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第十七讲 和差角公式
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式 T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
【基础自测】
1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝ .
2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝ .
3．若 cos α 4＝－ ，α是第三象限角，则 sin ( )等于( )
5 4
A 2 B. 2 C 7 2．－ ．－ D.7 2
10 10 10 10
4 tan α 3 tan β 4．若 ＝ ， ＝ ，则 tan(α－β)＝________.
3
5．已知 tan α＝2，则 tan ( )＝________.
4
6 tan 75°－tan 15°． ＝________.
1＋tan 75°tan 15°
【典型例题】
题型一 给角求值
1．计算下列各式的值．
(1)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (2)1cos 105° 3＋ sin 105°.
2 2
(3)sin 47°－sin 17°cos 30°. (4)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
cos 17°
练习 1
2．计算下列各式的值．
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)1－tan 15°； (4)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.
1＋tan 15°
题型二 给值求值
3．已知α，β∈ (0, )，且 sin α 4＝ ，cos(α＋β) 16＝－ ，求 cos β的值．
2 5 65
4．已知 sin(α β) 1 sin(α β) 1 tan α＋ ＝ ， － ＝ ，求 的值．
2 3 tan β
练习 2
5 cos α 3 α (3 ．已知 ＝ ， ∈ ,2 ) ，则 cos( )＝ .
5 2 3
6．α，β为锐角，cos(α＋β) 12＝ ，cos(2α 3＋β)＝ ，求 cos α的值．
13 5
题型三 给值求角
7．已知 cos α 1 5 3 π π＝ ，sin(α＋β)＝ ，0<α< ，0<β< ，求角β的值．
7 14 2 2
8．已知 tan(α β) 1 tan β 1－ ＝ ， ＝－ ，α，β∈(0，π)，求 2α－β的值．
2 7
练习 3
9．已知 cos α 1＝ ，cos(α－β) 13 π＝ ，且 0<β<α< ，求β的值．
7 14 2
10 tan α 1 tan β 2 0<α<π．已知 ＝ ， ＝－ ，且 <β<π，
3 2
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
【课堂小测】
1．cos 165°等于( )
A.1 B. 3 C 6＋ 2 D 6－ 2．－ ．－
2 2 4 4
2．已知 sin ( ) 3 α ( 5 ＝ ， ∈ , )，则 sin α等于( )
4 5 2 4
A.7 2 B 2 C ± 2 D 2 7 2．－ ． ．－ 或
10 10 10 10 10
3．已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
4．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
5．已知 tan α 1＝－2，tan(α＋β)＝ ，则 tan β的值为________．
7
6．已知α 2 5 10，β均为锐角，且 cos α＝ ，cos β＝ ，求α－β的值．
5 10
【课后作业】
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( )
A.1 B. 3 C. 2 D. 3
2 3 2 2
2 3．已知 sin α－sin β＝1－ ，cos α cos β 1－ ＝ ，则 cos(α－β)的值为( )
2 2
A.1 B. 3 C. 3 D．1
2 2 4
3．已知α ，β∈ ( , )，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，则 tan(α＋β)等于( )
2 2
A.4 B．－2 1或 C.1 D．－2
3 2 2
4．已知 tan θ＝2，则 tan ( )＝ .
4
5 1 1．已知 sin α－cos β＝ ，cos α－sin β＝ ，则 sin(α＋β)＝ .
2 3
6．已知α，β 3 1均为锐角，且 sin α＝ ，tan(α－β)＝－ .
5 3
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．第十七讲 和差角公式
【考试要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、
正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式
不要求记忆)．
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5) T tan(α β) tan α－tan β公式 (α－β)： － ＝ ；
1＋tan αtan β
(6) T tan(α β) tan α＋tan β公式 (α＋β)： ＋ ＝ .
1－tan αtan β
【基础自测】
1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝ .
1
答案
2
解析 原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60° 1＝ .
2
2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝ .
1
答案
2

3．若 cos α 4＝－ ，α是第三象限角，则 sin ( )等于( )
5 4
A 2 B. 2 C 7 2．－ ．－ D.7 2
10 10 10 10
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－ 1－cos2α 3＝－ ，
5
4 tan α 3 tan β 4．若 ＝ ， ＝ ，则 tan(α－β)＝________.
3
1
答案
3
4
tan(α β) tan α－tan β
3－
1
解析 － ＝ ＝ 3 ＝ .
1＋tan αtan β 4 31＋3×
3
5．已知 tan α＝2，则 tan ( )＝________.
4
答案 －3
α π tan α＋tan
π
＋ 2＋1
解析 tan 4 ＝ 4＝ ＝－3.
1 tan αtan π 1－2×1－
4
6 tan 75°－tan 15°． ＝________.
1＋tan 75°tan 15°
答案 3
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.
【典型例题】
题型一 给角求值
1．计算下列各式的值．
(1)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(2)1cos 105° 3＋ sin 105°.
2 2
(3)sin 47°－sin 17°cos 30°.
cos 17°
(4)tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
解 (1)原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60° 1＝－ .
2
(2)1cos 105° 3＋ sin 105°
2 2
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°) 2＝ .
2
(3)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
sin 17°＋30° －sin 17°cos 30°
＝
cos 17°
sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°
＝
cos 17°
cos 17°sin 30° 1
＝ ＝sin 30°＝ .
cos 17° 2
(4)∵tan 60° tan 23°＋tan 37°＝ 3＝ ，
1－tan 23°tan 37°
∴tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
练习 1
2．计算下列各式的值．
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)1－tan 15°；
1＋tan 15°
(4)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.
解 (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45° 2＝ .
2
(2)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30° 1＝ .
2
(3)1－tan 15° tan 45°－tan 15° 3＝ ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ .
1＋tan 15° 1＋tan 15°tan 45° 3
(4)由 tan(α＋β) tan α＋tan β＝ 的变形
1－tan αtan β
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，
所以 tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.
题型二 给值求值

3．已知α，β∈ (0, )，且 sin α 4＝ ，cos(α 16＋β)＝－ ，求 cos β的值．
2 5 65
0 π，
解 因为α，β∈ 2 ，
所以 0<α＋β<π，
cos(α β) 16由 ＋ ＝－ ，
65
sin(α β) 63得 ＋ ＝ ，
65
4
又 sin α＝ ，
5
所以 cos α 3＝ ，
5
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
16
－
65 3 63 4 204＝ × ＋ × ＝ .
5 65 5 325
延伸探究
0 π π， ，π
若把本例中的“α，β∈ 2 ”改为“α，β∈ 2 ”，求 cos β的值．
π
，π
解 因为α，β∈ 2 ，
所以π<α＋β<2π，
由 cos(α＋β) 16＝－ ，
65
63
得 sin(α＋β)＝－ ，
65
4
又 sin α＝ ，
5
cos α 3所以 ＝－ ，
5
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
16 3 63
－ － －
65 5 65 4 204＝ × ＋ × ＝－ .
5 325
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式
中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常
见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
α＋β α－β
②α＝ ＋ ；
2 2
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
4 sin(α β) 1 sin(α β) 1 tan α．已知 ＋ ＝ ， － ＝ ，求 的值．
2 3 tan β
解 ∵sin(α＋β) 1＝ ，∴sin αcos β＋cos αsin β 1＝ .①
2 2
∵sin(α－β) 1＝ ，∴sin αcos β cos αsin β 1－ ＝ .②
3 3
5 1
由①，②解得 sin αcos β＝ ，cos αsin β＝ ，
12 12
5
tan α sin αcos β
∴ ＝ ＝12＝5.
tan β cos αsin β 1
12
练习 2
3
5 3．已知 cos α＝ ，α∈ ( ,2 )，则 cos( )＝ .
5 2 3
3－4 3
答案
10
3
cos α 3
π，2π
解析 因为 ＝ ，α∈ 2 ，
5
sin α 4所以 ＝－ ，
5
α π 4－
cos 3 cos αcos π sin αsin π 3 1
－
5 3 3－4 3所以 ＝ ＋ ＝ × ＋ × ＝
3 3 5 2 2 10
6．α，β为锐角，cos(α 12 3＋β)＝ ，cos(2α＋β)＝ ，求 cos α的值．
13 5
解 因为α，β为锐角，所以 0<α＋β<π.
又因为 cos(α 12＋β)＝ ，
13
所以 0<α＋β<π，所以 0<2α＋β<π.
2
又因为 cos(2α＋β) 3＝ ，
5
所以 0<2α＋β<π，
2
所以 sin(α β) 5 sin(2α 4＋ ＝ ， ＋β)＝ ，
13 5
所以 cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
3 12 4 5 56
＝ × ＋ × ＝ .
5 13 5 13 65
题型三 给值求角
7 cos α 1 sin(α β) 5 3．已知 ＝ ， ＋ ＝ ，0<α<π π，0<β< ，求角β的值．
7 14 2 2
π
解 因为 0<α< ，cos α 1＝ ，
2 7
4 3
所以 sin α＝ .
7
又因为 0<β<π，
2
所以 0<α＋β<π.
因为 sin(α＋β) 5 3＝ 14
所以 cos(α＋β) 11＝－ ，
14
所以 sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
11
5 3 1 －
＝ × － 14 4 3 3× ＝ .
14 7 7 2
又因为 0<β<π π，所以β＝ .
2 3
延伸探究
若把本例中的“0<β<π π”改为“ <β<π”，求角β的值．
2 2
π 1
解 因为 0<α< ，cos α＝ ，
2 7
所以 sin α 4 3＝ .
7
π
又因为 <β<π，
2
π
所以 <α＋β<3π.
2 2
因为 sin(α 5 3＋β)＝ ，
14
11
所以 cos(α＋β)＝－ ，
14
所以 sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
11
5 3 1 －14 4 3 3＝ × － × ＝ .
14 7 7 2
π
又因为 <β<π 2π，所以β＝ .
2 3
反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角
π 3π
，
的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是 2 2
π π
－ ，
或 2 2 时，选取求正弦值．
8 1 1．已知 tan(α－β)＝ ，tan β＝－ ，α，β∈(0，π)，求 2α－β的值．
2 7
tan β 1解 ∵ ＝－ ，tan(α 1－β)＝ ，
7 2
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
tan α－β ＋tan β
＝
1－tan α－β tan β
1 1
－
2 7 1
＝ 1 ＝ ，
1 － 31－ × 7
2
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
tan α－β ＋tan α
＝
1－tan α－β tan α
1 1
＋
＝ 2 3 ＝1.
1 1 1－ ×
3 2
∵tan α 1＝ >0，tan β 1＝－ <0，
3 7
0 π π， ，π
∴α∈ 2 ，β∈ 2 ，∴α－β∈(－π，0)．
又∵tan(α β) 1－ ＝ >0，
2
－π π，－
∴α－β∈ 2 ，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而 tan(2α－β)＝1，∴2α－β 3＝－ π.
4
反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式
求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
练习 3
9．已知 cos α 1＝ ，cos(α－β) 13＝ ，且 0<β<α<π，求β的值．
7 14 2
解 由 cos α 1 π＝ ，0<α< ，得
7 2
1
sin α 1 cos2α 1 7 2 4 3＝ － ＝ － ＝ .
7
由 0<β<α<π，得 0<α－β<π.
2 2
又∵cos(α－β) 13＝ ，
14
13
∴sin(α－β)＝ 1－cos2 α－β ＝ 1－ 14 2 3 3＝ .
14
∵β＝α－(α－β)
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
1 13 4 3 3 3 1
＝ × ＋ × ＝ .
7 14 7 14 2
∵0<β<π β π，∴ ＝ .
2 3
10 1 π．已知 tan α＝ ，tan β＝－2，且 0<α< <β<π，
3 2
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
1
(1)tan(α β) tan α－tan β
－ －2
解 － ＝ ＝ 3 ＝7.
1＋tan α·tan β 1 1＋ × －2
3
1
(2) tan α＋tan β
＋ －2
∵tan(α＋β)＝ ＝ 3 ＝－1，
1－tan α·tan β 1 1－ × －2
3
0<α<π π又 ， <β<π，
2 2
π<α β<3∴ ＋ π，
2 2
∴α β 3＋ ＝ π.
4
【课堂小测】
1．cos 165°等于( )
A.1 B. 3 C 6＋ 2 D 6－ 2．－ ．－
2 2 4 4
答案 C
解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) 6＋ 2＝－ .故选 C.
4
2 sin ( ) 3 α ( , 5 ．已知 ＝ ， ∈ )，则 sin α等于( )
4 5 2 4
A.7 2 B 2 2 2 7 2．－ C．± D．－ 或
10 10 10 10 10
答案 B
π 5π π
， π ，π
解析 因为α∈ 2 4 ，所以α－ ∈ 4 ，
4
α π 1 2－ ，
又 sin 4 3＝ ∈ 2 2 ，
5
3π 5π
π ，
所以α－ ∈ 4 6 ，
4
α π－ 4
所以 cos 4 ＝－ ，
5
α π－ π
4 π＋ α－ π α
π
－ π 3 2 4 2 2
所以 sin α＝sin 4 ＝sin 4 cos ＋cos 4 sin ＝ × － × ＝－ .4 4 5 2 5 2 10
3．已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
答案 B
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
4．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
5．已知 tan α 2 tan(α β) 1＝－ ， ＋ ＝ ，则 tan β的值为________．
7
答案 3
tan β tan[(α β) α] tan α＋β －tan α解析 ＝ ＋ － ＝
1＋tan α＋β tan α
1
－ －2
＝ 7 ＝3.
1 1＋ × －2
7
6 α β cos α 2 5 cos β 10．已知 ， 均为锐角，且 ＝ ， ＝ ，求α－β的值．
5 10
解 ∵α，β均为锐角，
∴sin α 5＝ ，sin β 3 10＝ .
5 10
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 2 5 10 5 3 10 2＝ × ＋ × ＝ .
5 10 5 10 2
又 sin α2
π
∴－ <α－β<0.
2
故α－β π＝－ .
4
【课后作业】
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( )
A.1 B. 3 C. 2 D. 3
2 3 2 2
答案 A
解析 －sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°·(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－
17°)＝sin 30° 1＝ .
2
2 3 1．已知 sin α－sin β＝1－ ，cos α－cos β＝ ，则 cos(α－β)的值为( )
2 2
A.1 B. 3 C. 3 D．1
2 2 4
答案 B
3
解析 因为 sin α－sin β＝1－ ，
2
所以 sin2α－2sin αsin β＋sin2β 7＝ － 3.①
4
又因为 cos α 1－cos β＝ ，
2
所以 cos2α－2cos αcos β＋cos2β 1＝ .②
4
所以①＋②得 2cos(α－β)＝ 3，
所以 cos(α 3－β)＝ ，故选 B.
2

3．已知α，β∈ ( , )，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，则 tan(α＋β)等于( )
2 2
A.4 B 1．－2或 C.1 D．－2
3 2 2
答案 A
π π
－ ，
解析 因为α，β∈ 2 2 ，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，所以 tan α＋tan β＝
－12，tan α·tan β＝10，所以 tan(α β) tan α＋tan β －12 4＋ ＝ ＝ ＝ .故选 A.
1－tan αtan β 1－10 3
4．已知 tan θ＝2，则 tan ( )＝ .
4
1
答案
3
解析 ∵tan θ＝2，
π
θ π tan θ－tan－
tan 4 tan θ－1 2－1 1∴ 4 ＝ ＝ ＝ ＝ .
1 tan θtan π 1＋tan θ 1＋2
3
＋
4
5 1 1．已知 sin α－cos β＝ ，cos α－sin β＝ ，则 sin(α＋β)＝ .
2 3
59
答案
72
解析 由 sin α－cos β 1＝ 两边平方得
2
sin2α－2sin αcos β＋cos2β 1＝ ，①
4
由 cos α 1－sin β＝ 两边平方得
3
cos2α－2cos αsin β sin2β 1＋ ＝ ，②
9
①＋②得(sin2α＋cos2α)－2(sin αcos β＋cos αsin β)＋(cos2β＋sin2β) 1 1＝ ＋ ，
4 9
∴1－2sin(α＋β)＋1 13＝ .
36
∴sin(α＋β) 59＝ .
72
6 3 1．已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ，tan(α－β)＝－ .
5 3
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
0 π，
(1) α β 2 π π解 ∵ ， ∈ ，∴－ ＜α－β＜ .
2 2
又∵tan(α－β) 1＝－ ＜0，
3
π
∴－ ＜α－β＜0.
2
∴sin(α－β) 10＝－ .
10
(2)由(1)可得，cos(α－β) 3 10＝ .
10
∵α为锐角，且 sin α 3＝ ，∴cos α 4＝ .
5 5
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
10
4 3 10 3 － 9 10
＝ × ＋ × 10 ＝ .
5 10 5 50

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