资源简介 第九讲 指数与指数函数【知识梳理】1.根式(1)如果 xn=a,那么 叫做 a 的 n 次方根.n(2)式子 a叫做 ,其中 n 叫做 ,a 叫做 .n(3)( a)n= .n当 n 为奇数时, an= ,n当 n 为偶数时, an= = .2.分数指数幂m正数的正分数指数幂, a n = (a>0,m,n∈N*,n>1).m 正数的负分数指数幂,a n 1 1 m =n (a>0,m,n∈N*,n>1).ma n a0的正分数指数幂为 0,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras= ;(ar)s= ;(ab)r= (a>0,b>0,r,s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中指数 x 是自变量,函数的定义域是 R,a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a>1 0图象定义域值域过定点 ,即 x= 时,y=当 x>0时, ; 当 x<0时, ;性质当 x<0时, . 当 x>0时, .在(-∞,+∞)上是 . 在(-∞,+∞)上是 .【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)4(1) -4 4=-4.( )(2)2a 2b=2ab.( )(3)函数 y=3 2x与 y=2x+1都不是指数函数.( )(4)若 am0,且 a≠1),则 m112 π0 2-2 2 2.计算: + × =________. 4 3.函数 f(x)=ax-1+2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________.1 1 3 3 3 4a 3 3 44.已知 5 ,b ,c ,则 a,b,c 的大小关系是________. 5 2 5.若函数 f(x)=(a2-3) ax为指数函数,则 a=______.6.函数 f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为 2,则 a=______.【典型例题】题型一 指数幂的运算1.计算下列各式(式中字母都是正数):12 27 7 0.53(1) 0.027 3 2 ; 125 9 2 1 2 2(2) 2 2 2 ; 3 a 3 a 3(3) a 3 15 3 0.a 6练习 12.计算下列各式的值(式中字母都是正数): 1(1) 1 3 0 7 4 3 × +80.25× 2+( 2× 3)6; 8 6 2 7 0 1 4(2)83 - 36+ -π 4+[( 2) ]2 =______. 8 3 6(3)2 a2÷(4 a b) 3 b3.题型二 指数函数的概念3.下列函数中是指数函数的是________.(填序号)1 1 ①y=2 ( 2)x y 2x-1 ;② = ;③y= ( ) x ;④ y=3 x ;⑤ y=x3 .24.若函数 y=(a2-3a+3) ax是指数函数,则实数 a=________.5. 3 5已知函数 f(x)是指数函数,且 f ( )= ,则 f(3)=________.2 25练习 26.若函数 y=a2(2-a)x是指数函数,则( )A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且 a≠17.若函数 y=(2a-3)x是指数函数,则实数 a 的取值范围是________________.8.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,且 a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则 f(-2)的值为________.题型三 比较指数式的大小9.(1)比较下列各题中两个值的大小.①1.7-2.5,1.7-3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.3 3 1 1 4 4(2) a ,b 1 ,c 1 2设 , 则 a,b,c 的大小关系为________.(用“>”连接) 2 5 2 练习 310.比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8-0.1,1.250.2;(2) ( 1 ) ,1;(3)0.2-3,(-3)0.2. 题型四 解简单的指数方程或不等式1 x 2x211. (1) 2 1 不等式 ≤ 的解集是________. 4 (2)解关于 x 的不等式:a2x+1 ax-≤ 5(a>0,且 a≠1).4x,x≥0,12.已知实数 a≠1,函数 f(x)= 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为______.2a-x,x<0,练习 413.不等式 4x<42-3x的解集是________.14.满足方程 4x+2x-2=0的 x 值为________.题型五 指数型函数的单调性及值域115.(1)函数 y 3x 的单调递减区间是( )A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)21 x 2x(2) 判断函数 f (x) 的单调性,并求其值域. 3 练习 5216. y=ax +2x-3求函数 (a>0,且 a≠1)的单调区间.17.不等式 4x-2x+1+a>0对任意 x∈R都成立,则实数 a 的取值范围是________.【课堂小测】1.若实数 a>0,则下列等式成立的是( )1-2 -3 1 0 (a 4 )4 1A.(-2) =4 B.2a = 3 C.(-2) =-1 D. 2a a2.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 a,b,c 的大小关系是( )A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a3.(多选)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )4.若函数 f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则 a=________.1 2 x25 .函数 f(x)= 的单调递增区间为________. 3 6.如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0且 a≠1)在[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值.【课后作业】1.若函数 f(x)= (1 a 3) ax 1是指数函数,则 f ( )的值为( )2 2A.2 B.-2 C.-2 2 D.2 22 1.若 ( ) 2a+1< (1) 3-2a,则实数 a 的取值范围是( )2 2A.(4,+∞) B. (1 1, ) C.(-∞,4) D. ( , )2 23 1.函数 y= ( ) 1-x的单调递增区间为( )2A.R B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)2 1 1 1 (a 3 b 1) 2 a 2 b34.化简: (a>0,b>0)=________.6 a b55.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是________.(用“>”连接)6.已知函数 f(x)=1 2+ .2x-1(1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明;(3)求 f(x)的值域.第九讲 指数与指数函数【考试要求】1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性,特殊点等性质,并能简单应用.【知识梳理】1.根式(1)如果 xn=a,那么 x叫做 a的 n次方根.n(2)式子 a叫做根式,其中 n叫做根指数,a叫做被开方数.n(3)( a)n=a.n当 n为奇数时, an=a,n a,a≥0,当 n为偶数时, an=|a|=-a,a<0.2.分数指数幂mn正数的正分数指数幂, a n = am(a>0,m,n∈N*,n>1).m 1正数的负分数指数幂, a n 1 m =n (a>0,m,n∈N*,n>1).a n am0的正分数指数幂为 0,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中指数 x是自变量,函数的定义域是 R,a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>1 0图象定义域 R值域 (0,+∞)性质 过定点(0,1),即 x=0时,y=1当 x>0时,y>1; 当 x<0时,y>1;当 x<0时,00时,0在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)4(1) -4 4=-4.( × )(2)2a·2b=2ab.( × )(3) +函数 y=3·2x与 y=2x 1都不是指数函数.( √ )(4)若 am0,且 a≠1),则 m1 1 22.计算:π0+2-2× 2 =________. 4 11答案83.函数 f(x)=ax-1+2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________.答案 (1,3)1 1 33 3 3 4 3 44 .已知 a ,b ,c ,则 a,b,c的大小关系是________. 5 5 2 答案 c3解析 ∵y= 5 x是 R 上的减函数,1 1 3 3 3 04 3 ∴ ,即 a>b>1, 5 5 5 33 04又 c 3 =1,∴c 2 2 5.若函数 f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则 a=______.答案 2a2-3=1,解析 依题意a>0且 a≠1,解得 a=2.6.函数 f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为 2,则 a=______.1答案 2或2解析 当 a>1时,f(x)=ax为增函数,则 a1=2,∴a=2满足题意,当 01则 a-1=2,∴a= 满足题意,21综上有 a=2或 .2【典型例题】题型一 指数幂的运算1.计算下列各式(式中字母都是正数):12 0.027 27 7 0.53(1) 3 2 125 9 ; 2 1 2 2(2) 2 2 ; 2 3 a 3 a 3 0(3) a 3 15 3 .a 612 27 7 0.53解 (1) 0.027 3 2 125 9 3 3( 0.027)2 125 25= + - =0.09 5 5+ - =0.09.27 9 3 32 2 2(2) 2原式= 2 2 2 2 3 2 2 3= 2 2 22 2 2. 3 3a 3 a 2(3)原式= +1=1+1=2.5 3a 6反思感悟 一般地,进行指数幂运算时,可将系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.练习 12.计算下列各式的值(式中字母都是正数):11 (1) 3 7 0 4 3 × +80.25× 2+( 2× 3)6; 8 6 2 7 0 1 4 6(2)83 - + 3-π 4+[( 2) ]2=______. 8 3 6(3)2 a2÷(4 a·b)·3 b3.( 1 1) 1 16 6 1 1 解 (1)原式=8 3 1 23 4 2 4 2 3 3 2 3 1 = 2 24 4 +22×33=112.2 1(2)原式= (23)3 -1+|3-π|+ (26 )2=4-1+π-3+23=π+8.2 1 1 3 (3)原式= 2a 3 4a 6b6 3b 2 1 2 1 1 3 a 3 6 b 6 2 3b 2 3 1 4 a 2b 3 .2题型二 指数函数的概念3.下列函数中是指数函数的是________.(填序号) 1 1 ①y=2·( 2)x -;②y=2x 1;③y= ( ) x;④ y=3 x ;⑤ y=x 3 .2答案 ③解析 ①中指数式( 2)x的系数不为 1,故不是指数函数;②中 y=2x-1,指数位置不是 x,故不是指数函数;④中指数不是 x,故不是指数函数;⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值,故不是指数函数,故填③.反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求;(2)ax前的系数是否为 1;(3)指数是否符合要求.4.若函数 y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数 a=________.a2-3a+3=1,解析 由 y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,可得 解得 a=2.a>0且 a≠1,5.已知函数 f(x) 3是指数函数,且 f ( ) 5= ,则 f(3)=________.2 25答案 125解析 设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),3由 f ( ) 5= 得2 2513 5 52 3 a 2 225 52 5 ,所以 a=5,即 f(x)=5x,所以 f(3)=53=125.练习 26.若函数 y=a2(2-a)x是指数函数,则( )A.a=1或-1 B.a=1C.a=-1 D.a>0且 a≠1答案 C解析 因为函数 y=a2(2-a)x是指数函数,a2=1,所以 2-a>0, 解得 a=-1.2-a≠1,7.若函数 y=(2a-3)x是指数函数,则实数 a的取值范围是________________.3,2答案 2 ∪(2,+∞)2a-3>0,解析 由题意知 解得 a>3且 a≠2.2a-3≠1, 28.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,且 a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则 f(-2)的值为________.答案 71a-1+b=5, a= ,解析 由已知得 解得 2a0+b=4, b=3,1所以 f(x)= 2 x+3,1所以 f(-2)= 2 -2+3=4+3=7.题型三 比较指数式的大小9.(1)比较下列各题中两个值的大小.①1.7-2.5,1.7-3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小解 (1)①∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.0.3 1.7②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0 1.7,且 = 1.5 0.3,1.50.31.71.7又 >1,0.3>0,∴ 1.5 0.3>1,∴1.70.3>1.50.3.1.5方法二 幂函数 y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,又 1.7>1.5,∴1.70.3>1.50.3.③∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1.3 3 1 1 4 1 4(2) a ,b ,c 1 2设 , 则 a,b,c的大小关系为________.(用“>”连接) 2 5 2 答案 c>a>b3解析 构造幂函数 y x 4 (x∈(0,+∞)),由该函数在定义域内单调递增,知 a>b;构造指数1函数 y= 2 x,由该函数在定义域内单调递减,知 aa>b.反思感悟 比较幂值大小的 3种类型及处理方法练习 310.比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8-0.1,1.250.2;(2) ( 1 ) ,1;(3)0.2-3,(-3)0.2. 考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小解 (1)∵0<0.8<1,∴y=0.8x在 R 上是减函数.∵-0.2<-0.1,∴0.8-0.2>0.8-0.1,即 0.8-0.1<1.250.2.1(2) 1∵0< <1,∴函数 y= π x在 R 上是减函数.π1 1 1又 -π<0, π -∵ ∴ π> π 0=1,即 π -π>1.2 1(3)0.2-3= 10 -3= 5 -3=53,2 1(-3)0.2= 3 10 35 ,1∵35 <31=3,53=125>3.1∴35 <53,即 0.2-3>(-3)0.2.题型四 解简单的指数方程或不等式x 211. (1) 2x2 1 1 不等式 ≤ 的解集是________. 4 答案 [-3,1]1解析 4 x-2=(2-2)x-2=2-2x+4,x2 1 2x 4∴ 2 ≤2 ,即 x2+1≤-2x+4,即 x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,(2)解关于 x + -的不等式:a2x 1≤ax 5(a>0,且 a≠1).考点 指数不等式的解法题点 指数不等式的解法解 ①当 0∴2x+1≥x-5,解得 x≥-6.当 a>1时, a2x+② ∵ 1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得 x≤-6.综上所述,当 01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.反思感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解,注意底数对不等号方向的影响.4x,x≥0,12.已知实数 a≠1,函数 f(x)= 若 f(1-a)=f(a-1),则 a的值为______.2a-x,x<0,1答案2解析 当 a<1时,41-a=21 1,解得 a= ;2当 a>1 1时,代入不成立.故 a的值为 .2练习 413. -不等式 4x<42 3x的解集是________.1-∞,答案 2解析 ∵4x<42-3x,∴x<2-3x,∴x<1.214.满足方程 4x+2x-2=0的 x值为________.答案 0解析 设 t=2x(t>0),则原方程化为 t2+t-2=0,∴t=1或 t=-2.∵t>0,∴t=-2舍去.∴t=1,即 2x=1,∴x=0.题型五 指数型函数的单调性及值域115.(1)函数 y 3x 的单调递减区间是( )A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)答案 D解析 设 u 1= ,则 y=3u,x1因为 u= 在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,x且 y=3u在 R 上是增函数,1所以函数 y 3x 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞).1 x2 2x(2)判断函数 f (x) 的单调性,并求其值域. 3 解 令 u=x2-2x,易知 u 1=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又 0< <1,321 x 2x 所以 f (x) 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 3 因为 u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,1所以 y= 3 u,u∈[-1,+∞),1 1所以 0< 3 u≤ 3 -1=3,所以函数 f(x)的值域为(0,3].反思感悟 函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性的处理方法(1)关于指数型函数 y=af(x)(a>0,且 a≠1)的单调性由两点决定,一是底数 a>1 还是 0二是 f(x)的单调性,它由两个函数 y=au,u=f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成 y=f(u),u=φ(x),通过考察 f(u)和φ(x)的单调性,求出 y=f(φ(x))的单调性.练习 5216. y=a x +2x-3求函数 (a>0,且 a≠1)的单调区间.解 设 y=au,u=x2+2x-3,由 u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得 u在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.当 a>1时,y关于 u为增函数;当 0∴当 a>1时,原函数的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];当 017.不等式 4x +-2x 1+a>0对任意 x∈R 都成立,则实数 a的取值范围是________.答案 (1,+∞)解析 原不等式可化为 a>-4x+2x+1对 x∈R 恒成立,令 t=2x,则 t>0,∴y=-4x+2x+1=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,当 t=1时,ymax=1,∴a>1.【课堂小测】1.若实数 a>0,则下列等式成立的是( )A ( 2)-. - 2=4 B - 1.2a 3=2a31 1C.(-2)0=-1 D. (a 4 )4 a答案 D解析 对于 A,(-2)-2 1 2= ,故 A 错误;对于 B,2a-3= ,故 B错误;对于 C,(-2)0=1,4 a31 1故 C错误;对于 D, (a 4 )4 ,故 D正确.a2.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 a,b,c的大小关系是( )A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>c>a答案 A解析 y=0.4x为减函数,∴0.40.6<0.40.2<0.40=1,又 20.2>1,即 a>b>c.3.(多选)函数 y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )答案 BC解析 当 a>1时,y=ax-a为增函数,且过点(1,0),当 x=0时,y=1-a<0,故选项 A不正确,B正确.当 0当 x=0时,y=1-a∈(0,1),故选项 C正确,D不正确.4.若函数 f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则 a=________.答案 1a2-2a+2=1,解析 由指数函数的定义得 a+1>0, 解得 a=1.a+1≠1,2 x25 f(x) 1 .函数 = 的单调递增区间为________. 3 答案 [0,+∞)1解析 由于底数 ∈(0,1),31所以 y= 3 x是 R 上的减函数,1 2 x2 所以 f(x)= 的单调递增区间就是 y=2-x2的单调递减区间. 3 由 y=2-x2的图象(图略)可知:当 x≤0时,y=2-x2是增函数;当 x≥0时,y=2-x2是减函数.1 2 x2所以函数 f(x) = 的单调递增区间为[0,+∞). 3 6.如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0且 a≠1)在[-1,1]上的最大值为 14,求 a的值.解 函数 y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,x∈[-1,1].若 a>1,则 x=1时,函数取最大值 a2+2a-1=14,解得 a=3.若 0函数取最大值 a-2+2a-1-1=14,解得 a 1= .31综上所述,a=3或 .3【课后作业】1 1 1.若函数 f(x)= ( a 3) ·ax是指数函数,则 f ( )的值为( )2 2A.2 B.-2 C.-2 2 D.2 2答案 D解析 因为函数 f(x)是指数函数,1所以 a-3=1,所以 a=8,21所以 f(x) 8x f (1= , )=82 =2 2.212.若 ( ) 2a+1 1< ( ) 3-2a,则实数 a的取值范围是( )2 21A.(4,+∞) B. ( , )2C 1.(-∞,4) D. ( , )2答案 B1解析 因为 y= ( ) x在(-∞,+∞)上是减函数,21所以由已知得 2a+1>3-2a,即 a> .21,+∞故 a的取值范围是 2 .3 1 -.函数 y= ( ) 1 x的单调递增区间为( )2A.R B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)答案 A解析 定义域为 R.1设 u=1-x,y= ( ) u,2∵u=1-x在 R 上为减函数,y= (1) u在 R 上为减函数,2∴y 1= ( ) 1-x在 R 上是增函数,故选 A.22 1 1 1 (a 3 b 1) 2 a 2 b34.化简: (a>0,b>0)=________.6 a b51答案a1 1 1 1 a 3b 2 a 2b3 1 1 1 1 1 5 解析 原式= a 3 2 6 b 2 3 6 11 5 .a 6b6 a5.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c的大小关系是________.(用“>”连接)答案 c>a>b解析 因为函数 y=0.8x是 R 上的单调减函数,所以 a>b.又因为 a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,所以 c>a.故 c>a>b.6.已知函数 f(x) 2=1+ .2x-1(1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明;(3)求 f(x)的值域.解 (1)由 2x-1≠0,可得 x≠0,∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)f(x)是奇函数,证明如下:xf( x) 1 2 -1-2 1 2- = + = =- - =-f(x),2-x-1 2x-1 2x-1∴f(x)是奇函数.(3)当 x>0时,2x-1>0,f(x)>1;当 x<0时,-1<2x-1<0,f(x)<-1.∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第9讲 指数与指数函数 学生版.pdf 第9讲 指数与指数函数 教师版.pdf