高一数学 第5讲 函数的概念及其表示 学案 (pdf版,学生版+教师版)

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高一数学 第5讲 函数的概念及其表示 学案 (pdf版,学生版+教师版)

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第五讲 函数的概念及其表示
【知识梳理】
1.函数的概念
一般地,设 A,B是非空的 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意
一个数 x在集合 B中都有 的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合 A到集合
B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)在函数 y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围 A叫做函数的 ;与 x的值相
对应的 y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的 .
(2)如果两个函数的 相同,并且 完全一致,我们就称这两个函数相等.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 .
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种
函数称为分段函数.
(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A到 B的函数.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )
(3)y= x-3+ 2-x是一个函数.( )
(4)函数 y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( )
2 x.函数 f(x)= 1+x+ 的定义域是( )
1-x
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1] C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)
3.已知 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的定义域为________,值域为________.
x 1, x 0,
4.设 f (x) 1, x 0, 则 f(f(0))等于( )

1, x 0,
A.1 B.0 C.2 D.-1
5.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
6.已知 f( x)=x+ x-1,则 f(x)=________.
【典型例题】
题型一 函数定义域
1.求下列函数的定义域.
(1)y 1=3- x;
2
(2)y=2 x- 1-7x;
x+1 0
(3)y= ;
x+2
(4)y 1 1= 2x+3- + .
2-x x
2.已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],求 f(2x2-2)的定义域.
跟踪训练 1
3.函数 f(x) x= 的定义域为________.
x-1
4.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f(2x)的定义域是( )
A.[0,2] B.[0,1] C.[0,4] D.(0,1)
题型二 求函数解析式
5.求下列函数的解析式:
(1)已知函数 f( x+1)=x+2 x,求 f(x);
(2)已知函数 f(x)是二次函数,且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).
跟踪训练 2
6.已知 f(x2+2)=x4+4x2,则 f(x)的解析式为________________.
7.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1,则 f(x)=________.
题型三 分段函数
x 1, x 2,
8 f (x) x2 2x, 2 x 2 f( 5) f( 3) f ( f ( 5.已知函数 ,试求 - , - , ))的值.
2
2x 1, x 2
x+1,x∈[-1,0],
9.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的图象是( )
x2+1,x∈ 0,1],
跟踪训练 3
x2,-1≤x≤1,
10.已知 f(x)=
1,x>1或 x<-1.
1
(1)求 f(2), f ( f ( ));
2
(2)若 f(x) 1= ,求 x的值;
4
(3)若 f(x) 1≥ ,求 x的取值范围.
4
11.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是______________.
【课堂小测】
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函数 f(x-1)=x2-3,则 f(2)的值为( )
3.(多选)已知函数 f(x)={x+2,x≤-1, x2,-1( )
A.f(x)的定义域为 R B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若 f(x)=3,则 x的值是 3 D.f(x)<1的解集为(-1,1)
1
x 1, x 0,
4.设函数 f(x) 2= 若 f(a)>1,则实数 a的取值范围是________.
1
, x 0. x
5.若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _.
3x 5, x 0,
6 .已知函数 f(x)的解析式为 f(x)= x 5,0 x 1,

2x 8, x 1.
(1)求 f (3) f ( 1, ), f ( 1)的值;
2
(2)画出这个函数的图象;
(3)求 f(x)的最大值.
【课后作业】
x 2, x 1,
1.设 f(x) = 2 x , 1 x 2,若 f(x)=3,则 x等于( )

2x, x 2.
A.1 B.± 3 C.3 D. 3
2
2.如图,△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形,平面图形 OBD是四分之一圆的扇形,
点 P在线段 AB上,PQ⊥AB,且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q,设 AP=x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y,则函数 y=f(x)的大致图象是( )
2,-1≤x≤1,
3.已知函数 f(x)= 若 f(1-x)=2,则 x的取值范围是( )
4-x,x<-1或 x>1,
A. B.[0,2] C.[-2,0] D.{-1}∪[0,2]
4.若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是 .
5.已知 a,b为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=________.
6.已知函数 f(x)=1 |x|-x+ (-22
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x);
(2)画出函数 f(x)的图象;
(3)写出函数 f(x)的值域.第五讲 函数的概念及其表示
【考试要求】
1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
【知识梳理】
1.函数的概念
一般地,设 A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一
个数 x在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合 A到集合 B
的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)在函数 y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围 A叫做函数的定义域;与 x的值相
对应的 y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种
函数称为分段函数.
(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A到 B的函数.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × )
(3)y= x-3+ 2-x是一个函数.( × )
(4)函数 y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( × )
2.函数 f(x) x= 1+x+ 的定义域是( )
1-x
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]
C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)
答案 D
1+x≥0, x≥-1,
解析 由 解得
1-x≠0, x≠1.
故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),故选 D.
3.已知 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的定义域为________,值域为________.
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 [-2,4]∪[5,8] [-4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合.
x+1,x>0,
4.设 f(x)= 1,x=0, 则 f(f(0))等于( )
-1,x<0,
A.1 B.0 C.2 D.-1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
5.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
答案 C
解析 A选项中的值域不满足,B选项中的定义域不满足,D选项不是函数的图象,由函数
的定义可知选项 C正确.
6.已知 f( x)=x+ x-1,则 f(x)=________.
答案 x2+x-1,x≥0
解析 令 t= x,则 t≥0,x=t2,
∴f(t)=t2+t-1(t≥0),
∴f(x)=x2+x-1,x≥0.
【典型例题】
题型一 函数定义域
1.求下列函数的定义域.
(1)y 1=3- x;
2
(2)y=2 x- 1-7x;
x+1 0
(3)y= ;
x+2
(4)y= 2x+3 1 1- + .
2-x x
解 (1)函数 y 3 1= - x的定义域为 R.
2
x≥0,
(2)由 得 0≤x 1≤ ,
1-7x≥0, 7
0 1,
所以函数 y=2 x- 1-7x的定义域为 7 .
(3)由于 0的零次幂无意义,
故 x+1≠0,即 x≠-1.
又 x+2>0,即 x>-2,
所以 x>-2且 x≠-1.
x+1 0
所以函数 y= 的定义域为{x|x>-2且 x≠-1 }.
x+2
2x+3≥0,
(4)要使函数有意义,需 2-x>0,
x≠0,
3
解得- ≤x<2,且 x≠0,
2
1 | 31 - ≤x<2,且 x≠0所以函数 y= 2x+3- + 的定义域为 x 2 .
2-x x
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若 f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;
(2)若 f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;
(3)若 f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;
(4)若 f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;
(5)若 f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
2.已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],求 f(2x2-2)的定义域.
解 ∵f(x+1)的定义域为[-2,3],
∴-1≤x+1≤4.令 t=x+1,∴-1≤t≤4,
∴f(t)的定义域为[-1,4],
即 f(x)的定义域为[-1,4].
要使 f(2x2-2)有意义,需使-1≤2x2-2≤4,
2 2
∴- 3≤x≤- 或 ≤x≤ 3.
2 2
∴函数 f(2x2-2)的定义域为
|- 3≤x 2 2≤- 或 ≤x≤ 3x 2 2 .
跟踪训练 1
3.函数 f(x) x= 的定义域为________.
x-1
答案 {x|x≥0且 x≠1}
x x≥0,
解析 要使 有意义,需满足
x-1 x-1≠0,
解得 x≥0且 x≠1,
故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0且 x≠1}.
4.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f(2x)的定义域是( )
A.[0,2] B.[0,1]
C.[0,4] D.(0,1)
答案 B
解析 ∵y=f(x)的定义域是[0,2],
∴要使 g(x)=f(2x)有意义,
需 0≤2x≤2,即 0≤x≤1.
题型二 求函数解析式
5.求下列函数的解析式:
(1)已知函数 f( x+1)=x+2 x,求 f(x);
(2)已知函数 f(x)是二次函数,且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).
解 (1)方法一 (换元法)
设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1).
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二 (配凑法)
∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1,
∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1),
∴f(x)=x2-1(x≥1).
(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1.
又∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
整理,得 2ax+(a+b)=2x.
由恒等式的性质,知上式中对应项的系数相等,
2a=2, a=1,
∴ 解得 ∴f(x)=x2-x+1.
a+b=0, b=-1,
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式可用换元法(或“配
凑法”),即令 g(x)=t,反解出 x,然后代入 f(g(x))中求出 f(t),从而求出 f(x).
(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,
再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
跟踪训练 2
6.已知 f(x2+2)=x4+4x2,则 f(x)的解析式为________________.
答案 f(x)=x2-4(x≥2)
解析 因为 f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,
令 t=x2+2(t≥2),则 f(t)=t2-4(t≥2),
所以 f(x)=x2-4(x≥2).
7.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1,则 f(x)=________.
1
答案 2x- 或-2x+1
3
解析 因为 f(x)是一次函数,设 f(x)=ax+b(a≠0),
则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又因为 f(f(x))=4x-1,所以 a2x+ab+b=4x-1.
a=2,
a2=4, a=-2,
所以 解得
ab+b=-1, b
1 或
=-
3 b=1.
所以 f(x)=2x 1- 或 f(x)=-2x+1.
3
题型三 分段函数
x 1, x 2,
8.已知函数 f (x) 2 x 2x, 2 x 2
5
,试求 f(-5),f(- 3), f ( f ( ))的值.
2
2x 1, x 2
5
解 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),- ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4,
2
f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3.
5

f 2 5 1 3因为 =- + =- ,
2 2
2< 3- - <2,
2
5 3
- -
所以 f f 2 =f 2
3 3

= 2 2

+2× 2
9 3
= -3=- .
4 4
延伸探究
1.本例条件不变,若 f(a)=3,求实数 a的值.
解 ①当 a≤-2时,f(a)=a+1,所以 a+1=3,
所以 a=2>-2不合题意,舍去.
②当-2即 a2+2a-3=0.
所以(a-1)(a+3)=0,
所以 a=1或 a=-3.
因为 1∈(-2,2),-3 (-2,2),
所以 a=1符合题意.
③当 a≥2时,2a-1=3,所以 a=2符合题意.
综合①②③,当 f(a)=3时,a=1或 a=2.
2.本例条件不变,若 f(x)>3,求 x的取值范围.
解 ①当 x≤-2时,x+1>3得 x>2,
又 x≤-2,所以 x∈ .
②当-23得 x>1或 x<-3,
又-2③当 x≥2时,2x-1>3,得 x>2,
又 x≥2,所以 x>2,
综上有 x的取值范围是 12.
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②代入该段的解析式求值,当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值的方法.
先对 x的取值范围分类讨论,然后代入不同的解析式,解方程求解,注意需检验所求的值是
否在所讨论的区间内.
x+1,x∈[-1,0],
9.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的图象是( )
x2+1,x∈ 0,1],
答案 A
解析 当 x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当 x=0时,y=1,即图象过点(0,1),
C错;当 x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选 A.
跟踪训练 3
x2,-1≤x≤1,
10.已知 f(x)=
1,x>1或 x<-1.
(1)求 f(2), f ( f (1 ));
2
(2)若 f(x) 1= ,求 x的值;
4
(3)若 f(x) 1≥ ,求 x的取值范围.
4
1 1
解 (1)f(2)=1,f 2 = 2 2 1= ,
4
1 1
所以 f f 2 =f 4 1= .
16
-1≤x≤1, x>1或 x<-1,
(2)f(x) 1= 等价于 1 ①或 1 ②
4 x2= , 1= .4 4
解①得 x=±1,②的解集为 .
2
∴当 f(x) 1 1= 时,x=± .
4 2
(3)∵f(x) 1≥ ,
4
-1≤x≤1, x>1或 x<-1,
∴ x2 1 或 1 1≥ ≥ ,
4 4
解得 x 1 x 1≥ 或 ≤- ,
2 2
1 1
-∞,- ,+∞
∴x的取值范围是 2 ∪ 2
11.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是______________.
x+1,-1≤x<0,
答案 f(x)=
-x,0≤x≤1
解析 由图可知,图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成,
当-1≤x<0时,设 f(x)=ax+b(a≠0),
将(-1,0),(0,1)代入解析式,
-a+b=0, a=1,
则 ∴ ∴f(x)=x+1.
b=1. b=1.
当 0≤x≤1时,设 f(x)=kx(k≠0),
将(1,-1)代入,则 k=-1.∴f(x)=-x.
x+1,-1≤x<0,
即 f(x)=
-x,0≤x≤1.
【课堂小测】
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 图象①关于 x轴对称,x>0 时,每一个 x对应 2 个 y,图象②中 x0对应 2 个 y,所以
①②均不是函数图象;图象③④是函数图象.
2.已知函数 f(x-1)=x2-3,则 f(2)的值为( )
A.-2 B.6 C.1 D.0
答案 B
解析 令 t=x-1,则 x=t+1,
∴f(t)=(t+1)2-3=t2+2t-2,
∴f(2)=22+2×2-2=6.
3.(多选)已知函数 f(x)={x+2,x≤-1, x2,-1( )
A.f(x)的定义域为 R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若 f(x)=3,则 x的值是 3
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
【答案】BC
【解析】由题意知函数 f(x)的定义域为(-∞,2),故 A错误;当 x≤-1时,f(x)的取值范围
是(-∞,1],当-1当 x≤-1时,x+2=3,解得 x=1(舍去).当-1去),故 C正确;当 x≤-1时,x+2<1,解得 x<-1,当-1因此 f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故 D错误.故选 B、C.
1x-1,x≥0,
2
4.设函数 f(x)= 1 若 f(a)>1,则实数 a的取值范围是________.
,x<0,
x
答案 (4,+∞)
1
解析 当 a≥0时,f(a)= a-1>1,
2
解得 a>4,符合 a≥0;
当 a<0时,f(a) 1= >1,无解.
a
故 a>4.
5.若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _.
3x+5,x≤0,
6.已知函数 f(x)的解析式为 f(x)= x+5,0-2x+8,x>1.
(1) f (3求 ), f ( 1 ), f ( 1)的值;
2
(2)画出这个函数的图象;
(3)求 f(x)的最大值.
(1) 3解 ∵ >1,
2
3
∴f 2 3=-2× +8=5.
2
0<1∵ <1,
π
1
f π 1 5 5π+1∴ = + = .
π π
∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数 f(x)=3x+5的图象上截取 x≤0的部分,
在函数 f(x)=x+5的图象上截取 0在函数 f(x)=-2x+8的图象上截取 x>1的部分.
图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象.
(3)由函数图象可知,当 x=1时,f(x)取最大值 6.
【课后作业】
x+2,x≤-1,
1.设 f(x)= x2,-12x,x≥2,
A.1 B.± 3 C.3 D. 3
2
答案 D
x≤-1, x≤-1,
解析 若 即 无解.
x+2=3, x=1,
-1若 即 ∴x= 3.
x2=3, x=± 3,
x≥2,
x≥2,
若 即 3 无解.
2x=3, x= ,2
故 x= 3.
2.如图,△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形,平面图形 OBD是四分之一圆的扇形,
点 P在线段 AB上,PQ⊥AB,且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q,设 AP=x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y,则函数 y=f(x)的大致图象是( )
答案 A
解析 观察可知阴影部分的面积 y的变化情况为:(1)当 0且增加的速度越来越快.(2)当 1析四个选项中的图象,只有选项 A符合条件.
2,-1≤x≤1,
3.已知函数 f(x)= 若 f(1-x)=2,则 x的取值范围是( )
4-x,x<-1或 x>1,
A. B.[0,2]
C.[-2,0] D.{-1}∪[0,2]
答案 D
解析 当-1≤1-x≤1,即 0≤x≤2时,f(1-x)=2,满足条件,
所以 0≤x≤2,
当 1-x<-1或 1-x>1 即 x<0 或 x>2 时,f(1-x)=4-(1-x)=x+3=2,解得 x=-1,满足
条件,
综上有 0≤x≤2或 x=-1.
4.若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是___________ _.
5.已知 a,b为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=________.
答案 2
解析 ∵f(x)=x2+4x+3,
∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3
=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3
=x2+10x+24,
a2=1, a=1, a=-1,
∴ 2ab+4a=10, ∴ 或b=3 b=-7.
b2+4b+3=24,
∴5a-b=2.
6.已知函数 f(x) 1 |x|-x= + (-22
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x);
(2)画出函数 f(x)的图象;
(3)写出函数 f(x)的值域.
(1) 0 x 2 f(x) 1 x-x解 当 ≤ ≤ 时, = + =1,
2
当-22
1,0≤x≤2,
所以 f(x)=
1-x,-2(2)函数 f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).

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