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第十五讲 诱导公式
【考试要求】

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式( ， 的正弦、余弦、正切).
2
【知识梳理】
三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
2 2
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【基础自测】
1 1．若 sin(π＋α)＝ ，则 sin α＝ .
3
1
答案 －
3
解析 sin(π＋α) 1＝－sin α＝ ，
3
1
∴sin α＝－ .
3
2．已知 tan α＝6，则 tan(－α)＝ .
答案 －6
3．若 cos A 1 ＝ ，那么 sin ( A)＝ .
2 2
1
答案
2
3
4．已知 sin α 3＝ ，α为第二象限角，则 cos ( )＝ .
5 2
3
答案 －
5
5．sin 585°＝ .
2
答案 －
2
解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin 45° 2＝－ .
2
6．若α＋β π＝ 且 sin α 1＝ ，则 cos β＝ .
2 5
1
答案
5
π π
解析 因为α＋β＝ ，所以β＝ －α，
2 2
π
－α
所以 cos β＝cos 2 1＝sin α＝ .
5
【典型例题】
题型一 给角求值
1．求值：
31
(1)cos ( )； (2)sin 1 320°.
6
31 －6π 5π＋
解 (1)cos ( )＝cos 6 ＝cos 5π
6 6
π π－ π 3
＝cos 6 ＝－cos ＝－ .
6 2
(2)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60° 3＝－ .
2
练习 1
2 sin 5π tan 7π
2
． ＋ －cos ( )＝ .
6 4 3
答案 0
π π－ 2π π－
解析 原式＝sin 6 ＋tan 4 －cos 2π
3
π π
π － π－
＝sin ＋tan 4 －cos 3
6
π
＝sin －tan π＋cos π 1 1＝ －1＋ ＝0.
6 4 3 2 2
题型二 给值(式)求值
3 (1)cos －α tan 7π＋α ．化简： ；
sin π－α
(2) sin 1 440°＋α ·cos α－1 080° .
cos －180°－α ·sin －α－180°
(1)cos －α tan 7π＋α cos αtan π＋α 解 ＝
sin π－α sin α
cos α·tan α sin α
＝ ＝ ＝1.
sin α sin α
(2) sin 4×360°＋α ·cos 3×360°－α 原式＝
cos 180°＋α ·[－sin 180°＋α ]
sin α·cos －α cos α
＝ ＝ ＝－1.
－cos α ·sin α －cos α
4．(1)已知 cos(π－α) 3＝－ ，且α是第一象限角，则 sin(－2π－α)的值是( )
5
A.4 B 4．－ C．±4 D.3
5 5 5 5
答案 B
3
解析 因为 cos(π－α)＝－cos α＝－ ，
5
所以 cos α 3＝ ，
5
因为α是第一象限角，所以 sin α>0，
3
所以 sin α＝ 1－cos2α 4＝ 1－ 5 2＝ .
5
所以 sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α 4＝－ .
5

(2)已知 cos ( ) 3 5 ＝ ，则 cos ( )＝ .
6 3 6
3
答案 －
3
α 5π π α π＋ － －α
解析 cos 6 cos π 6 3＝ － ＝－cos 6 ＝－ .
3

(3)已知 sin ( ) 1 ＝ ，则 cos ( )的值为 ．
3 2 6
1
答案
2
π π－α
＋α π－
解析 cos 6 ＝cos 32
π
－α
＝sin 3 1＝ .
2
延伸探究
5π
＋α
1．将本例(3)的条件中的“－”改为“＋”，求 cos 6 的值．
5π α π π α π＋ ＋ ＋ ＋α
解 cos 6 ＝cos 2 3 ＝－sin 3 1＝－ .
2
7π
＋α
2．将本例(3)增加条件“α是第三象限角”，求 sin 6 的值．
解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，
π
－α
sin 3 1又 ＝ ，
2
π
所以 －α是第二象限角，
3
π
－α
所以 cos 3 3＝－ ，
2
7π
＋α π π π π＋ ＋α ＋α －α
所以 sin 6 ＝sin 6 ＝－sin 6 3＝－cos 3 ＝ .
2
反思感悟 解决化简求值问题的策略：
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
π π π π π 2π π
提醒：常见的互余关系有： －α与 ＋α， ＋α与 －α等；常见的互补关系有： ＋θ与 －θ， ＋
3 6 4 4 3 3 4
θ 3π与 －θ等．
4
练习 2
5．化简下列各式：
(1) cos π＋α ·sin 2π＋α ；
sin －α－π ·cos －π－α
(2) cos 190°·sin －210° .
cos －350° ·tan －585°
(1) －cos α·sin α解 原式＝
－sin π＋α ·cos π＋α
cos αsin α
＝ ＝1.
sin α·cos α
(2) cos 180°＋10° [－sin 180°＋30° ]原式＝
cos －360°＋10° [－tan 360°＋225° ]
1
－cos 10°·sin 30° － 1
＝ ＝ 2 ＝ .
cos 10°·[－tan 180°＋45° ] －tan 45° 2
6 P( 4,3) α cos α－3π ·tan α－2π ．若 － 是角 终边上一点，则 的值为 ．
sin2 π－α
5
答案 －
3
3
解析 由已知得 sin α＝ ，
5
sin α
－cos αtan α －cos α 1 5
原式＝ ＝ cos α＝－ ＝－ .
sin2α sin2α sin α 3
7 1 ．(1)已知 sin ( )＝ ，则 cos ( )的值等于( )
4 3 4
A.2 2 B 2 2 1 1．－ C. D．－
3 3 3 3
答案 D
π α π－
＋α π α π－
解析 cos 4 ＝cos
＋ 4 1
2 ＝－sin 4 ＝－ .3
5
(2) 1已知 sin ( )＝ ，那么 cos α等于( )
2 5
A 2．－ B 1 1 2．－ C. D.
5 5 5 5
答案 C
5π α 2π π π＋ ＋ ＋α ＋α 1
解析 sin 2 ＝sin 2 ＝sin 2 ＝cos α＝ .
5
题型三 同角关系式和诱导公式的综合应用
8 cos α 4．已知 ＝－ ，且α为第三象限角．
5
(1)求 sin α的值；

tan( ) sin( ) sin( )
(2)求 f ( ) 2 的值．
cos( )
解 (1)因为α为第三象限角，
所以 sin α＝－ 1－cos2α 3＝－ .
5
－tan α ·sin α·cos α
(2)f(α)＝ ＝tan α·sin α sin α＝ ·sin α
－cos α cos α
3 5
sin2α － －
＝ ＝ 5 2 9× 4 ＝－ .
cos α 20
延伸探究
7π
－α
sin 5π－α cos 2 tan －π＋α 1．本例条件不变，求 f(α)＝ 的值．
－tan －19π－α sin －α
解 f(α) sin α· －sin α ·tan α sin α 3＝ ＝ ＝－ .
tan α· －sin α 5
m 15，
2．本例条件中“cos α 4＝－ ”改为“α的终边与单位圆交于点 P 4 ”，“第三象限”
5
α π－
sin 2
改为“第二象限”，试求 3π 的值．
－α
sin π＋α －sin 2 ＋1
15
解 由题意知 m2＋ 4 2＝1，
解得 m2 1＝ ，
16
因为α为第二象限角，故 m<0，
1
所以 m＝－ ，
4
所以 sin α 15＝ ，cos α 1＝－ .
4 4
1
－cos α 4 3＋ 15
原式＝ ＝ ＝－ .
－sin α － －cos α ＋1 15 1 6
－ － ＋1
4 4
反思感悟 用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变
形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α π和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
2
练习 3

9．已知α∈(0，π)，且 cos α 15＝－ ，则 sin( )·tan(π＋α)等于( )
17 2
A 15 B.15 C 8 8．－ ．－ D.
17 17 17 17
答案 D
π
＋α
解析 sin 2 ·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且 cos α 15＝－ ，所以 sin α
17
15 π
－ ＋α
＝ 1－cos2α＝ 1－ 17 2 8 8＝ ，即 sin 2 ·tan(π＋α)＝ .故选 D.
17 17
10．已知 cos 31°＝a，则 sin 239°·tan 149°的值为( )
A.1－a
2 2
B. 1 a －1－a2 C. D．－ 1－a2
a a
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－ tan 31°)＝sin 31°＝
1－a2.
【课堂小测】
1．sin 1 050°等于( )
A.1 B 1 C. 3 3．－ D．－
2 2 2 2
答案 B
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30° 1＝－ .
2
2021
2．在平面直角坐标系 xOy中，角α的终边经过点 P(3,4)，则 sin ( )等于( )
2
A 4 3 3 4．－ B．－ C. D.
5 5 5 5
答案 B
4 3
解析 由题意知 sin α＝ ，cos α＝ ，
5 5
α 2 021π－ α π－
∴sin 2 ＝sin 2 ＝－cos α 3＝－ .
5
3．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B) B＋C A＝sin C B．sin ＝cos
2 2
C tan(A B) tan C (C ． ＋ ＝－ ) D．cos(A＋B)＝cos C
2
答案 ABC
解析 在△ABC中，有 A＋B＋C＝π，
则 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
π A
－
sin B＋C＝sin 2 2 ＝cos A，B正确．
2 2
C π≠
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C 2 ，C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．故选 ABC.
4 sin4π·cos5π． ·tan ( 4 )的值是 ．
3 6 3
3 3
答案 －
4
π π π π＋ π－ －π－
解析 原式＝sin 3 ·cos 6 ·tan 3
sinπ cosπ π－ － －tan
＝ 3 · 6 · 3
3 3
－ －
2 2 3 3＝ × ×(－ 3)＝－ .
4
17
5．sin ( ) 1＝ ，则 cos ( )＝ .
12 3 12
1
答案
3
α π－ 1
解析 由 sin 12 ＝ ，
3
α 17π＋ α 3π π＋ －
得 cos 12 ＝cos 2 12
α π－
sin 12 1＝ ＝ .
3
6 f(α) sin π－α cos 2π－α tan α＋π ．已知 ＝ .
tan －α－π sin －α－π
(1) cos ( 3 ) 1若 ＝ ，α是第三象限角，求 f(α)的值；
2 5
(2) α 31π若 ＝－ ，求 f(α)的值．
3
f(α) sin α·cos α·tan α解 ＝ ＝－cos α.
－tan α ·sin α
α 3π－
(1)cos 2 ＝－sin α 1＝ ，
5
∴sin α 1＝－ .
5
∵α是第三象限角，
1
－
∴cos α＝－ 1－ 5 2 2 6＝－ .
5
f(α) cos α 2 6＝－ ＝ .
5
31π π
－ －
(2)f(α)＝－cos 3 1＝－cos 3 ＝－ .
2
【课后作业】

1 12．已知 sin ( )＝ ，则 cos ( )等于( )
3 13 6
A. 5 B.12 C 5 D 12．－ ．－
13 13 13 13
答案 B
12
解析 因为 sin ( )＝ ，
3 13
所以 cos ( )＝sin[ ( )]
6 2 6

＝sin ( ) 12＝ .
3 13
2．若 sin(－110°)＝a，则 tan 70°等于( )
A. a B a a a．－ C. D．－
1－a2 1－a2 1＋a2 1＋a2
答案 B
解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，
∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝ 1－ －a 2＝ 1－a2，
a
∴tan 70° sin 70°＝ ＝－ .
cos 70° 1－a2
sin( 5 )cos( )cos(8 )
3．化简： 2 等于( )
sin( 3 )sin( 4 )
2
A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ
答案 A
π
＋θ
sin θ－π cos 2 cos θ －sin θ －sin θ cos θ
解析 原式＝ ＝ ＝－sin θ.
cos θsin －θ cos θ －sin θ
4 29π．求值：(1)cos ＝ ；(2)tan(－855°)＝ .
6
答案 (1) 3－ (2)1
2
5π
(1)cos 29π
4π＋
解析 ＝cos 6 ＝cos 5π
6 6
π π－
＝cos 6 π 3＝－cos ＝－ .
6 2
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
5．已知点 P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若 0°≤α<360°，则α＝ .
答案 55°
解析 由题意知 cos α＝sin 35°＝cos 55°，
sin α＝cos 35°＝sin 55°，P在第一象限，
∴α＝55°.
6．已知 sin α是方程 5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，
sin( 3 ) sin(3 ) tan 2 (2 ) tan( )
求： 2 2 的值．
cos( ) cos( )
2 2
解 ∵5x2－7x－6＝0 3的根为 x＝2或 x＝－ ，
5
∴sin α 3＝－ .
5
又∵α为第三象限角，
∴cos α＝－ 1－sin2α 4＝－ .
5
∴tan α 3＝ .
4
－cos α · －cos α ·tan2α· －tan α
∴原式＝ ＝tan α 3＝ .
sin α· －sin α 4第十五讲 诱导公式
【知识梳理】
三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π π π＋α －α π－α －α ＋α
2 2
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α
口诀
【基础自测】
1．若 sin(π α) 1＋ ＝ ，则 sin α＝ .
3
2．已知 tan α＝6，则 tan(－α)＝ .
3．若 cos A 1 ＝ ，那么 sin ( A)＝ .
2 2
4 sin α 3 α cos (3 ．已知 ＝ ， 为第二象限角，则 )＝ .
5 2
5．sin 585°＝ .
6 α β π．若 ＋ ＝ 且 sin α 1＝ ，则 cos β＝ .
2 5
【典型例题】
题型一 给角求值
1．求值：
(1)cos ( 31 )； (2)sin 1 320°.
6
练习 1
2 sin 5π tan 7π． ＋ －cos ( 2 )＝ .
6 4 3
1
题型二 给值(式)求值
3．化简：(1)cos －α tan 7π＋α ； (2) sin 1 440°＋α cos α－1 080° .
sin π－α cos －180°－α sin －α－180°
4．(1)已知 cos(π－α) 3＝－ ，且α是第一象限角，则 sin(－2π－α)的值是( )
5
A.4 B 4 4．－ C．± D.3
5 5 5 5
(2)已知 cos ( ) 3＝ ，则 cos ( 5 )＝ .
6 3 6
(3) 已知 sin ( ) 1 ＝ ，则 cos ( )的值为 ．
3 2 6
练习 2
5．化简下列各式：
(1) cos π＋α sin 2π＋α cos 190° sin －210° ； (2) .
sin －α－π cos －π－α cos －350° tan －585°
6．若 P( 4,3) α cos α－3π tan α－2π － 是角 终边上一点，则 的值为 ．
sin2 π－α
2
7 (1) sin ( ) 1 cos ( ． 已知 ＝ ，则 )的值等于( )
4 3 4
A.2 2 B 2 2．－ C.1 D 1．－
3 3 3 3
题型三 同角关系式和诱导公式的综合应用
8．已知 cos α 4＝－ ，且α为第三象限角．
5
(1)求 sin α的值；

tan( ) sin( ) sin( )
(2)求 f ( ) 2 的值．
cos( )
练习 3
9．已知α∈(0，π) 15 ，且 cos α＝－ ，则 sin( ) tan(π＋α)等于( )
17 2
A 15 B.15 8．－ C．－ D. 8
17 17 17 17
10．已知 cos 31°＝a，则 sin 239° tan 149°的值为( )
2 2
A.1－a B. 1 a2 C.a －1－ D．－ 1－a2
a a
3
【课堂小测】
1．sin 1 050°等于( )
A.1 B 1 C. 3 D 3．－ ．－
2 2 2 2
2 2021 ．在平面直角坐标系 xOy中，角α的终边经过点 P(3,4)，则 sin ( )等于( )
2
A 4 3 3 4．－ B．－ C. D.
5 5 5 5
3．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C B．sin B＋C A＝cos
2 2
C．tan(A ＋B)＝－tan C (C ) D．cos(A＋B)＝cos C
2
4．sin4π cos5π tan ( 4 )的值是 ．
3 6 3
5．sin ( ) 1＝ ，则 cos ( 17 )＝ .
12 3 12
6 f(α) sin π－α cos 2π－α tan α＋π ．已知 ＝ .
tan －α－π sin －α－π
(1)若 cos ( 3 ) 1＝ ，α是第三象限角，求 f(α)的值；
2 5
(2) α 31π若 ＝－ ，求 f(α)的值．
3
4
【课后作业】
1．已知 sin ( ) 12 ＝ ，则 cos ( )等于( )
3 13 6
A. 5 B.12 C 5 12．－ D．－
13 13 13 13
2．若 sin(－110°)＝a，则 tan 70°等于( )
A. a B a C. a a．－ D．－
1－a2 1－a2 1＋a2 1＋a2
sin( 5 )cos( )cos(8 )
3．化简： 23 等于( )sin( )sin( 4 )
2
A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ
4．求值：(1)cos 29π＝ ；(2)tan(－855°)＝ .
6
5．已知点 P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若 0°≤α<360°，则α＝ .
6．已知 sin α是方程 5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，
sin( 3 ) sin(3 ) tan2 (2 ) tan( )
求： 2 2 的值．
cos( ) cos( )
2 2
5

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