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第八讲 幂函数与二次函数
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．
(2)五个幂函数的图象
(3)五个幂函数的性质
1
y －＝x y＝x2 y＝x3 y x 2 y＝x
1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
(4)一般幂函数的图象特征
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．
②当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1
时，幂函数的图象 ；当 0<α<1时，幂函数的图象 ．
③当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y＝x对称．
⑤在第一象限，作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数
按从 到 的顺序排列．
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
值域
单调性
对称性
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1

(1)函数 y 3x 3 是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
2
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n] 4ac－b的最值一定是 .( )
4a
(4)二次函数 y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是 m≥－2.( )
2 1 2．已知幂函数 f(x)＝k xα的图象过点 ( , )，则 k＋α等于( )
2 2
A.1 B．1 C.3 D．2
2 2
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
2
5 f (x) xa 10a 23．幂函数 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则 a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．函数 y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数 a的取值范围是________．
【典型例题】
题型一 幂函数的图象与性质
1 1．若幂函数的图象经过点 (2, )，则它的单调递增区间是( )
4
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
2
2．已知幂函数 f (x)＝(n2＋2n－2)xn －3n (n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调
递减，则 n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或 2
3 －．若幂函数 y＝x 1，y＝xm与 y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n的取值情况为
( )
A．－12 2
1 1

4．若 (a＋1) 3 (3 2a) 3 ，则实数 a的取值范围是____________．
题型二 二次函数的图象和性质
5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
6．函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0]
7．已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值 4，求实数 a的值．
练习 1
8．一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
9．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f ( 3 )，f( 3)的大小关系是
2
( )
A．f( 2)2 2
C．f( 3)2 2
10．设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
题型三 二次函数的恒成立问题
11．已知 a是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3在 x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a的取值范围
是________．
练习 2
12．已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足：当 x≥0 时，f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m＋mt2)
对任意实数 t恒成立，则实数 m的取值范围是________．
【课堂小测】
1
1．函数 y x3的图象是( )
2 22．若幂函数 f (x) (m 4m 4) xm 6m 8在(0，＋∞)上为增函数，则 m的值为( )
A．1或 3 B．1 C．3 D．2
3．(多选)已知函数 f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数 m的取值范围为
( )
A．0 B．[－3,0] C．3 D．－3
4 1 1．已知α∈{ 2, 1, , ,1,2,3}，若幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则
2 2
α＝________.
5．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足 f(－x)＝f(－1＋x)，则函数 f(x)
在[－1,3]上的值域为________．
6．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a的值．
【课后作业】
1．若 f(x) f 4 1是幂函数，且满足 ＝3，则 f ( )等于( )
f 2 2
A．3 B．－3 C.1 D 1．－
3 3
2．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
3．(多选)若二次函数 y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 k的取值可以是
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数 f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数 k的取值范围是________．
5．已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0成立，则实数 m的取
值范围是___________．
6．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过点(－2,1)，且方程 f(x)＝0有且只有一个根，求 f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[3,5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数 k的取值范围．第八讲 幂函数与二次函数
【考试要求】
1.了解幂函数的概念.
1
2.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3 y 1， ＝ ， y x2 的图象，了解它们的变化情况.
x
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．
(2)五个幂函数的图象
(3)五个幂函数的性质
1
y＝x y＝x2 y＝x3 －y x 2 y＝x
1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0，＋∞) 上增， 在(0，＋∞)上减，
单调性 增 增 增
在(－∞，0] 上减 在(－∞，0)上减
公共点 (1,1)
(4)一般幂函数的图象特征
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，
幂函数的图象下凸；当 0<α<1时，幂函数的图象上凸．
③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y＝x对称．
⑤在第一象限，作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数
按从小到大的顺序排列．
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
4ac－b2 4ac－b2
值域 ，＋∞ －∞，
4a 4a
b b
－∞，－ －∞，－
在 x∈ 2a 上单调递减； 在 x∈ 2a 上单调递增；
单调性
b b
－ ，＋∞ － ，＋∞
在 x∈ 2a 上单调递增 在 x∈ 2a 上单调递减
b
对称性 函数的图象关于直线 x＝－ 对称
2a
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1

(1)函数 y 3x 3是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
2
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m n] 4ac－b， 的最值一定是 .( × )
4a
(4)二次函数 y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是 m≥－2.( √ )
1 2
，
2．已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点 2 2 ，则 k＋α等于( )
A.1 B．1 C.3 D．2
2 2
答案 C
k＝1，
1
解析 由幂函数的定义，知 2
＝k· 2 α.
2
k 1 α 1∴ ＝ ， ＝ . 3∴k＋α＝ .
2 2
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c答案 D
4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
答案 [－1,3]
解析 由 g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
得 g(x)在[0,1]上是减函数，
在[1,3]上是增函数，
所以 g(x)min＝g(1)＝－1，
因为 g(0)＝0，g(3)＝3，
所以 g(x)在 x∈[0,3]上的值域为[－1,3]．
2
5．幂函数 f (x) xa 10a 23 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a等于
( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为 a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
2
f (x) x (a 5) 2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而 a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是 a＝5，故选 C.
6．函数 y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪[4，＋∞)
解析 函数 y＝x2－ax＋1 a的对称轴为 x＝ ，
2
a a
则 ≤－1或 ≥2，解得 a≤－2或 a≥4.
2 2
【典型例题】
题型一 幂函数的图象与性质
1．若幂函数的图象经过点 (2, 1)，则它的单调递增区间是( )
4
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案 D
1
解析 设 f(x)＝xα，则 2α＝ ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故
4
选 D.
2 f (x)＝(n2
2
．已知幂函数 ＋2n－2)x n －3n (n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调
递减，则 n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或 2
答案 B
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1或 n＝－3，经检验只有 n＝1符合
题意，故选 B.
3 －．若幂函数 y＝x 1，y＝xm与 y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n的取值情况为
( )
A 1 1．－12 2
答案 D
解析 幂函数 y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且 0<α<1时，图象上凸，∴0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令 x＝2，由图象得 2－1<2n，则－1综上可知，－11 1

4．若 (a＋1) 3 (3 2a) 3 ，则实数 a的取值范围是____________．
2 3
，
答案 (－∞，－1)∪ 3 2
1 1

解析 不等式 (a＋1) 3 (3 2a) 3 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a2 3
解得 a<－1或 3 2
题型二 二次函数的图象和性质
命题点 1 二次函数的图象
5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
答案 ①②⑤
b
解析 由题图知，a<0，－ >0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与 x
2a
轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知 f(－1)<0，即 a－b＋c<0，故⑤正确．
命题点 2 二次函数的单调性
6．函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当 a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当 a≠0时，f(x) 3－a的对称轴为直线 x＝ ，
2a
a<0，
由 f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知 3－a
≤－1，
2a
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则 a＝________.
答案 －3
解析 由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0，
3－a
又 ＝－1，∴a＝－3.
2a
命题点 3 二次函数的值域、最值
7．已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值 4，求实数 a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当 a＝0时，函数 f(x)在区间[－1,2]上的值为常数 1，不符合题意，舍去；
(2)当 a>0 3时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为 f(2)＝8a＋1＝4，解得 a＝ ；
8
(3)当 a<0时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为 f(－1)＝1－a＝4，解得 a＝－3.
综上可知，a 3的值为 或－3.
8
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，
再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无
论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象
的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
练习 1
8．一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，
故可排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向
b
下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－ <0，而二次函数的对称轴在
2a
y轴的右侧，故应排除 B，选 C.
3
9．二次函数 f(x)＝ax2
－
＋bx＋c(x∈R)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 2 ，f( 3)的大小关系是
( )
3
－
A．f( 2)3
－
B．f 2 3
－
C．f( 3)3
－
D．f( 2)答案 D
解析 由已知可得二次函数 f(x)图象的开口向上，对称轴为直线 x＝1，
| 3－ －1∵ 2 |>| 3－1|>| 2－1|，
3
－
∴f( 2)10．设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
当 t<1＝1；
当 t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为 f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当 t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当 0题型三 二次函数的恒成立问题
11．已知 a是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a的取值范围
是________．
1
－∞，
答案 2
解析 由题意知 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当 x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
1 1
x 0 a<3
－ 1
当 ≠ 时， x 3 2－ ，
2 6
1
因为 ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
x
所以当 x＝1 1时，不等号右边式子取最小值 ，
2
所以 a<1.
2
1
－∞，
综上，实数 a的取值范围是 2 .
练习 2
12．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x≥0 时，f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m＋mt2)
对任意实数 t恒成立，则实数 m的取值范围是________．
答案 (－∞，－ 2)
解析 由题意知 f(x)在 R 上是增函数，结合 f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数 t恒成立，知－4t>2m
＋mt2对任意实数 t恒成立，
m<0，
∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数 t恒成立 m∈(－∞，－ 2)．
Δ＝16－8m2<0
【课堂小测】
1
1．函数 y x3的图象是( )
答案 B
1 1
，
解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，8 2 ，可排除 C，故选 B.
2
2 f (x) (m2 4m 4) xm 6m 8．若幂函数 在(0，＋∞)上为增函数，则 m的值为( )
A．1或 3 B．1 C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得 m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得 m＝1.
3．(多选)已知函数 f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3 的值域为[0，＋∞)，则实数 m的取值范围为
( )
A．0 B．[－3,0] C．3 D．－3
答案 AD
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，
则 m＝0或 m＝－3.∴实数 m的取值范围是{0，－3}．
1 1
4．已知α∈{ 2, 1, , ,1,2,3}，若幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则
2 2
α＝________.
答案 －1
解析 ∵α∈{ 2, 1 1 1, , ,1,2,3}，
2 2
幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.
5．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象过坐标原点，且满足 f(－x)＝f(－1＋x)，则函数 f(x)
在[－1,3]上的值域为________．
1
－ ，12
答案 4
解析 因为函数 f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以 f(0)＝0，所以 b＝0.
因为 f(－x)＝f(－1＋x)，
所以函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x 1＝－ ，
2
x 1＋ 1
所以 a＝1，所以 f(x)＝x2＋x＝ 2 2－ ，
4
1
－ 1
由 f(x)的图象知，x∈[－1,3]时，f(x)min＝f 2 ＝－ ，f(x)max＝f(3)＝12.
4
1
－ ，12
故 f(x)的值域为 4 .
6．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a的值．
解 (1)当 a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为直线 x 3＝－ ∈[－2,3]，
2
3
－
∴f(x) 9 9 21min＝f 2 ＝ － －3＝－ ，
4 2 4
f(x)max＝f(3)＝15，
21
－ ，15
∴f(x)的值域为 4 .
(2) 2a－1函数图象的对称轴为直线 x＝－ .
2
2a－1 1
①当－ ≤1，即 a≥－ 时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
2 2
∴6a＋3 1＝1，即 a＝－ ，满足题意；
3
2a－1
②当－ >1，
2
a< 1即 － 时，
2
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
综上可知，a 1＝－ 或－1.
3
【课后作业】
1 f 4 1．若 f(x)是幂函数，且满足 ＝3，则 f ( )等于( )
f 2 2
A．3 B．－3 C.1 D 1．－
3 3
答案 C
α
解析 设 f(x)＝xα 4，则 ＝2α＝3，
2α
1 1
∴f 2 2 α 1＝ ＝ .
3
2．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx b＋c图象的对称轴为直线 x＝－ ＝2，∴4a＋b＝0，
2a
又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，
∴f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.
3．(多选)若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 k的取值可以是
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 CD
解析 二次函数 y＝kx2－4x＋2 2图象的对称轴为直线 x＝ ，当 k>0 时，要使函数 y＝kx2－4x
k
＋2在区间[1,2] 2 2上是增函数，只需 ≤1，解得 k≥2；当 k<0 时， <0，此时抛物线的对称轴在
k k
区间[1,2]的左侧，则函数 y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数
k的取值范围是[2，＋∞)．
4．已知函数 f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数 k的取值范围是________．
答案 (－16,8)
解析 函数 f(x)＝4x2＋kx－8 k k的对称轴为直线 x＝－ ，则－1<－ <2，
8 8
解得－165．已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实数 m的取
值范围是_____________________________________________________________．
2
－ ，0
答案 2
解析 因为函数图象开口向上，
f m ＝m2＋m2－1<0，
所以根据题意只需满足
f m＋1 ＝ m＋1 2＋m m＋1 －1<0，
2
解得－ 2
6．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过点(－2,1)，且方程 f(x)＝0有且只有一个根，求 f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[3,5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数 k的取值范围．
解 (1)因为 f(－2)＝1，即 4a－2b＋1＝1，所以 b＝2a.
因为方程 f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以 4a2－4a＝0，所以 a＝1，b＝2.
所以 f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
x k－2 k－2－
＝x2－(k－2)x＋1＝ 2 2＋1－ 2 2.
由 g(x)的图象知，要满足题意，
k－2 5 k－2则 ≥ 或 ≤3，即 k≥12或 k≤8，
2 2
所以所求实数 k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)．

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