资源简介 第五讲 函数的概念及其表示【知识梳理】1.函数的概念一般地,设 A,B是非空的 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数 x在集合 B中都有 的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合 A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数 y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围 A叫做函数的 ;与 x的值相对应的 y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的 .(2)如果两个函数的 相同,并且 完全一致,我们就称这两个函数相等.3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、 和 .4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A到 B的函数.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )(3)y= x-3+ 2-x是一个函数.( )(4)函数 y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( )2 x.函数 f(x)= 1+x+ 的定义域是( )1-xA.[-1,+∞) B.(-∞,-1] C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)3.已知 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的定义域为________,值域为________. x 1, x 0,4.设 f (x) 1, x 0, 则 f(f(0))等于( ) 1, x 0,A.1 B.0 C.2 D.-15.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )6.已知 f( x)=x+ x-1,则 f(x)=________.【典型例题】题型一 函数定义域1.求下列函数的定义域.(1)y 1=3- x;2(2)y=2 x- 1-7x; x+1 0(3)y= ;x+2(4)y 1 1= 2x+3- + .2-x x2.已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],求 f(2x2-2)的定义域.跟踪训练 13.函数 f(x) x= 的定义域为________.x-14.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f(2x)的定义域是( )A.[0,2] B.[0,1] C.[0,4] D.(0,1)题型二 求函数解析式5.求下列函数的解析式:(1)已知函数 f( x+1)=x+2 x,求 f(x);(2)已知函数 f(x)是二次函数,且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).跟踪训练 26.已知 f(x2+2)=x4+4x2,则 f(x)的解析式为________________.7.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1,则 f(x)=________.题型三 分段函数 x 1, x 2,8 f (x) x2 2x, 2 x 2 f( 5) f( 3) f ( f ( 5.已知函数 ,试求 - , - , ))的值. 2 2x 1, x 2x+1,x∈[-1,0],9.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的图象是( )x2+1,x∈ 0,1],跟踪训练 3x2,-1≤x≤1,10.已知 f(x)=1,x>1或 x<-1.1(1)求 f(2), f ( f ( ));2(2)若 f(x) 1= ,求 x的值;4(3)若 f(x) 1≥ ,求 x的取值范围.411.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是______________.【课堂小测】1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.42.已知函数 f(x-1)=x2-3,则 f(2)的值为( )3.(多选)已知函数 f(x)={x+2,x≤-1, x2,-1( )A.f(x)的定义域为 R B.f(x)的值域为(-∞,4)C.若 f(x)=3,则 x的值是 3 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 1 x 1, x 0,4.设函数 f(x) 2= 若 f(a)>1,则实数 a的取值范围是________. 1 , x 0. x5.若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _. 3x 5, x 0,6 .已知函数 f(x)的解析式为 f(x)= x 5,0 x 1, 2x 8, x 1.(1)求 f (3) f ( 1, ), f ( 1)的值;2 (2)画出这个函数的图象;(3)求 f(x)的最大值.【课后作业】 x 2, x 1,1.设 f(x) = 2 x , 1 x 2,若 f(x)=3,则 x等于( ) 2x, x 2.A.1 B.± 3 C.3 D. 322.如图,△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形,平面图形 OBD是四分之一圆的扇形,点 P在线段 AB上,PQ⊥AB,且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q,设 AP=x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y,则函数 y=f(x)的大致图象是( )2,-1≤x≤1,3.已知函数 f(x)= 若 f(1-x)=2,则 x的取值范围是( )4-x,x<-1或 x>1,A. B.[0,2] C.[-2,0] D.{-1}∪[0,2]4.若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是 .5.已知 a,b为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=________.6.已知函数 f(x)=1 |x|-x+ (-22(1)用分段函数的形式表示函数 f(x);(2)画出函数 f(x)的图象;(3)写出函数 f(x)的值域.第五讲 函数的概念及其表示【考试要求】1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念一般地,设 A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数 x在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合 A到集合 B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数 y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围 A叫做函数的定义域;与 x的值相对应的 y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A到 B的函数.( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × )(3)y= x-3+ 2-x是一个函数.( × )(4)函数 y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( × )2.函数 f(x) x= 1+x+ 的定义域是( )1-xA.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.R D.[-1,1)∪(1,+∞)答案 D1+x≥0, x≥-1,解析 由 解得1-x≠0, x≠1.故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),故选 D.3.已知 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的定义域为________,值域为________.考点 函数图象题点 函数图象的应用答案 [-2,4]∪[5,8] [-4,3]解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合.x+1,x>0,4.设 f(x)= 1,x=0, 则 f(f(0))等于( )-1,x<0,A.1 B.0 C.2 D.-1考点 分段函数题点 分段函数求值答案 C5.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )答案 C解析 A选项中的值域不满足,B选项中的定义域不满足,D选项不是函数的图象,由函数的定义可知选项 C正确.6.已知 f( x)=x+ x-1,则 f(x)=________.答案 x2+x-1,x≥0解析 令 t= x,则 t≥0,x=t2,∴f(t)=t2+t-1(t≥0),∴f(x)=x2+x-1,x≥0.【典型例题】题型一 函数定义域1.求下列函数的定义域.(1)y 1=3- x;2(2)y=2 x- 1-7x; x+1 0(3)y= ;x+2(4)y= 2x+3 1 1- + .2-x x解 (1)函数 y 3 1= - x的定义域为 R.2x≥0,(2)由 得 0≤x 1≤ ,1-7x≥0, 70 1,所以函数 y=2 x- 1-7x的定义域为 7 .(3)由于 0的零次幂无意义,故 x+1≠0,即 x≠-1.又 x+2>0,即 x>-2,所以 x>-2且 x≠-1. x+1 0所以函数 y= 的定义域为{x|x>-2且 x≠-1 }.x+22x+3≥0,(4)要使函数有意义,需 2-x>0,x≠0,3解得- ≤x<2,且 x≠0,21 | 31 - ≤x<2,且 x≠0所以函数 y= 2x+3- + 的定义域为 x 2 .2-x x反思与感悟 求函数定义域的常用依据(1)若 f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;(2)若 f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若 f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;(4)若 f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;(5)若 f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.2.已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],求 f(2x2-2)的定义域.解 ∵f(x+1)的定义域为[-2,3],∴-1≤x+1≤4.令 t=x+1,∴-1≤t≤4,∴f(t)的定义域为[-1,4],即 f(x)的定义域为[-1,4].要使 f(2x2-2)有意义,需使-1≤2x2-2≤4,2 2∴- 3≤x≤- 或 ≤x≤ 3.2 2∴函数 f(2x2-2)的定义域为|- 3≤x 2 2≤- 或 ≤x≤ 3x 2 2 .跟踪训练 13.函数 f(x) x= 的定义域为________.x-1答案 {x|x≥0且 x≠1}x x≥0,解析 要使 有意义,需满足x-1 x-1≠0,解得 x≥0且 x≠1,故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0且 x≠1}.4.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f(2x)的定义域是( )A.[0,2] B.[0,1]C.[0,4] D.(0,1)答案 B解析 ∵y=f(x)的定义域是[0,2],∴要使 g(x)=f(2x)有意义,需 0≤2x≤2,即 0≤x≤1.题型二 求函数解析式5.求下列函数的解析式:(1)已知函数 f( x+1)=x+2 x,求 f(x);(2)已知函数 f(x)是二次函数,且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).解 (1)方法一 (换元法)设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1).∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).方法二 (配凑法)∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1,∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1).(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1.又∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理,得 2ax+(a+b)=2x.由恒等式的性质,知上式中对应项的系数相等,2a=2, a=1,∴ 解得 ∴f(x)=x2-x+1.a+b=0, b=-1,反思感悟 求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令 g(x)=t,反解出 x,然后代入 f(g(x))中求出 f(t),从而求出 f(x).(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.跟踪训练 26.已知 f(x2+2)=x4+4x2,则 f(x)的解析式为________________.答案 f(x)=x2-4(x≥2)解析 因为 f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,令 t=x2+2(t≥2),则 f(t)=t2-4(t≥2),所以 f(x)=x2-4(x≥2).7.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1,则 f(x)=________.1答案 2x- 或-2x+13解析 因为 f(x)是一次函数,设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又因为 f(f(x))=4x-1,所以 a2x+ab+b=4x-1.a=2,a2=4, a=-2,所以 解得ab+b=-1, b1 或=-3 b=1.所以 f(x)=2x 1- 或 f(x)=-2x+1.3题型三 分段函数 x 1, x 2,8.已知函数 f (x) 2 x 2x, 2 x 25,试求 f(-5),f(- 3), f ( f ( ))的值. 2 2x 1, x 25解 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),- ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4,2f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3.5-f 2 5 1 3因为 =- + =- ,2 22< 3- - <2,25 3- -所以 f f 2 =f 23 3-= 2 2-+2× 29 3= -3=- .4 4延伸探究1.本例条件不变,若 f(a)=3,求实数 a的值.解 ①当 a≤-2时,f(a)=a+1,所以 a+1=3,所以 a=2>-2不合题意,舍去.②当-2即 a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0,所以 a=1或 a=-3.因为 1∈(-2,2),-3 (-2,2),所以 a=1符合题意.③当 a≥2时,2a-1=3,所以 a=2符合题意.综合①②③,当 f(a)=3时,a=1或 a=2.2.本例条件不变,若 f(x)>3,求 x的取值范围.解 ①当 x≤-2时,x+1>3得 x>2,又 x≤-2,所以 x∈ .②当-23得 x>1或 x<-3,又-2③当 x≥2时,2x-1>3,得 x>2,又 x≥2,所以 x>2,综上有 x的取值范围是 12.反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间.②代入该段的解析式求值,当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值的方法.先对 x的取值范围分类讨论,然后代入不同的解析式,解方程求解,注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内.x+1,x∈[-1,0],9.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的图象是( )x2+1,x∈ 0,1],答案 A解析 当 x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当 x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当 x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选 A.跟踪训练 3x2,-1≤x≤1,10.已知 f(x)=1,x>1或 x<-1.(1)求 f(2), f ( f (1 ));2(2)若 f(x) 1= ,求 x的值;4(3)若 f(x) 1≥ ,求 x的取值范围.41 1解 (1)f(2)=1,f 2 = 2 2 1= ,41 1所以 f f 2 =f 4 1= .16-1≤x≤1, x>1或 x<-1,(2)f(x) 1= 等价于 1 ①或 1 ②4 x2= , 1= .4 4解①得 x=±1,②的解集为 .2∴当 f(x) 1 1= 时,x=± .4 2(3)∵f(x) 1≥ ,4-1≤x≤1, x>1或 x<-1,∴ x2 1 或 1 1≥ ≥ ,4 4解得 x 1 x 1≥ 或 ≤- ,2 21 1-∞,- ,+∞∴x的取值范围是 2 ∪ 211.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是______________.x+1,-1≤x<0,答案 f(x)=-x,0≤x≤1解析 由图可知,图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成,当-1≤x<0时,设 f(x)=ax+b(a≠0),将(-1,0),(0,1)代入解析式,-a+b=0, a=1,则 ∴ ∴f(x)=x+1.b=1. b=1.当 0≤x≤1时,设 f(x)=kx(k≠0),将(1,-1)代入,则 k=-1.∴f(x)=-x.x+1,-1≤x<0,即 f(x)=-x,0≤x≤1.【课堂小测】1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 图象①关于 x轴对称,x>0 时,每一个 x对应 2 个 y,图象②中 x0对应 2 个 y,所以①②均不是函数图象;图象③④是函数图象.2.已知函数 f(x-1)=x2-3,则 f(2)的值为( )A.-2 B.6 C.1 D.0答案 B解析 令 t=x-1,则 x=t+1,∴f(t)=(t+1)2-3=t2+2t-2,∴f(2)=22+2×2-2=6.3.(多选)已知函数 f(x)={x+2,x≤-1, x2,-1( )A.f(x)的定义域为 RB.f(x)的值域为(-∞,4)C.若 f(x)=3,则 x的值是 3D.f(x)<1的解集为(-1,1)【答案】BC【解析】由题意知函数 f(x)的定义域为(-∞,2),故 A错误;当 x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1当 x≤-1时,x+2=3,解得 x=1(舍去).当-1去),故 C正确;当 x≤-1时,x+2<1,解得 x<-1,当-1因此 f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故 D错误.故选 B、C.1x-1,x≥0,24.设函数 f(x)= 1 若 f(a)>1,则实数 a的取值范围是________.,x<0,x答案 (4,+∞)1解析 当 a≥0时,f(a)= a-1>1,2解得 a>4,符合 a≥0;当 a<0时,f(a) 1= >1,无解.a故 a>4.5.若函数 y f (x 1)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (2x 1)的定义域是________ _.3x+5,x≤0,6.已知函数 f(x)的解析式为 f(x)= x+5,0-2x+8,x>1.(1) f (3求 ), f ( 1 ), f ( 1)的值;2 (2)画出这个函数的图象;(3)求 f(x)的最大值.(1) 3解 ∵ >1,23∴f 2 3=-2× +8=5.20<1∵ <1,π1f π 1 5 5π+1∴ = + = .π π∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.(2)这个函数的图象如图.在函数 f(x)=3x+5的图象上截取 x≤0的部分,在函数 f(x)=x+5的图象上截取 0在函数 f(x)=-2x+8的图象上截取 x>1的部分.图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象.(3)由函数图象可知,当 x=1时,f(x)取最大值 6.【课后作业】x+2,x≤-1,1.设 f(x)= x2,-12x,x≥2,A.1 B.± 3 C.3 D. 32答案 Dx≤-1, x≤-1,解析 若 即 无解.x+2=3, x=1,-1若 即 ∴x= 3.x2=3, x=± 3,x≥2,x≥2,若 即 3 无解.2x=3, x= ,2故 x= 3.2.如图,△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形,平面图形 OBD是四分之一圆的扇形,点 P在线段 AB上,PQ⊥AB,且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q,设 AP=x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y,则函数 y=f(x)的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积 y的变化情况为:(1)当 0且增加的速度越来越快.(2)当 1析四个选项中的图象,只有选项 A符合条件.2,-1≤x≤1,3.已知函数 f(x)= 若 f(1-x)=2,则 x的取值范围是( )4-x,x<-1或 x>1,A. B.[0,2]C.[-2,0] D.{-1}∪[0,2]答案 D解析 当-1≤1-x≤1,即 0≤x≤2时,f(1-x)=2,满足条件,所以 0≤x≤2,当 1-x<-1或 1-x>1 即 x<0 或 x>2 时,f(1-x)=4-(1-x)=x+3=2,解得 x=-1,满足条件,综上有 0≤x≤2或 x=-1.4.若函数 y f (x)的定义域是[ 2,3] ,则 y f (3x 1)的定义域是___________ _.5.已知 a,b为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=________.答案 2解析 ∵f(x)=x2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,a2=1, a=1, a=-1,∴ 2ab+4a=10, ∴ 或b=3 b=-7.b2+4b+3=24,∴5a-b=2.6.已知函数 f(x) 1 |x|-x= + (-22(1)用分段函数的形式表示函数 f(x);(2)画出函数 f(x)的图象;(3)写出函数 f(x)的值域.(1) 0 x 2 f(x) 1 x-x解 当 ≤ ≤ 时, = + =1,2当-221,0≤x≤2,所以 f(x)=1-x,-2(2)函数 f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第5讲 函数的概念及其表示 学生版.pdf 第5讲 函数的概念及其表示 教师版.pdf