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第七讲 函数的基本性质
【考试要求】
了解函数奇偶性的含义.
【知识梳理】
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
偶函数 一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫 关于 y 轴对称
做偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
奇函数 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 关于原点对称
就叫做奇函数
2.函数奇偶性的应用
(1)用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]
上的解析式，其解决思路为：
①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
(2)奇偶性与单调性
若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单
调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相
反的单调性．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ )
(2)函数 f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( × )
(3)对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(－1)＝f(1)，则函数 f(x)一定是偶函数．( × )
(4)若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.( × )
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ x D．y＝x2，x∈(－1,1]
答案 B
3．函数 f(x) 1＝ －x 的图象关于( )
x
A．y 轴对称 B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称 D．直线 y＝x 对称
答案 C
解析 ∵f(x) 1＝ －x 是奇函数，
x
f(x) 1∴ ＝ －x 的图象关于原点对称．
x
4．若函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且 f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
5．如果奇函数 f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数 f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函
数．
6．函数 f(x)为偶函数，若 x>0时，f(x)＝x，则 x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令 x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图象(图略)可得 x<0时，f(x)＝－x.
【典型例题】
题型一 函数奇偶性的判定
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x) 1＝ ；
x
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x) x＝ ；
x－1
(4)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2.
解 (1)f(x) 1＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
x
∵f( 1 1－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，
－x x
∴f(x) 1＝ 是奇函数．
x
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为 R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x) x＝ 的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
x－1
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x) x＝ 既不是奇函数，也不是偶函数．
x－1
(4)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝ x2－1＋ 1－x2既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系．
(2)图象法．
2．设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是
( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数
D．f(|x|)g(x)是奇函数
答案 C
解析 令 F1(x)＝f(x)g(x)，
∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，
∴F1(x)为奇函数，故 A错误；
令 F2(x)＝|f(x)g(x)|，
∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|
＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，
故 F2(x)为偶函数，故 B错误；
令 F3(x)＝|f(x)|g(x)，
∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，
∴F3(x)为偶函数，故 C正确；
令 F4(x)＝f(|x|)g(x)，
∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，
∴F4(x)为偶函数，故 D错误．
练习 1
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ x；
1－x2(2)f(x)＝ ；
x
x2＋x，x>0，
(3)f(x)＝
x2－x，x<0.
解 (1)函数 f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以 f(x)＝ x是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f( x) 1－x
2
－ ＝ ＝－f(x)，
－x
所以 f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当 x>0时，－x<0，
则 f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当 x<0时，－x>0，
则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以 f(x)是偶函数．
题型二 利用函数的奇偶性求参数值
4．若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则 a＝________，b＝________.
1
答案 0
3
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以 a 1－1＝－2a，解得 a＝ .
3
又函数 f(x) 1＝ x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0.
3
5．已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则实数 a＝________.
答案 0
解析 由奇函数定义有 f(－x)＋f(x)＝0，得 a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故 a＝0.
反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数 f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用 a＋b＝0
求参数．
(2)解析式含参数：根据 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
练习 2
6．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.
答案 0
解析 方法一 显然 x∈R，
由已知得 f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝f(－x)，即 x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又 x∈R，所以 a＝0.
方法二 由题意知 f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得 a＝0.
7．已知函数 f(x)是奇函数，当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若 f(2)＝－3，则 m 的值为________．
1
答案
2
解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
1
∴m＝ .
2
题型三 函数奇偶性的应用
8．函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0时，f(x)＝－x＋1，求当 x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设 x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，
∴当 x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为－x，此时
－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即
可得所求区间上的解析式．
练习 3
9．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求 f(x)的解析式．
解 因为 x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以 f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为 f(x)是 R 上的奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
f(0)＝0.
x 1＋x ，x≥0，
所以 f(x)＝
－x x－1 ，x<0.
题型四 奇偶性与单调性的综合
命题点一 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
10．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)
的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 因为函数 f(x)为 R 上的偶函数，
所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以 f(π)>f(3)>f(2)，故 f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后
利用单调性比较大小．
命题点二 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
11 f x ．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则 <0
x
的解集为________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当 x>0时，由 f(x)<0，解得 x>3；
当 x<0时，由 f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
1
12．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)( )
1 2 1 2
， ，
A. 3 3 B. 3 3
1 2 1 2
， ，
C. 2 3 D. 2 3
答案 A
1
解析 由于 f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式 f(2x－1)1
即－ <2x－1<1，
3 3
1
解得 3 3
反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式
中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
练习 4
13．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和 f(－10)关系不定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(－10)＝f(10)14．定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f(x)的图象
重合，设 a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)； ④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
答案 ①③⑤
解析 f(x)为 R 上奇函数，增函数，且 a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．
又 g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．
15．设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若 f(1－m)值范围．
解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是减函数，
所以 f(x)在[－2,2]上是减函数．
1－m>m，
所以不等式 f(1－m)－2≤1－m≤2，
1
解得－1≤m< .
2
1 1－ ，
所以实数 m 的取值范围为 2 .
【课堂小测】
1．下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；
1 1
③f(x)＝x＋ ； ④f(x)＝ .
x x2
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
2．若 f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则 a 的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为 R 上的奇函数，
∴f(0)＝0得 a＝1.
3．(多选)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
答案 BD
解析 由奇函数的定义 f(－x)＝－f(x)验证，
A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
D项，f(－x)＋(－x)＝－[ f(x)＋x]，为奇函数．
可知 BD正确．
4．已知函数 f(x)为偶函数，且当 x<0时，f(x)＝x＋1，则 x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当 x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又 f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
5．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为 f(2)＝0，
所以 f(x－1)>0可化为 f(|x－1|)>f(2)．
又因为 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－1－x2＋2x，x>0，
6．已知函数 f(x)＝ 0，x＝0， 是奇函数．
x2＋mx，x<0
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
解 (1)设 x<0，则－x>0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以 m＝2.
a－2>－1，
(2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知 所以 1a－2≤1，
故实数 a 的取值范围是(1,3]．
【课后作业】
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C 2．y＝－x2＋1 D．y＝－
x
答案 B
解析 对于函数 y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以 y＝|x|＋1是偶函数，当 x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增．
另外，函数 y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y 2＝－ 不是偶函数．故
x
选 B.
x2＋x，x≥0，
2．设函数 f(x)＝ 且 f(x)为偶函数，则 g(－2)等于( )
g x ，x<0，
A．6 B．－6 C．2 D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
3．设 f(x)是定义在 R 上的一个函数，则函数 F(x)＝f(x)－f(－x)在 R 上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 A
解析 F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数
4．若 f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
答案 f(－2)解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即 f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即 f(－2)5．已知 y＝f(x)＋x2是奇函数且 f(1)＝1，若 g(x)＝f(x)＋2，则 g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
6 b．已知函数 f(x)＝ax＋ ＋c(a，b，c 是常数) 5 17是奇函数，且满足 f(1)＝ ，f(2)＝ .
x 2 4
(1)求 a，b，c 的值；
0 1，
(2)试判断函数 f(x)在区间 2 上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
b b
∴－ax－ ＋c＝－ax－ －c，
x x
c 0 f(x) ax b∴ ＝ ，∴ ＝ ＋ .
x
又∵f(1) 5 17＝ ，f(2)＝ ，
2 4
a＋b 5＝ ，
2
∴
2a b 17＋ ＝ .
2 4
a 2 b 1∴ ＝ ， ＝ .
2
综上，a＝2 b 1， ＝ ，c＝0.
2
(2)由(1)可知 f(x)＝2x 1＋ .
2x
0 1，
函数 f(x)在区间 2 上为减函数．
证明如下：
任取 02
则 f(x1)
1 1
－f(x2)＝2x1＋ －2x2－
2x1 2x2
2 1－
＝(x1－x2) 2x1x2
＝(x1－x )
4x1x2－1
2 .
2x1x2
∵02
∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
0 1，
∴f(x)在 2 上为减函数．第七讲 函数的奇偶性
【考试要求】
了解函数奇偶性的含义.
【知识梳理】
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
偶函数 一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就 关于 对称
叫做偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
奇函数 一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就 关于 对称
叫做奇函数
2.函数奇偶性的应用
(1)用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]
上的解析式，其解决思路为：
①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
(2)奇偶性与单调性
若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单
调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相
反的单调性．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )
(2)函数 f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( )
(3)对于定义在 R上的函数 f(x)，若 f(－1)＝f(1)，则函数 f(x)一定是偶函数．( )
(4)若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.( )
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ x D．y＝x2，x∈(－1,1]
3．函数 f(x) 1＝ －x 的图象关于( )
x
A．y 轴对称 B．直线 y＝－x 对称 C．坐标原点对称 D．直线 y＝x 对称
4．若函数 f(x)是 R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1) B．f(－3)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－3) D．f(1)>f(－3)>f(0)
5．如果奇函数 f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数 f(x)在区间[3,7]上是________函数．
6．函数 f(x)为偶函数，若 x>0时，f(x)＝x，则 x<0时，f(x)＝________.
【典型例题】
题型一 函数奇偶性的判定
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x) 1＝ ；
x
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x) x＝ ；
x－1
(4)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2.
2．设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是
( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数 D．f(|x|)g(x)是奇函数
练习 1
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ x；
2
(2)f(x) 1－x＝ ；
x
x2＋x，x>0，
(3)f(x)＝
x2－x，x<0.
题型二 利用函数的奇偶性求参数值
4．若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则 a＝________，b＝________.
5．已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则实数 a＝________.
练习 2
6．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.
7．已知函数 f(x)是奇函数，当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若 f(2)＝－3，则 m 的值为________．
题型三 函数奇偶性的应用
8．函数 f(x)是定义域为 R的奇函数，当 x>0时，f(x)＝－x＋1，求当 x<0时，f(x)的解析式．
练习 3
9．已知 f(x)是 R上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求 f(x)的解析式．
题型四 奇偶性与单调性的综合
10．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)
的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)11．已知 f(x) f x 是定义在 R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则 <0
x
的解集为________．
12 1．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)3
( )
A. (1 , 2) B.[1 , 2) C. (1 , 2) D.[1 , 2)
3 3 3 3 2 3 2 3
练习 4
13．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和 f(－10)关系不定
14．定义在 R上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f(x)的图象
重合，设 a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)
①f(a)>f(－b)；
②f(－a)>f(b)；
③g(a)>g(－b)；
④g(－a)⑤g(－a)>f(－a)．
15．设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若 f(1－m)值范围．
【课堂小测】
1．下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；③f(x) 1＝x＋ ； ④f(x) 1＝ 2.x x
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若 f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则 a 的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
3．(多选)已知 y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
4．已知函数 f(x)为偶函数，且当 x<0时，f(x)＝x＋1，则 x>0时，f(x)＝________.
5．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围是________．
－x2＋2x，x>0，
6．已知函数 f(x)＝ 0，x＝0， 是奇函数．
x2＋mx，x<0
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．
【课后作业】
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y 2＝－x2＋1 D．y＝－
x
x2 x, x 0
2．设函数 f(x)＝ 且 f(x)为偶函数，则 g(－2)等于( )
g(x), x 0
A．6 B．－6 C．2 D．－2
3．设 f(x)是定义在 R上的一个函数，则函数 F(x)＝f(x)－f(－x)在 R上一定( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
4．若 f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
5．已知 y＝f(x)＋x2是奇函数且 f(1)＝1，若 g(x)＝f(x)＋2，则 g(－1)＝________.
6 b．已知函数 f(x)＝ax＋ ＋c(a，b，c 5 17是常数)是奇函数，且满足 f(1)＝ ，f(2)＝ .
x 2 4
(1)求 a，b，c 的值；
(2) 1试判断函数 f(x)在区间 (0, )上的单调性并证明．
2

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