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第五讲 函数的概念及其表示
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设 A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意
一个数 x在集合 B中都有 的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合
B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的 ；与 x的值相
对应的 y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 ．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A到 B的函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
(3)y＝ x－3＋ 2－x是一个函数．( )
(4)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( )
2 x．函数 f(x)＝ 1＋x＋ 的定义域是( )
1－x
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．已知 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域为________，值域为________．
x 1, x 0,
4．设 f (x) 1, x 0, 则 f(f(0))等于( )

1, x 0,
A．1 B．0 C．2 D．－1
5．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
6．已知 f( x)＝x＋ x－1，则 f(x)＝________.
【典型例题】
题型一 函数定义域
1．求下列函数的定义域．
(1)y 1＝3－ x；
2
(2)y＝2 x－ 1－7x；
x＋1 0
(3)y＝ ；
x＋2
(4)y 1 1＝ 2x＋3－ ＋ .
2－x x
2．已知函数 f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求 f(2x2－2)的定义域．
跟踪训练 1
3．函数 f(x) x＝ 的定义域为________．
x－1
4．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2] B．[0,1] C．[0,4] D．(0,1)
题型二 求函数解析式
5．求下列函数的解析式：
(1)已知函数 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)；
(2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)．
跟踪训练 2
6．已知 f(x2＋2)＝x4＋4x2，则 f(x)的解析式为________________．
7．已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x))＝4x－1，则 f(x)＝________.
题型三 分段函数
x 1, x 2,
8 f (x) x2 2x, 2 x 2 f( 5) f( 3) f ( f ( 5．已知函数 ，试求 － ， － ， ))的值．
2
2x 1, x 2
x＋1，x∈[－1，0]，
9．已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)的图象是( )
x2＋1，x∈ 0，1]，
跟踪训练 3
x2，－1≤x≤1，
10．已知 f(x)＝
1，x>1或 x<－1.
1
(1)求 f(2)， f ( f ( ))；
2
(2)若 f(x) 1＝ ，求 x的值；
4
(3)若 f(x) 1≥ ，求 x的取值范围．
4
11．已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是______________．
【课堂小测】
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数 f(x－1)＝x2－3，则 f(2)的值为( )
3．(多选)已知函数 f(x)＝{x＋2，x≤－1， x2，－1( )
A．f(x)的定义域为 R B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若 f(x)＝3，则 x的值是 3 D．f(x)<1的解集为(－1,1)
1
x 1, x 0,
4．设函数 f(x) 2＝ 若 f(a)>1，则实数 a的取值范围是________．
1
, x 0. x
5．若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _.
3x 5, x 0,
6 ．已知函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x 5,0 x 1,

2x 8, x 1.
(1)求 f (3) f ( 1， )， f ( 1)的值；
2
(2)画出这个函数的图象；
(3)求 f(x)的最大值．
【课后作业】
x 2, x 1,
1．设 f(x) ＝ 2 x , 1 x 2,若 f(x)＝3，则 x等于( )

2x, x 2.
A．1 B．± 3 C.3 D. 3
2
2．如图，△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形，平面图形 OBD是四分之一圆的扇形，
点 P在线段 AB上，PQ⊥AB，且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q，设 AP＝x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 y＝f(x)的大致图象是( )
2，－1≤x≤1，
3．已知函数 f(x)＝ 若 f(1－x)＝2，则 x的取值范围是( )
4－x，x<－1或 x>1，
A． B．[0,2] C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]
4．若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是 .
5．已知 a，b为常数，若 f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则 5a－b＝________.
6．已知函数 f(x)＝1 |x|－x＋ (－22
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x)；
(2)画出函数 f(x)的图象；
(3)写出函数 f(x)的值域．第五讲 函数的概念及其表示
【考试要求】
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一
个数 x在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B
的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相
对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A到 B的函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)y＝ x－3＋ 2－x是一个函数．( × )
(4)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( × )
2．函数 f(x) x＝ 1＋x＋ 的定义域是( )
1－x
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 D
1＋x≥0， x≥－1，
解析 由 解得
1－x≠0， x≠1.
故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选 D.
3．已知 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的定义域为________，值域为________．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
x＋1，x>0，
4．设 f(x)＝ 1，x＝0， 则 f(f(0))等于( )
－1，x<0，
A．1 B．0 C．2 D．－1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
5．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
答案 C
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数
的定义可知选项 C正确．
6．已知 f( x)＝x＋ x－1，则 f(x)＝________.
答案 x2＋x－1，x≥0
解析 令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2，
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，
∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
【典型例题】
题型一 函数定义域
1．求下列函数的定义域．
(1)y 1＝3－ x；
2
(2)y＝2 x－ 1－7x；
x＋1 0
(3)y＝ ；
x＋2
(4)y＝ 2x＋3 1 1－ ＋ .
2－x x
解 (1)函数 y 3 1＝ － x的定义域为 R.
2
x≥0，
(2)由 得 0≤x 1≤ ，
1－7x≥0， 7
0 1，
所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为 7 .
(3)由于 0的零次幂无意义，
故 x＋1≠0，即 x≠－1.
又 x＋2>0，即 x>－2，
所以 x>－2且 x≠－1.
x＋1 0
所以函数 y＝ 的定义域为{x|x>－2且 x≠－1 }.
x＋2
2x＋3≥0，
(4)要使函数有意义，需 2－x>0，
x≠0，
3
解得－ ≤x＜2，且 x≠0，
2
1 | 31 － ≤x＜2，且 x≠0所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋ 的定义域为 x 2 .
2－x x
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
2．已知函数 f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求 f(2x2－2)的定义域．
解 ∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令 t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即 f(x)的定义域为[－1,4]．
要使 f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
2 2
∴－ 3≤x≤－ 或 ≤x≤ 3.
2 2
∴函数 f(2x2－2)的定义域为
|－ 3≤x 2 2≤－ 或 ≤x≤ 3x 2 2 .
跟踪训练 1
3．函数 f(x) x＝ 的定义域为________．
x－1
答案 {x|x≥0且 x≠1}
x x≥0，
解析 要使 有意义，需满足
x－1 x－1≠0，
解得 x≥0且 x≠1，
故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0且 x≠1}．
4．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)的定义域是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C．[0,4] D．(0,1)
答案 B
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使 g(x)＝f(2x)有意义，
需 0≤2x≤2，即 0≤x≤1.
题型二 求函数解析式
5．求下列函数的解析式：
(1)已知函数 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)；
(2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)
设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)
∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1，
∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得 2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
2a＝2， a＝1，
∴ 解得 ∴f(x)＝x2－x＋1.
a＋b＝0， b＝－1，
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式可用换元法(或“配
凑法”)，即令 g(x)＝t，反解出 x，然后代入 f(g(x))中求出 f(t)，从而求出 f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，
再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
跟踪训练 2
6．已知 f(x2＋2)＝x4＋4x2，则 f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x2－4(x≥2)
解析 因为 f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令 t＝x2＋2(t≥2)，则 f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以 f(x)＝x2－4(x≥2)．
7．已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x))＝4x－1，则 f(x)＝________.
1
答案 2x－ 或－2x＋1
3
解析 因为 f(x)是一次函数，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为 f(f(x))＝4x－1，所以 a2x＋ab＋b＝4x－1.
a＝2，
a2＝4， a＝－2，
所以 解得
ab＋b＝－1， b
1 或
＝－
3 b＝1.
所以 f(x)＝2x 1－ 或 f(x)＝－2x＋1.
3
题型三 分段函数
x 1, x 2,
8．已知函数 f (x) 2 x 2x, 2 x 2
5
，试求 f(－5)，f(－ 3)， f ( f ( ))的值．
2
2x 1, x 2
5
解 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－ ∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
2
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
5
－
f 2 5 1 3因为 ＝－ ＋ ＝－ ，
2 2
2< 3－ － <2，
2
5 3
－ －
所以 f f 2 ＝f 2
3 3
－
＝ 2 2
－
＋2× 2
9 3
＝ －3＝－ .
4 4
延伸探究
1．本例条件不变，若 f(a)＝3，求实数 a的值．
解 ①当 a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以 a＋1＝3，
所以 a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即 a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以 a＝1或 a＝－3.
因为 1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，
所以 a＝1符合题意．
③当 a≥2时，2a－1＝3，所以 a＝2符合题意．
综合①②③，当 f(a)＝3时，a＝1或 a＝2.
2．本例条件不变，若 f(x)>3，求 x的取值范围．
解 ①当 x≤－2时，x＋1>3得 x>2，
又 x≤－2，所以 x∈ .
②当－23得 x>1或 x<－3，
又－2③当 x≥2时，2x－1>3，得 x>2，
又 x≥2，所以 x>2，
综上有 x的取值范围是 12.
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值的方法．
先对 x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是
否在所讨论的区间内．
x＋1，x∈[－1，0]，
9．已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)的图象是( )
x2＋1，x∈ 0，1]，
答案 A
解析 当 x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当 x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，
C错；当 x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选 A.
跟踪训练 3
x2，－1≤x≤1，
10．已知 f(x)＝
1，x>1或 x<－1.
(1)求 f(2)， f ( f (1 ))；
2
(2)若 f(x) 1＝ ，求 x的值；
4
(3)若 f(x) 1≥ ，求 x的取值范围．
4
1 1
解 (1)f(2)＝1，f 2 ＝ 2 2 1＝ ，
4
1 1
所以 f f 2 ＝f 4 1＝ .
16
－1≤x≤1， x>1或 x<－1，
(2)f(x) 1＝ 等价于 1 ①或 1 ②
4 x2＝ ， 1＝ .4 4
解①得 x＝±1，②的解集为 .
2
∴当 f(x) 1 1＝ 时，x＝± .
4 2
(3)∵f(x) 1≥ ，
4
－1≤x≤1， x>1或 x<－1，
∴ x2 1 或 1 1≥ ≥ ，
4 4
解得 x 1 x 1≥ 或 ≤－ ，
2 2
1 1
－∞，－ ，＋∞
∴x的取值范围是 2 ∪ 2
11．已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是______________．
x＋1，－1≤x<0，
答案 f(x)＝
－x，0≤x≤1
解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
－a＋b＝0， a＝1，
则 ∴ ∴f(x)＝x＋1.
b＝1. b＝1.
当 0≤x≤1时，设 f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则 k＝－1.∴f(x)＝－x.
x＋1，－1≤x<0，
即 f(x)＝
－x，0≤x≤1.
【课堂小测】
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 图象①关于 x轴对称，x>0 时，每一个 x对应 2 个 y，图象②中 x0对应 2 个 y，所以
①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．
2．已知函数 f(x－1)＝x2－3，则 f(2)的值为( )
A．－2 B．6 C．1 D．0
答案 B
解析 令 t＝x－1，则 x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
3．(多选)已知函数 f(x)＝{x＋2，x≤－1， x2，－1( )
A．f(x)的定义域为 R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若 f(x)＝3，则 x的值是 3
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
【答案】BC
【解析】由题意知函数 f(x)的定义域为(－∞，2)，故 A错误；当 x≤－1时，f(x)的取值范围
是(－∞，1]，当－1当 x≤－1时，x＋2＝3，解得 x＝1(舍去)．当－1去)，故 C正确；当 x≤－1时，x＋2<1，解得 x<－1，当－1因此 f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故 D错误．故选 B、C.
1x－1，x≥0，
2
4．设函数 f(x)＝ 1 若 f(a)>1，则实数 a的取值范围是________．
，x<0，
x
答案 (4，＋∞)
1
解析 当 a≥0时，f(a)＝ a－1>1，
2
解得 a>4，符合 a≥0；
当 a<0时，f(a) 1＝ >1，无解．
a
故 a>4.
5．若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _.
3x＋5，x≤0，
6．已知函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x＋5，0－2x＋8，x>1.
(1) f (3求 )， f ( 1 )， f ( 1)的值；
2
(2)画出这个函数的图象；
(3)求 f(x)的最大值．
(1) 3解 ∵ >1，
2
3
∴f 2 3＝－2× ＋8＝5.
2
0<1∵ <1，
π
1
f π 1 5 5π＋1∴ ＝ ＋ ＝ .
π π
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数 f(x)＝3x＋5的图象上截取 x≤0的部分，
在函数 f(x)＝x＋5的图象上截取 0在函数 f(x)＝－2x＋8的图象上截取 x>1的部分．
图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当 x＝1时，f(x)取最大值 6.
【课后作业】
x＋2，x≤－1，
1．设 f(x)＝ x2，－12x，x≥2，
A．1 B．± 3 C.3 D. 3
2
答案 D
x≤－1， x≤－1，
解析 若 即 无解．
x＋2＝3， x＝1，
－1若 即 ∴x＝ 3.
x2＝3， x＝± 3，
x≥2，
x≥2，
若 即 3 无解．
2x＝3， x＝ ，2
故 x＝ 3.
2.如图，△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形，平面图形 OBD是四分之一圆的扇形，
点 P在线段 AB上，PQ⊥AB，且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q，设 AP＝x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 y＝f(x)的大致图象是( )
答案 A
解析 观察可知阴影部分的面积 y的变化情况为：(1)当 0且增加的速度越来越快．(2)当 1析四个选项中的图象，只有选项 A符合条件．
2，－1≤x≤1，
3．已知函数 f(x)＝ 若 f(1－x)＝2，则 x的取值范围是( )
4－x，x<－1或 x>1，
A． B．[0,2]
C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]
答案 D
解析 当－1≤1－x≤1，即 0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，
所以 0≤x≤2，
当 1－x<－1或 1－x>1 即 x<0 或 x>2 时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得 x＝－1，满足
条件，
综上有 0≤x≤2或 x＝－1.
4．若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是___________ _.
5．已知 a，b为常数，若 f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则 5a－b＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3
＝x2＋10x＋24，
a2＝1， a＝1， a＝－1，
∴ 2ab＋4a＝10， ∴ 或b＝3 b＝－7.
b2＋4b＋3＝24，
∴5a－b＝2.
6．已知函数 f(x) 1 |x|－x＝ ＋ (－22
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x)；
(2)画出函数 f(x)的图象；
(3)写出函数 f(x)的值域．
(1) 0 x 2 f(x) 1 x－x解 当 ≤ ≤ 时， ＝ ＋ ＝1，
2
当－22
1，0≤x≤2，
所以 f(x)＝
1－x，－2(2)函数 f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

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