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第二讲 充分必要条件及量词
【考试要求】
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义.
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．
【知识梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件
p是 q的充分不必要条件 p q且 q p
p是 q的必要不充分条件 p q且 q p
p是 q的充要条件 p q
p是 q的既不充分也不必要条件 p q且 q p
2．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“ ”
表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用
符号“ ”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
对 M中任意一个 x，有
全称命题 x∈M，p(x) x0∈M， p(x0)
p(x)成立
存在 M中的一个 x0，使
特称命题 x0∈M，p(x0) x∈M， p(x)
p(x0)成立
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当 q是 p的必要条件时，p是 q的充分条件．( √ )
(2)已知集合 A，B，则 A∪B＝A∩B的充要条件是 A＝B.( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
2．命题“ x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案 x0∈R，x20＋x0＋1≤0
3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不
充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
4．函数 f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线 x＝1对称的充要条件是________．
答案 m＝－2
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A 1． x0∈R，x20－x0＋ <0
4
B．所有的正方形都是矩形
C． x0∈R，x20＋2x0＋2＝0
D．至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0
答案 AC
x 11 －
解析 由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为 x2－x＋ ＝ 2 2≥0，
4
x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以 AC均为特称命题且为假命题，故选 AC.
6．已知 p：x>a是 q：2答案 (－∞，2]
解析 由已知，可得{x|2a}，∴a≤2.
【典型例题】
题型一 充分、必要条件的判定
1
1．“a< ”是“一元二次方程 x2－x＋a＝0有实数解”的( )
4
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
1 1
【解析】当一元二次方程 x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即 1－4a≥0，即 a≤ ，又“a< ”
4 4
1 1 1 1
能推出“a≤ ”，但“a≤ ”不能推出“a< ”，即“a< ”是“一元二次方程 x2－x＋a
4 4 4 4
＝0有实数解”的充分不必要条件，故选 A.
2．“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若 a>2，b>2，则 a＋b>4，ab>4.
当 a＝1，b＝5时，满足 a＋b>4，ab>4，但不满足 a>2，b>2，所以 a＋b>4，ab>4 a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据 p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据 p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围
的推断问题．
跟踪训练 1
3．设 A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由 A∩B＝A∩C，不一定有 B＝C，
反之，由 B＝C，一定可得 A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选 B.
4．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】由 x2－1≠0，x≠1且 x≠－1，
因为“x≠－1”是“x≠1且 x≠－1”的必要不充分条件，
所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．
题型二 全称命题、特称命题的真假
5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0
C 1．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，使 >2
x
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以 A是假命题；B中当 x＝0时，x2＝0，满足 x2≤0，
所以 B既是特称命题又是真命题；C中因为 2＋(－ 2)＝0不是无理数，所以 C是假命题；
D 1 1中对于任意一个负数 x，都有 <0，不满足 >2，所以 D是假命题．
x x
6．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x>1，x2－2x－3＝0
B．若 2x为偶数，则 x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
【答案】C
【解析】对于 A，是存在量词命题，故 A不正确；
对于 B，是真命题，但不是全称量词命题，故 B不正确；
对于 C，是全称量词命题，也是真命题，故 C正确；
对于 D，是真命题，但不是全称量词命题，故 D不正确，故选 C.
跟踪训练 2
7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在实数 x，使 x2＋2<0;
③存在实数 a，使函数 y＝ax＋b的值随 x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中
对任意 x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数 x，使 x2＋2<0，为假命题；③中当实数 a大于 0时，
结论成立，为真命题；④中如 1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.
8.(多选)下列命题错误的是( )
A． x∈{－1，1}，2x＋1>0 B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0 D． x∈N，|x|≤0
【答案】ABC
【解析】对于 A，x＝－1时，不合题意，A错误；
对于 B，x＝± 3，B错误；
对于 C，比如 x＝0时，－1<0，C错误；D选项正确．
题型三 含有一个量词的命题的否定
9．设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则 p为 ( )
A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形
答案 C
解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即 p为有的正方形不
是平行四边形．
10．若命题 p： a，b∈R，方程 ax2＋b＝0恰有一解，则綈 p：________________．
【答案】 a，b∈R，方程 ax2＋b＝0无解或至少有两解
11．若命题 p的否定是“对所有正数 x， x>x＋1”，则命题 p是____________________．
答案 x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
思维升华 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
12．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )
A． x∈R，x2
1
－x＋ <0
4
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0
【答案】AC
【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除 B.再根据命题的否
定为真命题，即原命题为假命题．又 D为真命题，故选 A、C.
题型四 求参数的取值范围
13．已知集合 A＝{x|－2≤x≤10}，非空集合 B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈A是 x∈B的必
要条件，求 m的取值范围．
解 由 A＝{x|－2≤x≤10}．
由 x∈A是 x∈B的必要条件，知 B A.
1－m≤1＋m，
则 1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
∴当 0≤m≤3时，x∈A是 x∈B的必要条件，
即所求 m的取值范围是[0,3]．
若将本例中条件改为“若 x∈A是 x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围．
解 由 x∈A是 x∈B的必要不充分条件，知 B?A，
1－m≤1＋m， 1－m≤1＋m，
∴ 1－m≥－2， 或 1－m>－2，
1＋m<10 1＋m≤10，
解得 0≤m≤3或 0≤m<3，∴0≤m≤3，
故 m的取值范围是[0,3]．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出
关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
14．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠ .
(1)若命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求 m的取值范围；
(2)命题 q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求 m的取值范围．
【解析】(1)由于命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以 B A，B≠ ，
m 1 2m 1

所以 m 1 2 ，解得 2≤m≤3.

2m 1 5
(2)q为真，则 A∩B≠ ，因为 B≠ ，所以 m≥2.
m 1 5

所以 2m 1 2，解得 2≤m≤4.

m 2
跟踪训练 2
15．已知命题 p： x>0，x＋a－1＝0，若 p为假命题，则 a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】∵p为假命题，
∴綈 p为真命题，即： x>0，x＋a－1≠0，即 x≠1－a，
∴1－a≤0，则 a≥1.
∴a的取值范围是 a≥1，故选 B.
16.已知 A {x | y 1 x}，B {x | x m 1}，若 x A是 x B的必要条件，则m范围
是______.
【答案】 ( ,0]
【解析】由 A {x | y 1 x} x x 1 ， B {x | x m 1}
又∵ x A是 x B的必要条件，∴ B A，
∴m 1 1，解得m 0，即m的取值范围是 ( ,0]，
故答案为 ( ,0] .
【课堂小测】
1．“x＝1是 x2－4x＋3＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若 x＝1，则 x2－4x＋3＝0，是充分条件，
若 x2－4x＋3＝0，则 x＝1或 x＝3，不是必要条件．故选 A.
2．给出下列三个命题：
①对任意的 x∈R，x2>0；
②存在 x∈R，使得 x2≤x成立；
③对于集合 A，B，若 x∈A∩B，则 x∈A且 x∈B.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 对于①，存在 x＝0，使得 x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．
3．已知命题 p： x>0，x＋a－1＝0，若 p为假命题，则 a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】∵p为假命题，
∴綈 p为真命题，即： x>0，x＋a－1≠0，即 x≠1－a，
∴1－a≤0，则 a≥1.
∴a的取值范围是 a≥1，故选 B.
4．(多选)若－1A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 －1∵x2－x－2<0是－2∴(－1,2)?(－2，a)，∴a≥2.
∴实数 a的值可以是 2,3,4.
5．命题： x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．
答案 x∈R，x2－x＋1≠0.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以 x∈R，x2－x＋1＝0的否定是： x∈R，x2－x＋1≠0.
6．已知条件 p：x<－1或 x>3，条件 q：x<－m＋1或 x>m＋1(m>0)，若条件 p是条件 q的充
分不必要条件，则实数 m的取值范围是________．
答案 {m|0解析 由题意，设集合 A＝{x|x<－1或 x>3}，B＝{x|<－m＋1或 x>m＋1}，
因为条件 p是条件 q的充分不必要条件，即集合 A是集合 B的真子集，
－m＋1≥－1， －m＋1>－1，
所以 或 解得 m<2，
m＋1<3 m＋1≤3，
又 m>0，所以实数 m的取值范围是 0【课后作业】
1．设 a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由(a－b)a2<0可知 a2≠0，则一定有 a－b<0，即 aa＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a2．若命题 p： x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是 ( )
A． x0∈R,2x02－1<0 B． x∈R,2x2－1≥0
C． x0∈R,2x20－1≤0 D． x∈R,2x2－1<0
答案 C
解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题 p： x∈R,2x2－1>0 的否定是
“ x0∈R,2x20－1≤0”．
3．已知 p：x≥k，q：x<－1或 x>2，如果 p是 q的充分不必要条件，则实数 k的取值范围是
( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由 q：x<－1或 x>2，又 p是 q的充分不必要条件，所以 k>2，即实数 k的取值范围是(2，
＋∞)，故选 B.
1 1
4．(多选)给出四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜
x y
其中能成为 x>y的充分条件的有( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】AD
【解析】①由 xt2＞yt2可知 t2＞0，所以 x＞y，故 xt2＞yt2 x＞y；
②当 t＞0时，x＞y，当 t＜0时，x＜y，故 xt＞yt x＞y；
③由 x2＞y2，得|x|＞|y|，故 x2＞y2 x＞y；
1 1
④由 0＜ x＞y.故选 A、D.
x y
5．命题“ x∈N，x2>1”的否定是________．
答案 x∈N，x2≤1
解析 由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题 “ x∈N，x2>1”的否
定为“ x∈N，x2≤1”．
6．若 x∈{－1，m} 3是－1≤x≤ 成立的充分不必要条件，则实数 m的取值范围是________．
2
－1 3，
答案 2
1 x 3 x { 1 m} 1 x 3解析 － ≤ ≤ ，由于 ∈ － ， 是－ ≤ ≤ 的充分不必要条件，结合集合元素的互异
2 2
3
－1，
性，得到 m∈ 2 .第二讲 充分必要条件及量词
【知识梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p是 q的 条件，q是 p的 条件
p是 q的 条件 p q且 q p
p是 q的 条件 p q且 q p
p是 q的 条件 p q
p是 q的 条件 p q且 q p
2．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号
“ ”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用
符号“ ”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
对 M中任意一个 x，有
全称命题
p(x)成立
存在 M中的一个 x0，使
特称命题
p(x0)成立
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当 q是 p的必要条件时，p是 q的充分条件．( )
(2)已知集合 A，B，则 A∪B＝A∩B的充要条件是 A＝B.( )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( )
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
2．命题“ x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不
4．函数 y＝x2＋mx＋1的图象关于直线 x＝1对称的充要条件是________．
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A 1． x0∈R，x02－x0＋ <0 B．所有的正方形都是矩形
4
C． x0∈R，x20＋2x0＋2＝0 D．至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0
6．已知 p：x>a是 q：2【典型例题】
题型一 充分、必要条件的判定
1
1．“a< ”是“一元二次方程 x2－x＋a＝0有实数解”的( )
4
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2．“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
跟踪训练 1
3．设 A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．
题型二 全称命题、特称命题的真假
5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x 1，使 >2
x
6．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x>1，x2－2x－3＝0 B．若 2x为偶数，则 x∈N
C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数
跟踪训练 2
7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在实数 x，使 x2＋2<0;
③存在实数 a，使函数 y＝ax＋b的值随 x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
8.(多选)下列命题错误的是( )
A． x∈{－1，1}，2x＋1>0 B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0 D． x∈N，|x|≤0
题型三 含有一个量词的命题的否定
9．设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则 p为 ( )
A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形
10．若命题 p： a，b∈R，方程 ax2＋b＝0恰有一解，则綈 p：________________．
11．若命题 p的否定是“对所有正数 x， x>x＋1”，则命题 p是____________________．
12．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )
1
A． x∈R，x2－x＋ <0 B．所有的正方形都是矩形
4
C． x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0
题型四 求参数的取值范围
13．已知集合 A＝{x|－2≤x≤10}，非空集合 B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈A是 x∈B的必
要条件，求 m的取值范围．
14．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠ .
(1)若命题 p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求 m的取值范围；
(2)命题 q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求 m的取值范围．
跟踪训练 2
15．已知命题 p： x>0，x＋a－1＝0，若 p为假命题，则 a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
16.已知 A {x | y 1 x}，B {x | x m 1}，若 x A是 x B的必要条件，则m范围
是______.
【课堂小测】
1．“x＝1是 x2－4x＋3＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．给出下列三个命题：
①对任意的 x∈R，x2>0；
②存在 x∈R，使得 x2≤x成立；
③对于集合 A，B，若 x∈A∩B，则 x∈A且 x∈B.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知命题 p： x>0，x＋a－1＝0，若 p为假命题，则 a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
4．(多选)若－1A．1 B．2 C．3 D．4
5．命题： x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．
6．已知条件 p：x<－1或 x>3，条件 q：x<－m＋1或 x>m＋1(m>0)，若条件 p是条件 q的充
分不必要条件，则实数 m的取值范围是________．
【课后作业】
1．设 a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．若命题 p： x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是 ( )
A． x0∈R,2x20－1<0 B． x∈R,2x2－1≥0
C． x0∈R,2x20－1≤0 D． x∈R,2x2－1<0
3．已知 p：x≥k，q：x<－1或 x>2，如果 p是 q的充分不必要条件，则实数 k的取值范围是
( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
1 1
4．(多选)给出四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜
x y
其中能成为 x>y的充分条件的有( )
A．① B．② C．③ D．④
5．命题“ x∈N，x2>1”的否定是________．
6 3．若 x∈{－1，m}是－1≤x≤ 成立的充分不必要条件，则实数 m的取值范围是________．
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