高一数学 第9讲 指数与指数函数 学案 (pdf版,学生版+教师版)

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高一数学 第9讲 指数与指数函数 学案 (pdf版,学生版+教师版)

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第九讲 指数与指数函数
【知识梳理】
1.根式
(1)如果 xn=a,那么 叫做 a 的 n 次方根.
n
(2)式子 a叫做 ,其中 n 叫做 ,a 叫做 .
n
(3)( a)n= .
n
当 n 为奇数时, an= ,
n
当 n 为偶数时, an= = .
2.分数指数幂
m
正数的正分数指数幂, a n = (a>0,m,n∈N*,n>1).
m

正数的负分数指数幂,a n 1 1 m =n (a>0,m,n∈N*,n>1).m
a n a
0的正分数指数幂为 0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras= ;(ar)s= ;(ab)r= (a>0,b>0,r,s∈Q).
4.指数函数及其性质
(1)概念:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中指数 x 是自变量,函数的定义域是 R,
a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
过定点 ,即 x= 时,y=
当 x>0时, ; 当 x<0时, ;
性质
当 x<0时, . 当 x>0时, .
在(-∞,+∞)上是 . 在(-∞,+∞)上是 .
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1) -4 4=-4.( )
(2)2a 2b=2ab.( )
(3)函数 y=3 2x与 y=2x+1都不是指数函数.( )
(4)若 am0,且 a≠1),则 m1
1
2 π0 2-2 2
2
.计算: + × =________.
4
3.函数 f(x)=ax-1+2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________.
1 1 3
3

3 4a 3 3

44.已知 5
,b ,c ,则 a,b,c 的大小关系是________.
5 2
5.若函数 f(x)=(a2-3) ax为指数函数,则 a=______.
6.函数 f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为 2,则 a=______.
【典型例题】
题型一 指数幂的运算
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
1
2 27 7 0.53
(1) 0.027 3

2

;
125 9
2
1 2 2
(2)

2
2
2 ;

3 a 3 a 3
(3) a 3 15 3
0
.
a 6
练习 1
2.计算下列各式的值(式中字母都是正数):
1
(1)
1 3 0 7 4 3
× +80.25× 2+( 2× 3)6;
8 6
2 7 0 1 4
(2)83 - 3
6
+ -π 4+[( 2) ]2 =______.
8
3 6
(3)2 a2÷(4 a b) 3 b3.
题型二 指数函数的概念
3.下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
1 1

①y=2 ( 2)x y 2x-1 ;② = ;③y= ( ) x ;④ y=3 x ;⑤ y=x3 .
2
4.若函数 y=(a2-3a+3) ax是指数函数,则实数 a=________.
5. 3 5已知函数 f(x)是指数函数,且 f ( )= ,则 f(3)=________.
2 25
练习 2
6.若函数 y=a2(2-a)x是指数函数,则( )
A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且 a≠1
7.若函数 y=(2a-3)x是指数函数,则实数 a 的取值范围是________________.
8.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,且 a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则 f(-2)的值为________.
题型三 比较指数式的大小
9.(1)比较下列各题中两个值的大小.
①1.7-2.5,1.7-3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.
3 3 1
1 4 4(2) a ,b 1 ,c 1
2
设 , 则 a,b,c 的大小关系为________.(用“>”连接)
2 5 2
练习 3
10.比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8-0.1,1.250.2;(2) ( 1 ) ,1;(3)0.2-3,(-3)0.2.

题型四 解简单的指数方程或不等式
1 x 2x211. (1) 2 1 不等式 ≤ 的解集是________.
4
(2)解关于 x 的不等式:a2x+1 ax-≤ 5(a>0,且 a≠1).
4x,x≥0,
12.已知实数 a≠1,函数 f(x)= 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为______.
2a-x,x<0,
练习 4
13.不等式 4x<42-3x的解集是________.
14.满足方程 4x+2x-2=0的 x 值为________.
题型五 指数型函数的单调性及值域
1
15.(1)函数 y 3x 的单调递减区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
2
1 x 2x
(2) 判断函数 f (x) 的单调性,并求其值域.
3
练习 5
2
16. y=ax +2x-3求函数 (a>0,且 a≠1)的单调区间.
17.不等式 4x-2x+1+a>0对任意 x∈R都成立,则实数 a 的取值范围是________.
【课堂小测】
1.若实数 a>0,则下列等式成立的是( )
1
-2 -3 1 0 (a 4 )4 1A.(-2) =4 B.2a = 3 C.(-2) =-1 D. 2a a
2.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a
3.(多选)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
4.若函数 f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则 a=________.
1 2 x
2
5 .函数 f(x)= 的单调递增区间为________.
3
6.如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0且 a≠1)在[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值.
【课后作业】
1.若函数 f(x)= (1 a 3) ax 1是指数函数,则 f ( )的值为( )
2 2
A.2 B.-2 C.-2 2 D.2 2
2 1.若 ( ) 2a+1< (1) 3-2a,则实数 a 的取值范围是( )
2 2
A.(4,+∞) B. (1 1, ) C.(-∞,4) D. ( , )
2 2
3 1.函数 y= ( ) 1-x的单调递增区间为( )
2
A.R B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)
2 1 1 1

(a 3 b 1) 2 a 2 b3
4.化简: (a>0,b>0)=________.
6 a b5
5.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是________.(用“>”连接)
6.已知函数 f(x)=1 2+ .
2x-1
(1)求 f(x)的定义域;
(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明;
(3)求 f(x)的值域.第九讲 指数与指数函数
【考试要求】
1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性,特殊点等性质,并能简单应用.
【知识梳理】
1.根式
(1)如果 xn=a,那么 x叫做 a的 n次方根.
n
(2)式子 a叫做根式,其中 n叫做根指数,a叫做被开方数.
n
(3)( a)n=a.
n
当 n为奇数时, an=a,
n a,a≥0,
当 n为偶数时, an=|a|=
-a,a<0.
2.分数指数幂
m
n
正数的正分数指数幂, a n = am(a>0,m,n∈N*,n>1).
m
1
正数的负分数指数幂, a n 1 m =n (a>0,m,n∈N*,n>1).
a n a
m
0的正分数指数幂为 0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈Q).
4.指数函数及其性质
(1)概念:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中指数 x是自变量,函数的定义域是 R,
a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 过定点(0,1),即 x=0时,y=1
当 x>0时,y>1; 当 x<0时,y>1;
当 x<0时,00时,0在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1) -4 4=-4.( × )
(2)2a·2b=2ab.( × )
(3) +函数 y=3·2x与 y=2x 1都不是指数函数.( √ )
(4)若 am0,且 a≠1),则 m1
1 22.计算:π0+2-2× 2 =________.
4
11
答案
8
3.函数 f(x)=ax-1+2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________.
答案 (1,3)
1 1 3
3 3 3 4 3 44 .已知 a ,b ,c ,则 a,b,c的大小关系是________.
5 5 2
答案 c3
解析 ∵y= 5 x是 R 上的减函数,
1 1
3

3 3
0
4

3
∴ ,即 a>b>1,
5 5 5
3
3 04
又 c 3 =1,∴c 2 2
5.若函数 f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则 a=______.
答案 2
a2-3=1,
解析 依题意
a>0且 a≠1,
解得 a=2.
6.函数 f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为 2,则 a=______.
1
答案 2或
2
解析 当 a>1时,f(x)=ax为增函数,
则 a1=2,
∴a=2满足题意,
当 01
则 a-1=2,∴a= 满足题意,
2
1
综上有 a=2或 .
2
【典型例题】
题型一 指数幂的运算
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
1
2
0.027 27
7 0.53
(1) 3 2 125 9
;

2
1 2 2
(2) 2 2 ;
2
3 a 3 a 3 0
(3) a 3 15 3 .
a 6
1
2 27 7 0.53
解 (1) 0.027 3 2
125 9
3 3
( 0.027)2 125 25= + - =0.09 5 5+ - =0.09.
27 9 3 3
2
2 2
(2) 2原式= 2 2 2

2
3 2 2 3
= 2 2 22 2 2.

3 3
a 3 a 2
(3)原式= +1=1+1=2.
5 3
a 6
反思感悟 一般地,进行指数幂运算时,可将系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指
数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简
的目的.
练习 1
2.计算下列各式的值(式中字母都是正数):
1
1
(1)
3 7 0 4 3
× +80.25× 2+( 2× 3)6;
8 6
2 7 0 1 4 6
(2)83 - + 3-π 4+[( 2) ]2=______.
8
3 6
(3)2 a2÷(4 a·b)·3 b3.
( 1 1) 1 1
6 6
1 1
解 (1)原式=8 3 1 23 4 2 4 2 3 3 2

3 1

= 2 24 4 +22×33=112.
2 1
(2)原式= (23)3 -1+|3-π|+ (26 )2
=4-1+π-3+23
=π+8.
2 1 1 3
(3)原式= 2a 3 4a 6b6 3b 2

1 2 1 1 3
a 3 6 b 6
2
3b 2

3 1 4
a 2b 3 .
2
题型二 指数函数的概念
3.下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
1 1
①y=2·( 2)x -;②y=2x 1;③y= ( ) x;④ y=3 x ;⑤ y=x 3 .
2
答案 ③
解析 ①中指数式( 2)x的系数不为 1,故不是指数函数;②中 y=2x-1,指数位置不是 x,故
不是指数函数;④中指数不是 x,故不是指数函数;⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的
值,故不是指数函数,故填③.
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求;
(2)ax前的系数是否为 1;
(3)指数是否符合要求.
4.若函数 y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数 a=________.
a2-3a+3=1,
解析 由 y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,可得 解得 a=2.
a>0且 a≠1,
5.已知函数 f(x) 3是指数函数,且 f ( ) 5= ,则 f(3)=________.
2 25
答案 125
解析 设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),
3
由 f ( ) 5= 得
2 25
1
3
5 52 3 a 2 2
25 52
5 ,
所以 a=5,即 f(x)=5x,所以 f(3)=53=125.
练习 2
6.若函数 y=a2(2-a)x是指数函数,则( )
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且 a≠1
答案 C
解析 因为函数 y=a2(2-a)x是指数函数,
a2=1,
所以 2-a>0, 解得 a=-1.
2-a≠1,
7.若函数 y=(2a-3)x是指数函数,则实数 a的取值范围是________________.
3
,2
答案 2 ∪(2,+∞)
2a-3>0,
解析 由题意知 解得 a>3且 a≠2.
2a-3≠1, 2
8.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,且 a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则 f(-2)的值为________.
答案 7
1
a-1+b=5, a= ,
解析 由已知得 解得 2
a0+b=4, b=3,
1
所以 f(x)= 2 x+3,
1
所以 f(-2)= 2 -2+3=4+3=7.
题型三 比较指数式的大小
9.(1)比较下列各题中两个值的大小.
①1.7-2.5,1.7-3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)①∵1.7>1,
∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.
∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.
0.3 1.7
②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0 1.7,且 = 1.5 0.3,
1.50.3
1.7
1.7
又 >1,0.3>0,∴ 1.5 0.3>1,∴1.70.3>1.50.3.
1.5
方法二 幂函数 y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
又 1.7>1.5,∴1.70.3>1.50.3.
③∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,
∴1.70.3>0.83.1.
3 3 1
1 4 1 4(2) a ,b ,c 1
2
设 , 则 a,b,c的大小关系为________.(用“>”连接)
2 5 2
答案 c>a>b
3
解析 构造幂函数 y x 4 (x∈(0,+∞)),由该函数在定义域内单调递增,知 a>b;构造指数
1
函数 y= 2 x,由该函数在定义域内单调递减,知 aa>b.
反思感悟 比较幂值大小的 3种类型及处理方法
练习 3
10.比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8-0.1,1.250.2;(2) ( 1 ) ,1;(3)0.2-3,(-3)0.2.

考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)∵0<0.8<1,∴y=0.8x在 R 上是减函数.
∵-0.2<-0.1,∴0.8-0.2>0.8-0.1,
即 0.8-0.1<1.250.2.
1
(2) 1∵0< <1,∴函数 y= π x在 R 上是减函数.
π
1 1 1
又 -π<0, π -∵ ∴ π> π 0=1,即 π -π>1.
2 1
(3)0.2-3= 10 -3= 5 -3=53,
2 1
(-3)0.2= 3 10 35 ,
1
∵35 <31=3,53=125>3.
1
∴35 <53,即 0.2-3>(-3)0.2.
题型四 解简单的指数方程或不等式
x 2
11. (1) 2x
2 1 1
不等式 ≤ 的解集是________.
4
答案 [-3,1]
1
解析 4 x-2=(2-2)x-2=2-2x+4,
x2 1 2x 4
∴ 2 ≤2 ,
即 x2+1≤-2x+4,即 x2+2x-3≤0,
∴-3≤x≤1,
(2)解关于 x + -的不等式:a2x 1≤ax 5(a>0,且 a≠1).
考点 指数不等式的解法
题点 指数不等式的解法
解 ①当 0∴2x+1≥x-5,解得 x≥-6.
当 a>1时, a2x+② ∵ 1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得 x≤-6.
综上所述,当 01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
反思感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数单调性化为常规
的不等式来解,注意底数对不等号方向的影响.
4x,x≥0,
12.已知实数 a≠1,函数 f(x)= 若 f(1-a)=f(a-1),则 a的值为______.
2a-x,x<0,
1
答案
2
解析 当 a<1时,41-a=21 1,解得 a= ;
2
当 a>1 1时,代入不成立.故 a的值为 .
2
练习 4
13. -不等式 4x<42 3x的解集是________.
1
-∞,
答案 2
解析 ∵4x<42-3x,∴x<2-3x,∴x<1.
2
14.满足方程 4x+2x-2=0的 x值为________.
答案 0
解析 设 t=2x(t>0),则原方程化为 t2+t-2=0,
∴t=1或 t=-2.
∵t>0,∴t=-2舍去.
∴t=1,即 2x=1,∴x=0.
题型五 指数型函数的单调性及值域
1
15.(1)函数 y 3x 的单调递减区间是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
答案 D
解析 设 u 1= ,则 y=3u,
x
1
因为 u= 在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,
x
且 y=3u在 R 上是增函数,
1
所以函数 y 3x 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
1 x
2 2x
(2)判断函数 f (x) 的单调性,并求其值域.
3
解 令 u=x2-2x,
易知 u 1=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又 0< <1,
3
2
1 x 2x
所以 f (x) 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
3
因为 u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
1
所以 y= 3 u,u∈[-1,+∞),
1 1
所以 0< 3 u≤ 3 -1=3,
所以函数 f(x)的值域为(0,3].
反思感悟 函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性由两点决定,一是底数 a>1 还是 0二是 f(x)的单调性,它由两个函数 y=au,u=f(x)复合而成.
(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成 y=f(u),u=φ(x),通
过考察 f(u)和φ(x)的单调性,求出 y=f(φ(x))的单调性.
练习 5
2
16. y=a x +2x-3求函数 (a>0,且 a≠1)的单调区间.
解 设 y=au,u=x2+2x-3,
由 u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得 u在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.
当 a>1时,y关于 u为增函数;
当 0∴当 a>1时,原函数的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];
当 017.不等式 4x +-2x 1+a>0对任意 x∈R 都成立,则实数 a的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
解析 原不等式可化为 a>-4x+2x+1对 x∈R 恒成立,
令 t=2x,则 t>0,∴y=-4x+2x+1=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,
当 t=1时,ymax=1,∴a>1.
【课堂小测】
1.若实数 a>0,则下列等式成立的是( )
A ( 2)-. - 2=4 B - 1.2a 3=
2a3
1
1
C.(-2)0=-1 D. (a 4 )4
a
答案 D
解析 对于 A,(-2)-2 1 2= ,故 A 错误;对于 B,2a-3= ,故 B错误;对于 C,(-2)0=1,
4 a3
1
1
故 C错误;对于 D, (a 4 )4 ,故 D正确.
a
2.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案 A
解析 y=0.4x为减函数,
∴0.40.6<0.40.2<0.40=1,
又 20.2>1,即 a>b>c.
3.(多选)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
答案 BC
解析 当 a>1时,y=ax-a为增函数,且过点(1,0),
当 x=0时,y=1-a<0,故选项 A不正确,B正确.
当 0当 x=0时,y=1-a∈(0,1),故选项 C正确,D不正确.
4.若函数 f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则 a=________.
答案 1
a2-2a+2=1,
解析 由指数函数的定义得 a+1>0, 解得 a=1.
a+1≠1,
2 x2
5 f(x)
1
.函数 = 的单调递增区间为________.
3
答案 [0,+∞)
1
解析 由于底数 ∈(0,1),
3
1
所以 y= 3 x是 R 上的减函数,
1 2 x
2

所以 f(x)= 的单调递增区间就是 y=2-x2的单调递减区间.
3
由 y=2-x2的图象(图略)可知:
当 x≤0时,y=2-x2是增函数;
当 x≥0时,y=2-x2是减函数.
1 2 x
2
所以函数 f(x) = 的单调递增区间为[0,+∞).
3
6.如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0且 a≠1)在[-1,1]上的最大值为 14,求 a的值.
解 函数 y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,x∈[-1,1].
若 a>1,则 x=1时,函数取最大值 a2+2a-1=14,
解得 a=3.
若 0函数取最大值 a-2+2a-1-1=14,
解得 a 1= .
3
1
综上所述,a=3或 .
3
【课后作业】
1 1 1.若函数 f(x)= ( a 3) ·ax是指数函数,则 f ( )的值为( )
2 2
A.2 B.-2 C.-2 2 D.2 2
答案 D
解析 因为函数 f(x)是指数函数,
1
所以 a-3=1,所以 a=8,
2
1
所以 f(x) 8x f (1= , )=82 =2 2.
2
1
2.若 ( ) 2a+1 1< ( ) 3-2a,则实数 a的取值范围是( )
2 2
1
A.(4,+∞) B. ( , )
2
C 1.(-∞,4) D. ( , )
2
答案 B
1
解析 因为 y= ( ) x在(-∞,+∞)上是减函数,
2
1
所以由已知得 2a+1>3-2a,即 a> .
2
1
,+∞
故 a的取值范围是 2 .
3 1 -.函数 y= ( ) 1 x的单调递增区间为( )
2
A.R B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
答案 A
解析 定义域为 R.
1
设 u=1-x,y= ( ) u,
2
∵u=1-x在 R 上为减函数,
y= (1) u在 R 上为减函数,
2
∴y 1= ( ) 1-x在 R 上是增函数,故选 A.
2
2 1 1 1

(a 3 b 1) 2 a 2 b3
4.化简: (a>0,b>0)=________.
6 a b5
1
答案
a
1 1
1 1
a 3b 2 a 2b3 1 1 1 1 1 5
解析 原式= a 3 2 6 b 2 3 6 11 5 .
a 6b6 a
5.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c的大小关系是________.(用“>”连接)
答案 c>a>b
解析 因为函数 y=0.8x是 R 上的单调减函数,
所以 a>b.
又因为 a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,
所以 c>a.故 c>a>b.
6.已知函数 f(x) 2=1+ .
2x-1
(1)求 f(x)的定义域;
(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明;
(3)求 f(x)的值域.
解 (1)由 2x-1≠0,可得 x≠0,
∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
x
f( x) 1 2 -1-2 1 2- = + = =- - =-f(x),
2-x-1 2x-1 2x-1
∴f(x)是奇函数.
(3)当 x>0时,2x-1>0,f(x)>1;当 x<0时,-1<2x-1<0,f(x)<-1.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

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