＝ 17 15＝－ .
cos α 8 8
－
17
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－ 1－cos2α 15 15＝－ ，tan α＝ .
17 8
(2)已知α∈ ( , 3 )，tan α＝2，则 cos α＝ .
2
5
答案 －
5
sin α
＝2，①
解析 由已知得 cos α
sin2α＋cos2α＝1，②
由①得 sin α＝2cos α代入②得 4cos2α＋cos2α＝1，
所以 cos2α 1＝ ，
5
π 3π，
又α∈ 2 ，所以 cos α<0，
所以 cos α 5＝－ .
5
(3) 7已知 sin θ＋cos θ＝ ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝ .
13
12
答案 －
5
sin θ
12
＝ ，
sin cos
7
13
解析 联立 13 解得 5
sin 2 cos2 1
cos θ＝－ ，
13
tan θ 12所以 ＝－ .
5
反思感悟 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知 sin α＝m，可以先应用公式 cos α＝± 1－sin2α，求得 cos α sin α的值，再由公式 tan α＝
cos α
求得 tan α的值．
(2)若已知 cos α m sin α＝ ，可以先应用公式 sin α＝± 1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式 tan α＝
cos α
求得 tan α的值．
(3)若已知 tan α m sin α＝ ，可以应用公式 tan α＝ ＝m sin α＝mcos α及 sin2α＋cos2α＝1，求得
cos α
1 m
cos α＝± ，sin α＝± 的值．
1＋m2 1＋m2
练习 2
6．(1) 1已知α是三角形的内角，且 tan α＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
10
答案 －
5
解析 由 tan α 1＝－ ，得 sin α 1＝－ cos α，
3 3
将其代入 sin2α＋cos2α＝1 10，得 cos2α＝1，
9
所以 cos2α 9＝ ，易知 cos α<0，
10
所以 cos α 3 10＝－ ，sin α 10＝ ，
10 10
故 sin α＋cos α 10＝－ .
5
cos α 2sin α
(2)若角α的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为 ．
1－sin2α 1－cos2α
答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限，
得 sin α<0，cos α<0，
cos α 2sin α cos α 2sin α
故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝－3.
|cos α| |sin α| －cos α －sin α
(3)已知 sin α＋3cos α＝0，求 sin α，cos α的值．
解 ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即 10cos2α＝1，
∴cos α ± 10＝ .
10
又由 sin α＝－3cos α，可知 sin α与 cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cos α 10 3 10＝－ ，sin α＝ ；
10 10
当角α的终边在第四象限时，
cos α 10＝ ，sin α 3 10＝－ .
10 10
题型三 和、差、积互求问题
7．已知 sin θ＋cos θ 1＝ ，θ∈(0，π)，
5
求：(1)sin θcos θtan θ；(2)sin θ－cos θ.
解 (1)因为θ∈(0，π)，所以 sin θ>0，
又 sin θ＋cos θ 1＝ ，两边平方，
5
整理得 sin θcos θ 12＝－ <0，
25
(2)所以 cos θ<0.
(sin θ cos θ)2 1 2sin θcos θ 1 24 49又 － ＝ － ＝ ＋ ＝ ，
25 25
∴sin θ－cos θ 7＝ .
5
反思感悟 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他
两个，即“知一求二”．
(2)求 sin θ＋cos θ或 sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
练习 3
8．若 sin θ－cos θ 1＝ 2，则 tan θ＋ ＝ .
tan θ
答案 －2
解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
∴sin θcos θ 1＝－ .
2
tan θ 1 sin θ cos θ 1∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－2.
tan θ cos θ sin θ sin θcos θ

9．已知 sin θ＋cos θ 4＝ ，θ∈ (0, )，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3 4
2
答案 －
3
解析 ∵sin θ＋cos θ 4＝ ，∴sin θcos θ 7＝ .
3 18
0 π，
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ 2＝ ，θ∈ 4 ，
9
∴sin θ－cos θ 2＝－ .
3
题型四 化切求值
10．已知 tan α＝3，求下列各式的值：
(1) 4sin α－cos α；
3sin α＋5cos α
2 2
(2)sin α－2sin α·cos α－cos α；
4cos2α－3sin2α
(1) 4tan α－1 4×3－1 11解 原式＝ ＝ ＝ .
3tan α＋5 3×3＋5 14
(2) tan
2α－2tan α－1 32－2×3－1 2
原式＝ ＝ ＝－ .
4－3tan2α 4－3×32 23
[ ] (1) tan α m asin α＋bcos α asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α素养提升 已知 ＝ ，可以求 或 的值，将
csin α＋dcos α dsin2α＋esin αcos α＋fcos2α
分子分母同除以 cos α或 cos2α，化成关于 tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于 asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是 1，利用 1＝sin2α＋cos2α进行代替
后分子分母同时除以 cos2α，得到关于 tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
练习 4
11 tan α 1 2sin αcos α．已知 ＝－ ，则 ＝ .
2 sin2α－cos2α
4
答案
3
1
解析 因为 tan α＝－ ，
2
1
－
2sin αcos α 2tan α 2× 2 4
所以 ＝ ＝ ＝ .
sin2α－cos2α tan2α－1 1－ 2 32 －1
【课堂小测】
1．若 cos α 3＝－ ，且角α的终边经过点 P(x,2)，则 P点的横坐标 x是( )
2
A．2 3 B．±2 3 C．－2 2 D．－2 3
答案 D
3
解析 因为 cos α＝－ <0，所以 x<0，
2
x2 22 x 3又 r＝ ＋ ，由题意得 ＝－ ，
x2＋22 2
所以 x＝－2 3.故选 D.
2 8．已知α是第四象限角，tan α＝－ ，则 sin α等于( )
15
A.15 B 15 C. 8 D 8．－ ．－
17 17 17 17
答案 D
8 sin α 8
解析 因为 tan α＝－ ，所以 ＝－ ，
15 cos α 15
所以 cos α 15＝－ sin α，
8
代入 sin2α＋cos2α＝1，得 sin2α 64＝ ，
289
又α 8是第四象限角，所以 sin α＝－ .
17
3 1．已知 sin α＋cos α＝－ 2，则 tan α＋ 等于( )
tan α
A 2 B.1 C 1． ．－2 D．－
2 2
答案 A
解析 由已知得 1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α 1＝ ，
2
∴tan α 1 sin α cos α＋ ＝ ＋
tan α cos α sin α
sin2α＋cos2α 1
＝ ＝ ＝2.
sin αcos α 1
2
4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，则实数 a的取值范围是 ．
考点 三角函数值在各象限的符号
题点 三角函数值在各象限的符号
答案 (－2,3]
解析 由 cos α≤0，sin α>0 可知，角α的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上，所以
3a－9≤0，
解得－2a＋2>0，
5．已知 sin θ＋cos θ 4 ＝ ，θ∈ (0, )，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3 4
2
答案 －
3
解析 ∵sin θ＋cos θ 4 7＝ ，∴sin θcos θ＝ .
3 18
0 π，
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ 2＝ ，θ∈ 4 ，
9
∴sin θ 2－cos θ＝－ .
3
6 2．已知 tan α＝ ，求下列各式的值：
3
(1)cos α－sin α cos α＋sin α＋ ；
cos α＋sin α cos α－sin α
(2) 1 .
sin αcos α
cos α－sin α cos α＋sin α 1－tan α 1＋tan α
解 (1) ＋ ＝ ＋
cos α＋sin α cos α－sin α 1＋tan α 1－tan α
1 2 2－ 1＋
26
＝ 3＋ 3＝ .
2 51＋ 1 2－
3 3
2 2
(2) 1 sin α＋cos α tan
2α＋1 13
＝ ＝ ＝ .
sin αcos α sin αcos α tan α 6
【课后作业】
1 3．已知α∈(0，π)，cos α＝－ ，则 tan α等于( )
5
A.3 B 3．－ C.4 D 4．－
4 4 3 3
答案 D
解析 因为 cos α 3＝－ 且α∈(0，π)，
5
4
所以 sin α＝ 1－cos2α＝ ，
5
所以 tan α sin α 4＝ ＝－ .故选 D.
cos α 3
2．化简 sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A.1 B.1 C．1 D.3
4 2 2
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
3．已知 sin θ＋cos θ 4＝ (0 )，则 sin θ－cos θ等于( )
3 4
A. 2 B 2 1 1．－ C. D．－
3 3 3 3
答案 B
解析 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ 16＝ ，
9
得 2sin θcos θ 7＝ ，
9
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ 2＝ ，
9
0<θ<π由 ，知 sin θ－cos θ<0，
4
所以 sin θ－cos θ 2＝－ .
3
(1 , 34．已知角α的顶点为坐标原点，以 x轴的非负半轴为始边，它的终边过点 )，则 sin α
2 2
＝ ，cos α＝ .
3 1
答案 －
2 2
1 3
－ 1 3
解析 由三角函数的定义得 r＝ 2 2＋ 2 2＝ ＋ ＝1，
4 4
sin α y 3 cos α 1则 ＝ ＝－ ， ＝ .
r 2 2
5．已知α是三角形的内角，且 tan α 1＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
10
答案 －
5
解析 由 tan α 1＝－ ，得 sin α 1＝－ cos α，
3 3
将其代入 sin2α cos2α 1 10＋ ＝ ，得 cos2α＝1，
9
cos2α 9所以 ＝ ，易知 cos α<0，
10
3 10 10
所以 cos α＝－ ，sin α＝ ，
10 10
故 sin α＋cos α 10＝－ .
5
6．已知 tan α＝2，则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ .
答案 1
2
4sin2α 3sin αcos α 5cos2α 4sin α－3sin αcos α－5cos
2α
解析 － － ＝
sin2α＋cos2α
4tan2α－3tan α－5 4×4－3×2－5 5
＝ ＝ ＝ ＝1.
tan2α＋1 4＋1 5第十四讲 三角函数定义与同角三角函数基本关系
【知识梳理】
1．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边 OP与单位圆相交于点 P(x，y)，
点 P的 叫做α的正弦函数，记作 sin α，即 sin α＝ ；
点 P的 叫做α的余弦函数，记作 cos α，即 cos α＝ ；
点 P的 叫做α的正切函数，记作 tan α，即 tan α＝ ．
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀： ．
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(2)终边落在 y轴上的角的正切函数值为 0.( )
(3)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
(4)若α∈R，则 tan α sin α＝ 恒成立．( )
cos α
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则 cos α等于( )
A.4 B.3 C 3．－ D 4．－
5 5 5 5
3．sin(－315°)的值是( )
A 2．－ B 1 C. 2 D.1．－
2 2 2 2
4．若 sin θ cos θ>0，则θ在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
5 sin α 5 π．若 ＝ ， <α<π，则 tan α等于( )
5 2
A．－2 B 2 C.1 1． D．－
2 2
6 tan α 2 3sin α－cos α．已知 ＝ ，则 等于( )
sin α＋2cos α
A.5 B 5 5 5．－ C. D．－
4 4 3 3
【典型例题】
题型一 三角函数定义
1．已知角α 3的终边与单位圆的交点为 P ( , y) (y<0)，则 tan α＝ .
5
2．已知角α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值．
练习 1
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，若 A(－1，y)是角θ终边上的一点，
且 sin θ 3 10＝－ ，则 y＝________.
10
4．已知角α的终边过点 P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝ .
题型二 已知一个三角函数值求另两个三角函数值
5 8．(1)已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值．
17
(2) 3 已知α∈ ( , )，tan α＝2，则 cos α＝ .
2
(3)已知 sin θ＋cos θ 7＝ ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝ .
13
练习 2
6 1．(1)已知α是三角形的内角，且 tan α＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
(2) cos α 2sin α若角α的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为 ．
1－sin2α 1－cos2α
(3)已知 sin α＋3cos α＝0，求 sin α，cos α的值．
题型三 和、差、积互求问题
7 1．已知 sin θ＋cos θ＝ ，θ∈(0，π)，求：(1)sin θcos θtan θ；(2)sin θ－cos θ.
5
练习 3
8．若 sin θ－cos θ＝ 2，则 tan θ 1＋ ＝ .
tan θ
9．已知 sin θ 4＋cos θ＝ ，θ∈ (0, )，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3 4
题型四 化切求值
10．已知 tan α＝3，求下列各式的值：
(1) 4sin α－cos α sin
2
(2) α－2sin α cos α－cos
2α
； ；
3sin α＋5cos α 4cos2α－3sin2α
练习 4
11 tan α 1 2sin αcos α．已知 ＝－ ，则 ＝ .
2 sin2α－cos2α
【课堂小测】
1．若 cos α 3＝－ ，且角α的终边经过点 P(x,2)，则 P点的横坐标 x是( )
2
A．2 3 B．±2 3 C．－2 2 D．－2 3
2 8．已知α是第四象限角，tan α＝－ ，则 sin α等于( )
15
A.15 B 15．－ C. 8 D 8．－
17 17 17 17
3．已知 sin α＋cos α＝－ 2，则 tan α 1＋ 等于( )
tan α
A．2 B.1 C．－2 D 1．－
2 2
4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，则实数 a的取值范围是 ．
5．已知 sin θ＋cos θ 4＝ ，θ∈ (0, )，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3 4
6 2．已知 tan α＝ ，求下列各式的值：
3
(1)cos α－sin α cos α＋sin α＋ ；
cos α＋sin α cos α－sin α
(2) 1 .
sin αcos α
【课后作业】
1．已知α∈(0，π)，cos α 3＝－ ，则 tan α等于( )
5
A.3 B 3．－ C.4 D 4．－
4 4 3 3
2．化简 sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A.1 B.1 C．1 D.3
4 2 2
3．已知 sin θ cos θ 4＋ ＝ (0 )，则 sin θ－cos θ等于( )
3 4
A. 2 B 2 1 1．－ C. D．－
3 3 3 3
4 1 3．已知角α的顶点为坐标原点，以 x轴的非负半轴为始边，它的终边过点 ( , )，则 sin α
2 2
＝ ，cos α＝ .
5 1．已知α是三角形的内角，且 tan α＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
6．已知 tan α＝2，则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ .

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