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第十八讲 简单的三角恒等变换
【知识梳理】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝ .
(2)公式 C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式 T2α：tan 2α＝ .
2．常用三角公式
(1)sin2α＝ ，cos2α＝ (降幂公式)
(2)asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .(辅助角公式)
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 cos α 1＝ ，且α∈(0，π) α 6，则 cos ＝ .( )
3 2 3
(2)若α为第四象限角，则 sin 2α>0.( )
(3) α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.( )
(4) 对任意α都有 sin α＋ 3cos α＝2sin ( ) .( )
3
2．已知 sin α 3＝ ，cos α 4＝ ，则 sin 2α＝________.
5 5
3 1．已知 cos α＝ ，则 cos 2α＝________.
3
4．cos245°－sin245°＝________.
5．已知 tan α 4＝ ，则 tan 2α＝________.
3
6．若 tan α 1＝ ，则 cos 2α等于( )
2
A 4 B 3 4 3．－ ．－ C. D.
5 5 5 5
1
【典型例题】
题型一 给角求值
1．求下列各式的值：
1 tan2π－
(1)2cos225π－1； (2) 8；
12 tan π
8
练习 1
2．求下列各式的值：
(1)sin πcos π (2)cos2π sin2π (3) 2tan 15°； － ； .
6 6 8 8 1－tan215°
题型二 给值求值
3．已知 sin2 ( ) 2＝ ，则 sin 2α的值是( )
4 3
A 1 B.1 C 2．－ ．－ D.2
3 3 3 3
4．已知 cos ( ) 3 π α<3π ＝ ， ≤ ，求 cos (2 )的值．
4 5 2 2 4
2
练习 2
5 sin ( x) 5 04 13 4 cos( x)
4
6．已知 cos ( ) 10 ＝ ，θ∈ (0, )，则 sin (2 )＝ .
4 10 2 3
题型三 三角恒等变换与三角函数的综合问题
7．已知函数 f(x)＝4cos ωx sin ( x ) (ω>0)的最小正周期为π.
4
(1)求ω的值；
(2) 讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性．
2
练习 3
8 ．已知函数 f(x)＝sin2x－sin2 (x )，x∈R.
6
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值．
3 4
3
【课堂小测】
1．sin 15°sin 75°的值为( )
A.1 B. 3 C.1 D. 3
2 2 4 4
2 4．已知α，β为锐角，tan α＝ ，则 cos 2α等于( )
3
A. 7 B 7 C.24 D 24．－ ．－
25 25 25 25
3 sin α＋cos α 1．若 ＝ ，则 tan 2α等于( )
sin α－cos α 2
A 3 B.3 C 4 4．－ ．－ D.
4 4 3 3
4 ．已知 tan ( )＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝________.
4
5 3．已知 sin ( x)＝ ，则 sin 2x的值等于________．
4 5
6 ．已知函数 f(x)＝ 3sin (2x )＋2sin2 (x ) (x∈R)．
6 12
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x的集合．
4
【课后作业】
1 sin α cos α 4．已知 － ＝ ，则 sin 2α等于( )
3
A 7 2 2 7．－ B．－ C. D.
9 9 9 9
1－cos210°
2．计算： 等于( )
cos 80° 1－cos 20°
A. 2 B.1 C. 3 D 2．－
2 2 2 2
3．(多选)已知函数 f(x)＝sin x sin (x ) 1－ ，则 f(x)的值不可能是( )
3 4
A 1．－ B.1 C．－2 D．2
2 2
4 ．若α∈ ( , )，sin α 3 10＝ ，则 tan 2α＝ .
2 10
5．已知 sin α＝cos 2α ，α∈ ( , )，则 tan α＝ .
2
6．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x 1＋ cos 4x.
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且 f ( ) 2＝ ，求 tan ( )的值．
4 8 2 3
5第十八讲 简单的三角恒等变换
【考试要求】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.
4.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的
应用．
【知识梳理】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式 C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式 T2α：tan 2α
2tan α
＝ .
1－tan2α
2．常用三角公式
(1)sin2α 1－cos 2α cos2α 1＋cos 2α＝ ， ＝ (降幂公式)
2 2
b a
(2)asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .(辅助角公式)
a2＋b2 a2＋b2
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 cos α 1＝ ，且α∈(0，π)，则 cos α 6＝ .( √ )
3 2 3
(2)若α为第四象限角，则 sin 2α>0.( × )
(3) α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.( × )
(4)对任意α都有 sin α＋ 3cos α＝2sin ( ) .( √ )
3
2．已知 sin α 3 4＝ ，cos α＝ ，则 sin 2α＝________.
5 5
24
答案
25
3．已知 cos α 1＝ ，则 cos 2α＝________.
3
7
答案 －
9
4．cos245°－sin245°＝________.
答案 0
5．已知 tan α 4＝ ，则 tan 2α＝________.
3
24
答案 －
7
6．若 tan α 1＝ ，则 cos 2α等于( )
2
A 4 3 4 3．－ B．－ C. D.
5 5 5 5
答案 D
解析 ∵tan α 1＝ ，
2
1
cos 2α cos
2α－sin2α 1－tan2α 1－ 3
∴ ＝ ＝ ＝ 4＝ .
cos2α＋sin2α 1＋tan2α 1 51＋
4
【典型例题】
题型一 给角求值
1．求下列各式的值：
1－tan2π
(1)2cos225π－1；(2) 8；
12
tan π
8
25π 4π
π
＋
解 (1)原式＝cos ＝cos 6 ＝cos π 3＝ .
6 6 2
1－tan2π
2 8 1 1
(2)原式＝ π ＝2× 2tan π ＝2× π＝2.2tan 8 tan8 4
1－tan2π
8
反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转
化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，
需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的
形式．
练习 1
2．求下列各式的值：
(1)sin πcos π；(2)cos2π－sin2π (3) 2tan 15°； .
6 6 8 8 1－tan215°
解 (1) 1 2sin πcos π 1sin π 3原式＝ × ＝ ＝ .
2 6 6 2 3 4
(2) π 2原式＝cos ＝ .
4 2
(3)原式＝tan 30° 3＝ .
3
题型二 给值求值

3．已知 sin2 ( ) 2＝ ，则 sin 2α的值是( )
4 3
A 1 B.1 C 2 2．－ ．－ D.
3 3 3 3
答案 B
π
解析 ∵sin2
＋α
4 2＝ ，
3
π
＋2α
1－cos 2 2
∴ ＝ ，
2 3
1＋sin 2α 2
即 ＝ ，
2 3
∴sin 2α 1＝ .
3
4 cos ( ) 3 π α<3π ．已知 ＝ ， ≤ ，求 cos (2 )的值．
4 5 2 2 4
π α<3π 3π α π<7π解 ∵ ≤ ，∴ ≤ ＋ .
2 2 4 4 4
α π＋
∵cos 4 >0 3π，∴ <α π<7π＋ .
2 4 4
α π π 3＋ α＋
∴sin 4 ＝－ 1－cos2 4 ＝－ 1－ 5 2 4＝－ .
5
2α π π π＋ α＋ α＋
∴cos 2α＝sin 2 ＝2sin 4 cos 4
4
－
＝2× 5 3 24× ＝－ ，
5 25
2α π π＋
sin 2α＝－cos 2 ＝1－2cos2
α＋
4
3
＝1－2× 5 2 7＝ .
25
2α π＋
∴cos 4 2＝ cos 2α 2－ sin 2α
2 2
24 7
2 － －
＝ × 25 25
2
31 2
＝－ .
50
延伸探究
cos 2α
1．若本例条件不变，求 π 的值．
＋α
sin 4
cos2α－sin2α α π＋
解 原式＝ π π ＝ 2(cos α－sin α)＝2cos 4
6
＝ .
sin cos α＋cos sin α 5
4 4
0 π x π π， － 3 2x＋2．若本例条件变为：若 x∈ 2 ，sin 6 ＝ ，求 sin 6 的值．
5
x π－ 3
解 由 sin 6 ＝ ，
5
得 sin xcos π－cos xsin π 3＝ ，
6 6 5
两边平方，
1sin2x 1 3得 ＋ － sin 2x 9＝ ，
2 4 4 25
1·1－cos 2x 1 3∴ ＋ － sin 2x 9＝ ，
2 2 4 4 25
即 sin 2x· 3＋cos 2x·1 7＝ ，
2 2 25
2x π＋
∴sin 6 7＝ .
25
反思感悟 解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
π
－2x π－x
①sin 2x＝cos 2 ＝cos 2 4
π π
＝2cos2
－x －x
4 －1＝1－2sin2 4 ；
π
－2x π－x
②cos 2x＝sin 2 ＝sin 2 4
π π
－x －x
＝2sin 4 cos 4 .
练习 2

5．已知 sin ( x) 5 04 13 4 cos( x)
4
π
＋2x π＋x π＋x
sin 2 2sin 4 cos 4 π＋x
解 原式＝ π ＝ π ＝2sin 4 .
＋x ＋x
cos 4 cos 4
π
－x π＋x
∵sin 4 ＝cos 4 5 π＝ ，且 013 4
π π
π ，
∴ ＋x∈ 4 2 ，
4
π
＋x π＋x
∴sin 4 ＝ 1－cos2 4 12＝ ，
13
∴原式＝2 12 24× ＝ .
13 13
6 cos ( ) 10．已知 ＝ ，θ∈ (0, ) ，则 sin (2 )＝ .
4 10 2 3
4－3 3
答案
10
θ π 2θ
π
＋ 2θ π＋ 1＋cos 2 1 ＋ 4
解析 由题意可得 cos2 4 ＝ ＝ ，cos 2 ＝－sin 2θ＝－ ，即 sin 2θ＝
2 10 5
4.
5
θ π π＋ 10 0，
因为 cos 4 ＝ >0，θ∈ 2 ，
10
π 0
π
，
所以 0<θ< ，2θ∈ 2 ，
4
3
根据同角三角函数基本关系式，可得 cos 2θ＝ ，
5
由两角差的正弦公式，可得
2θ π－
sin 3 sin 2θcos π＝ －cos 2θsin π
3 3
4 1 3 3 4－3 3
＝ × － × ＝ .
5 2 5 2 10
题型三 三角恒等变换与三角函数的综合问题
7．已知函数 f(x)＝4cos ωx·sin ( x ) (ω>0)的最小正周期为π.
4
(1)求ω的值；
(2)讨论 f(x) 在区间[0, ]上的单调性．
2
ωx π＋
解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin 4
＝2 2sin ωx·cos ωx＋2 2cos2ωx
＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2
2ωx π＋
＝2sin 4 ＋ 2.
因为 f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
2π
从而有 ＝π，故ω＝1.
2ω
2x π＋
(2)由(1)知，f(x)＝2sin 4 ＋ 2.
0 π π π 5π若 ≤x≤ ，则 ≤2x＋ ≤ .
2 4 4 4
π
当 ≤2x π π π＋ ≤ ，即 0≤x≤ ，f(x)单调递增；
4 4 2 8
π
当 <2x π 5π π＋ ≤ ，即 2 4 4 8 2
0 π π π， ，
综上可知，f(x)在区间 8 上单调递增，在区间 8 2 上单调递减．
反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当
的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利
用辅助角公式，将 y＝asin x＋bcos x转化为 y＝Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究
函数的性质．
练习 3

8．已知函数 f(x)＝sin2x－sin2 (x )，x∈R.
6
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x) 在区间[ , ]上的最大值和最小值．
3 4
2x π－
1－cos 2x 1－cos 3
解 (1)由已知，有 f(x)＝ －
2 2
1
1 cos 2x
3
＋ sin 2x
＝ 2 2 1－ cos 2x
2 2
2x π3 －
＝ sin 2x 1－ cos 2x 1＝ sin 6 .
4 4 2
2π
所以 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.
2
π π π π
－ ，－ － ，
(2)因为 f(x)在区间 3 6 上是减函数，在区间 6 4 上是增函数，
π π π
－
f 3 1
－
且 ＝－ ，f 6 1＝－ ，f 4 3＝ ，
4 2 4
π π
－ ，
所以 f(x) 3 1在区间 3 4 上的最大值为 ，最小值为－ .
4 2
【课堂小测】
1．sin 15°sin 75°的值为( )
A.1 B. 3 C.1 D. 3
2 2 4 4
答案 C
解析 原式＝sin 15°cos 15° 1＝ (2sin 15°cos 15°)
2
1
＝ sin 30° 1＝ .
2 4
2 4．已知α，β为锐角，tan α＝ ，则 cos 2α等于( )
3
A. 7 B 7．－ C.24 D 24．－
25 25 25 25
答案 B
解析 ∵tan α 4 tan α sin α＝ ， ＝ ，
3 cos α
∴sin α 4＝ cos α，
3
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α 9＝ ，
25
∴cos 2α＝2cos2α－1 7＝－ .
25
3 sin α＋cos α 1．若 ＝ ，则 tan 2α等于( )
sin α－cos α 2
A 3 B.3 C 4 4．－ ．－ D.
4 4 3 3
答案 B
sin α＋cos α 1
解析 因为 ＝ ，
sin α－cos α 2
整理得 tan α＝－3，
2tan α 2× －3 3
所以 tan 2α＝ ＝ ＝ .
1－tan2α 1－ －3 2 4
4 tan ( ．已知 )＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝________.
4
4
答案 －
5
1＋tan θ
解析 由已知，得 ＝3，解得 tan θ 1＝ .
1－tan θ 2
2
所以 sin 2θ－2cos2θ 2sin θcos θ－2cos θ＝
sin2θ＋cos2θ
2 1× －2
2tan θ－2 2 4
＝ ＝ ＝－ .
tan2θ＋1 1 5
2 2＋1

5．已知 sin ( x) 3＝ ，则 sin 2x的值等于________．
4 5
7
答案
25
π
－x 3
解析 方法一 因为 sin 4 ＝ ，
5
π 2x π－ －x
所以 cos 2 ＝1－2sin2 4
3
1 2 5 2 7＝ － × ＝ ，
25
π
－2x
所以 sin 2x cos 2 7＝ ＝ .
25
π
－x 3
方法二 由 sin 4 ＝ ，
5
2
得 (sin x 3－cos x)＝－ ，
2 5
所以 sin x－cos x 3 2＝－ ，两边平方得
5
1－sin 2x 18＝ ，
25
所以 sin 2x 7＝ .
25
6．已知函数 f(x) ＝ 3sin (2x )＋2sin2 (x ) (x∈R)．
6 12
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x的集合．
2x π－ 2 x
π
－
解 (1)∵f(x)＝ 3sin 6 ＋2sin 12
x π x π－ －
＝ 3sin 2 12 ＋1－cos 2 12
3 x
π
－ 1 x
π
－
sin 2 12 － cos 2 12
＝2 2 2 ＋1
x π－
2 π－
＝2sin 12 6 ＋1
2x π－
＝2sin 3 ＋1，
∴f(x) 2π的最小正周期为 T＝ ＝π.
2
2x π－
(2)当 f(x)取得最大值时，sin 3 ＝1，
有 2x π－ ＝2kπ π(k 5π＋ ∈Z)，即 x＝kπ＋ (k∈Z)，
3 2 12
|x kπ 5π＝ ＋ ，k∈Z∴所求 x的集合为 x 12 .
【课后作业】
1．已知 sin α－cos α 4＝ ，则 sin 2α等于( )
3
A 7 B 2 C.2．－ ．－ D.7
9 9 9 9
答案 A
解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
4
∴sin 2α＝1－ 3 2 7＝－ .
9
1－cos210°
2．计算： 等于( )
cos 80° 1－cos 20°
A. 2 B.1 C. 3 D 2．－
2 2 2 2
答案 A
1－cos210° sin210°
解析 ＝
cos 80° 1－cos 20° sin 10° 1－ 1－2sin210°
sin210° 2
＝ ＝ .
2sin210° 2

3．(多选)已知函数 f(x)＝sin x·sin (x ) 1－ ，则 f(x)的值不可能是( )
3 4
A 1 B.1．－ C．－2 D．2
2 2
答案 CD
x π＋
解析 方法一 f(x)＝sin xsin 3 1－
4
1sin x 3＋ cos x
sin x 2 2 1＝ －
4
1
＝ sin2x 3 1＋ sin xcos x－
2 2 4
1
＝ ·1－cos 2x 3＋ sin 2x 1－
2 2 4 4
3
＝ sin 2x 1－ cos 2x
4 4
3
1 sin 2x
1
－ cos 2x
＝ 2 2
2
2x π1 －
＝ sin 6 ，
2
1 1
－ ，
∴f(x)∈ 2 2 .
x π＋
方法二 f(x)＝sin xsin 3 1－
4
x π1 ＋x＋ x x
π
－ － 1
＝－ cos 3 －cos 3 －
2 4
2x π π1 ＋ －
＝－ cos 3 －cos 3 1－
2 4
π
1 2x＋cos 3 1 1＝－ ＋ －
2 4 4
π
1 2x＋
＝－ cos 3
2
1 1
－ ，
∴f(x)∈ 2 2 .
4 α ( , ) sin α 3 10．若 ∈ ， ＝ ，则 tan 2α＝ .
2 10
3
答案
4
π
，π
解析 ∵α∈ 2 ，sin α 3 10＝ ，
10
∴cos α 10＝－ 1－sin2α＝－ ，
10
tan α sin α∴ ＝ ＝－3，
cos α
tan 2α 2tan α －2×3 3∴ ＝ ＝ ＝ .
1－tan2α 1－ －3 2 4

5．已知 sin α＝cos 2α，α∈ ( , )，则 tan α＝ .
2
3
答案 －
3
π
，π
解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α，α∈ 2 ，
∴sin α 1＝ 或 sin α＝－1(舍去)，
2
α 5π∴ ＝ ，则 tan α＝tan 5π π 3＝－tan ＝－ .
6 6 6 3
6．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x 1＋ cos 4x.
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2) α (0 π) f ( ) 2 ( 若 ∈ ， ，且 ＝ ，求 tan )的值．
4 8 2 3
解 (1)因为 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x 1＋ cos 4x
2
＝cos 2xsin 2x 1＋ cos 4x 1＝ (sin 4x＋cos 4x)
2 2
2 4x
π
＋
＝ sin 4 ，
2
所以函数 f(x) π的最小正周期 T＝ .
2
令 2kπ π＋ ≤4x π 3π＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 4 2
kπ π x kπ 5π得 ＋ ≤ ≤ ＋ ，k∈Z.
2 16 2 16
kπ π kπ 5π
＋ ， ＋
所以函数 f(x)的单调递减区间为 2 16 2 16 ，k∈Z.
α π
－
(2)因为 f 4 8 2＝ ，
2
α π－
所以 sin 4 ＝1.
又α∈(0，π)，
π<α π 3π所以－ － < ，
4 4 4
α π π所以 － ＝ ，
4 2
故α 3π＝ ，
4
π tan 3π tan πα ＋＋
因此 tan 3 ＝ 4 3
－1＋ 3
＝ ＝2－ 3.
1－tan 3πtan π 1＋ 3
4 3

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