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第十九讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【考试要求】
1.结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx φ)(A>0 振幅 周期 频率 相位 初相＋ ，
ω>0)，x≥0 2πA T＝ f
1 ω
＝ ＝ ωx＋φ
ω T 2π φ
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
π φ 3π0－φ － π－φ －φ 2π－φ
x 2 2
ω ω ω ω ω
ωx＋φ π 3π0 π 2π
2 2
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) π将函数 y＝sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y＝cos x的图象．( √ )
2
(2)将函数 y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的 2倍，便得到函数 y＝2sin x的图象．( √ )
(3)把 y＝sin x 1的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析
2
式为 y＝sin 1x.( × )
2

(4) y π将 ＝sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到 y＝sin (2x )的图象．( √ )
6 3
2．函数 y＝3sin (1 x )的初相为________．
2 6
π
答案 －
6
3．函数 y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应的
函数解析式是________．
答案 y 1＝sin x
2
解析 根据函数图象变换法则可得．
4．函数 y＝cos x(x∈R) π的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 y＝g(x)的图象，则 g(x)的
2
解析式应为( )
A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin x C．g(x)＝－cos x D．g(x)＝cos x
答案 A
x π＋
解析 将 y＝cos x π向左平移 个单位长度得 y＝cos 2 ＝－sin x.
2
5．将曲线 C1：y＝2cos (2x

) π上的点向右平移 个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来
6 6
1
的 ，纵坐标不变，得到曲线 C2，则 C2的方程为( )
2

A．y＝2sin 4x B．y＝2sin (4x ) C．y＝2sin x D．y＝2sin (x )
3 3
答案 A
2x π－ π
解析 将曲线 C1：y＝2cos 6 上的点向右平移 个单位长度，可得 y＝2sin 2x的图象，再
6
1
将各点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得曲线 C2：y＝2sin 4x，故选 A.
2
6．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0) π图象的一条对称轴是直线 x＝ ，则φ的值为_____．
6
5
答案 － π
6
π π
解析 由题意知 2× ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，
6 2
π
所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，
6
又－π<φ<0，
所以φ 5＝－ π.
6
【典型例题】
题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1．要得到函数 y＝sin (2x )的图象，只要将函数 y＝sin 2x的图象( )
3
A π π．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
C π D π．向左平移 个单位长度 ．向右平移 个单位长度
6 6
答案 C
2x π x π＋ ＋
解析 因为 y＝sin 3 ＝sin 2 6 ，
所以将函数 y＝sin 2x π的图象向左平移 个单位长度，
6
x π＋ 2x π＋
就可得到函数 y＝sin 2 6 ＝sin 3 的图

2．已知函数 y 1＝ sin (2x )，x∈R.
2 6
(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解 (1)列表：
2x π π 3π＋
6 0 π 2π2 2
π π 5π 2π 11π
x －12 6 12 3 12

y 1＝ sin (2x ) 1 10 0 －2 02 6 2
描点、连线，如图所示．
x π＋
(2)函数 y＝sin x π的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y＝sin 6 的图象，再保持纵坐标
6
2x π1 ＋
不变，把横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 y＝sin 6 的图象，再保持横坐标不变，把
2
1 1 2x
π
＋
纵坐标缩短为原来的 倍，得到函数 y＝ sin 6 的图象．
2 2
反思感悟 由函数 y＝sin x的图象通过变换得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
练习 1
3．由 y＝2sin (6x ) π的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到
6 3
原来的 2倍，所得图象对应的函数解析式为( )

A．y＝2sin (3x ) B．y＝2sin (3x ) C．y＝2sin (3x ) D．y＝2sin (12x )
6 6 12 6
答案 A
π x π＋6x－
y 2sin 6 π y 2sin
6 3 π－
解析 由 ＝ 的图象向左平移 个单位长度，可得 ＝ 6 ＝3
6x π π＋2π－ 6x－
2sin 6 ＝2sin 6 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，
3x π π－ 3x－
得到 y＝2sin 6 的图象，故所得图象对应的函数解析式为 y＝2sin 6 ，选 A.
4．说明 y ＝－2sin (2x )＋1的图象是由 y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
6
解 方法一 先伸缩后平移
各点的纵坐标伸长到原来的 2倍
y＝sin x的图象――――――――――――→
且关于 x轴作对称变换
1
各点的横坐标缩短到原来的
y＝－2sin x的图象――――――――――――2 →
π
向右平移 个单位长度
y＝－2sin 2x的图象―――――12――――→
2x π－ 向上平移 1个单位长度
y＝－2sin 6 的图象―――――――――→
2x π－
y＝－2sin 6 ＋1的图象．
方法二 先平移后伸缩
各点的纵坐标伸长到原来的 2倍
y＝sin x的图象―――――――――――――→
且关于 x轴作对称变换
π
向右平移 个单位长度
y＝－2sin x的图象――――6――――→
x π－ 各点的横坐标缩短到
y＝－2sin 6 的图象――――――1――→
原来的
2
2x π－ 向上平移 1个单位长度
y＝－2sin 6 的图象―――――――――→
2x π－
y＝－2sin 6 ＋1的图象．
题型二 由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

5．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A 0, 0,| | )的图象的一部分，求此函数的解析式．
2
解 方法一 逐一定参法
由图象知 A＝3，
π
T 5π
－
＝ － 6 ＝π，
6
2π
∴ω＝ ＝2，
T
∴y＝3sin(2x＋φ)．
π
－ ，0
∵点 6 在函数图象上，
π
－ ×2＋φ
∴0＝3sin 6 .
π π
∴－ ×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝ ＋kπ(k∈Z)．
6 3
∵|φ|<π φ π，∴ ＝ .
2 3
2x π＋
∴y＝3sin 3 .
方法二 待定系数法
π 0 5π， ，0
由图象知 A＝3.∵图象过点 3 和 6 ，
πω
＋φ＝π，
3 ω＝2，
∴ 5πω 解得 φ π＋φ＝2π， ＝ .
6 3
2x π＋
∴y＝3sin 3 .
方法三 图象变换法
π
－ ，0
由 A＝3，T＝π，点 6 在图象上，
可知函数图象由 y＝3sin 2x π向左平移 个单位长度而得，
6
x π＋ 2x π＋
∴y＝3sin 2 6 ，即 y＝3sin 3 .
反思感悟 给出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定 A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定 A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据
代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx
＋φ＝kπ π＋ ，k∈Z，求φ.
2
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数 A，ω，φ.这里需要注
意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式 y＝Asin ωx，再根据图象平
移、伸缩规律确定相关的参数．

6．设函数 f(x)＝cos ( x )在[－π，π]上的图象大致如图，则 f(x)的解析式为( )
6
3 3
A．f(x)＝cos ( x ) B．f(x)＝cos ( x )
2 6 2 6
3 3
C．f(x)＝cos ( x ) D．f(x)＝cos ( x )
4 6 4 6
答案 B
2π
解析 由图象知π|ω|
所以 1<|ω|<2.
4π
－ ，0 4π－ ω π＋
因为图象过点 9 ，所以 cos 9 6 ＝0，
4π π π
所以－ ω＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，
9 6 2
9 3
所以ω＝－ k－ ，k∈Z.
4 4
因为 1<|ω|<2，故 k 3＝－1，得ω＝ ，
2
3x π＋
所以 f(x)＝cos 2 6 .
跟踪训练 1
7 π．若将函数 g(x)图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 f(x)的图象，已知函数 f(x)＝
6
Asin(ωx＋φ) (A 0, 0,| | )的部分图象如图所示，则( )
2

A．g(x)＝sin (2x ) (2x 2 B．g(x)＝sin )
3 3

C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin (2x )
6
答案 C
A 1 3T 5π π 3π T π 2π解析 根据题图有 ＝ ， ＝ － ＝ ＝ ＝ ω＝2(T为 f(x)的最小正周期)，所以
4 6 12 4 ω
π 2 π× ＋φ π＋φ
f(x)＝sin(2x＋φ)，由 f 12 sin 12 1 sin 6 1 π π＝ ＝ ＝ ＋φ＝ ＋2kπ k π， ∈Z φ＝ ＋
6 2 3
π π 2x
π π
＋ 2x＋
2kπ，k∈Z.因为|φ|< ，所以φ＝ ，所以 f(x)＝sin 3 ，将 f(x)＝sin 3 的图象向右平移
2 3
π x π－
π x－ 2
π
＋
个单位长度得到函数 g(x)的图象，则 g(x) f 6 sin 6＝ ＝ 3 ＝sin 2x.故选 C.6

8．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A 0, 0,0 )的图象与 x轴的交点中，相邻
2
π 2
两个交点的距离为 ，且图象上一个最低点为 M ( , 2) ，求 f(x)的解析式．
2 3
2
解 由最低点 M ( , 2)，得 A＝2.
3
π
在 x轴上两相邻交点之间的距离为 ，
2
T π 2π 2π
故 ＝ ，即 T＝π，ω＝ ＝ ＝2.
2 2 T π
2π
，－2
由点 M 3 在图象上得
2 2π× ＋φ 4π＋φ
2sin 3 ＝－2，即 sin 3 ＝－1，
4π π
故 ＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，
3 2
∴φ＝2kπ 11π－ (k∈Z)．
6
0 π，
又φ∈ 2 ，
2x π＋
∴φ π＝ .故 f(x)＝2sin 6 .
6
题型三 三角函数图象、性质的综合
9 π．若将函数 y＝2sin 2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
12
A x kπ π． ＝ － (k∈Z) B x kπ π． ＝ ＋ (k∈Z)
2 6 2 6
C．x kπ π＝ － (k∈Z) D kπ π．x＝ ＋ (k∈Z)
2 12 2 12
答案 B
解析 将函数 y＝2sin 2x π的图象向左平移 个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为
12
x π π＋ 2x＋
y＝2sin 2 12 ＝2sin 6 ，由 2x π π＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，得 x π 1＝ ＋ kπ，k∈Z.
6 2 6 2
10．将函数 y＝sin(2x＋φ) π的图象沿 x轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则
8
φ的一个可能取值为( )
A.3π B.π C．0 D π．－
4 4 4
答案 B
2x π＋φ＋
解析 将函数 y＝sin(2x＋φ) π的图象向左平移 个单位长度后，得到 y＝sin 4 的图象，
8
φ π π因为它是偶函数，所以 ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ π π＝ ＋kπ，k∈Z，当 k＝0时，φ＝ .
4 2 4 4
反思感悟 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝
Asin(ωx＋φ) π，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对于函数 y＝Acos(ωx
2
π
＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋ (k∈Z)时为奇函数．
2
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋
φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区
间．若ω<0，则可利用诱导公式先将 x的系数转变为正数，再求单调区间．
练习 3
11．已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，将 y＝f(x) π的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1
6
3
个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g ( )的值为
4
________．
答案 π 3
2x π－
解析 由题意知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 3 ，
π
将 y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度，
6
2x π π＋ －
可得 y＝2sin 3 3 ＝2sin 2x的图象，
再向上平移 1个单位长度得到函数 y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
3π 3π
2π － －
则 T＝ ＝π，g 4 ＝2sin 2 ＋1＝3.
2
3
12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M ( ,0)对称，
4
[0, 且在区间 ]上是单调函数，求φ和ω的值．
2
解 由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)的图象关于 y轴对称，
∴f(x)在 x＝0时取得最值，即 sin φ＝1或－1.
依题设 0≤φ<π π，∴φ＝ .
2
3πω π＋
f(x) M sin 4 2 0 3πω π由 的图象关于点 对称，可知 ＝ ，即 ＋ ＝kπ，k∈Z，
4 2
4k 2
解得ω＝ － ，k∈Z.
3 3
0 π，
又 f(x)在 2 上是单调函数，
∴T π 2π≥ ，即 ≥π.
ω
∴ω≤2，又ω>0，
2
∴k＝1时，ω＝ ；k＝2时，ω＝2.
3
π
故φ＝ ，ω＝2 2或 .
2 3
【课堂小测】
1．将函数 y＝sin (2x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平
4
π
移 个单位长度，所得到的图象的解析式是( )
4
A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
答案 A
2x π＋ x π π π＋ x－ ，＋
解析 y＝sin 4 →y＝sin 4 →y＝sin 4 4 ＝sin x.
2．若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于 y轴对称，则φ
的最小正值是( )
A.π B.π C.3π D.5π
8 4 8 4
答案 C
2x π－
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2cos 4 ，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图
2x π－ －2φ
象对应的函数为 y＝ 2cos 4 ，且该函数为偶函数，
2φ π kπ(k Z) 3π故 ＋ ＝ ∈ ，所以φ的最小正值为 .
4 8

3 ( π． 多选)将函数 f(x)＝ 3cos (2x )－1 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单
3 3
位长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)具有以下哪些性质( )
A π．最大值为 3，图象关于直线 x＝－ 对称
3
B．图象关于 y轴对称
C．最小正周期为π
( D．图象关于点 ,0)成中心对称
4
答案 BCD
2x π＋
解析 将函数 f(x)＝ 3cos 3 π－1的图象向左平移 个单位长度，
3
x π＋
2 π＋
得到 y 3＝ 3cos 3 －1＝ 3cos(2x＋π)－1＝－ 3cos 2x－1的图象；
再向上平移 1个单位长度，得到函数 g(x)＝－ 3cos 2x 的图象．
g(x) 3 x π g(x) 3对于函数 ，它的最大值为 ，由于当 ＝－ 时， ＝ ，不是最值，故 g(x)的图象不
3 2
π
关于直线 x＝－ 对称，故 A错误；
3
由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y轴对称，故 B正确；
2π
它的最小正周期为 ＝π，故 C正确；
2
π
π ，0
当 x＝ 时，g(x)＝0，故函数的图象关于点 4 成中心对称，故 D正确．
4
(x 4．函数 y＝sin )图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的 5倍，可得到函数
3
____________的图象．
1x π－
答案 y＝sin 5 3
x π 1－ 图象上各点的纵坐标不变 x π－
解析 y＝sin 3 的图象 ――――――――――→y＝sin 5 3 的图象．
横坐标伸长为原来的 5倍
5．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ( 0,| | )的部分图象如图所示，则ω＝________，函数
2
f(x)的单调递增区间为____________________．
5π
－ ＋kπ π， ＋kπ
答案 2 12 12 (k∈Z)
π
T π － π
解析 由图象知 ＝ － 6 ＝ ，
2 3 2
T π 2π则周期 ＝ ，即 ＝π，
ω
则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．
π
－
由 2× 6 ＋φ＝2kπ，k∈Z，
|φ|<π φ π又 ，所以 ＝ ，
2 3
2x π＋
则 f(x)＝2sin 3 .
令 2kπ π π π－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 3 2
5π π
得－ ＋kπ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
12 12
5π π
－ ＋kπ， ＋kπ
即函数 f(x)的单调递增区间为 12 12 (k∈Z)．
6．已知函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且 f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递减区间；
(2) π 将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求当 x∈ [0, ]时，函数
6 2
g(x)的最大值．
解 (1)由题意知 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
2ωx π＋
＝2sin 6 ＋1，
2π
∵周期 T＝π，即 ＝π，∴ω＝1，
2ω
2x π＋
∴f(x)＝2sin 6 ＋1，
π
令 ＋2kπ≤2x π 3π＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
2 6 2
π
得 ＋kπ≤x 2π≤ ＋kπ，k∈Z.
6 3
π
＋kπ 2π， ＋kπ
∴函数 f(x)的单调递减区间为 6 3 ，k∈Z.
x π－
2 π π＋ 2x－
(2)∵g(x)＝2sin 6 6 ＋1＝2sin 6 ＋1，
0 π π， －
当 x∈ 2 时， 6 2x π 5π≤ － ≤ ，
6 6
∴当 2x π π x π－ ＝ ，即 ＝ 时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
6 2 3
【课后作业】
1．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A 0, 0,| | )的图象如图所示，为了得到 g(x)＝sin 2x的图
2
象，则只要将 f(x)的图象( )
A π π．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 12
C π π．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 12
答案 A
7 π π－
解析 很明显，A＝1，T＝4 12 3 ＝π，
2π
∴T＝ ＝π，∴ω＝2.
ω
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
π 2π＋φ
又 f 3 ＝0，∴sin 3 ＝0.
又|φ|<π，
2
π<2∴ π 7＋φ< π，
6 3 6
2
∴ π＋φ＝π，
3
π
φ π
2x＋
∴ ＝ ，∴f(x)＝sin 3 ，
3
x π－
2 6 π x
π
＋ －
∴g(x)＝sin 2x＝sin 3 ＝f 6 ，
即将 f(x) π的图象向右平移 个单位长度得到 g(x)的图象．
6
2 π．已知函数 f(x)＝cos ( x ) (ω>0)的相邻两个零点的距离为 ，要得到 y＝f(x)的图象，只
6 2
需把 y＝cos ωx的图象( )
A π π．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
12 12
C π π．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 6
答案 A
2π
解析 由已知得 ＝2 π× ，故ω＝2.
ω 2
y＝cos 2x π向右平移 个单位长度可得
12
x π 2x π－ －
y＝cos 2 12 ＝cos 6 的图象．

3．若ω>0，函数 y＝cos ( x ) π的图象向右平移 个单位长度后与函数 y＝sin ωx的图象重合，
3 3
则ω的最小值为( )
A.11 B.5 C.1 D.3
2 2 2 2
答案 B
ωx π＋
解析 函数 y＝cos 3 π的图象向右平移 个单位长度后，
3
x π－
ω 3 π＋ ωx
ωπ π
－ ＋
所得函数图象对应的解析式为 y＝cos 3 ＝cos 3 3 ，
ωx π－ ＋2kπ
其图象与函数 y＝sin ωx＝cos 2 ，k∈Z 的图象重合，
π
∴－ ＋2kπ ωπ π＝－ ＋ ，k∈Z，
2 3 3
5
∴ω＝－6k＋ ，k∈Z，
2
又ω>0，
5
∴ω的最小值为 ，故选 B.
2

4．函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π) π的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝sin (2x )的图象
2 3
重合，则φ＝________.
π
答案
6
解析 把函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π) π的图象向右平移 个单位长度后，得到 y＝cos(2x－π＋φ)
2
的图象，
2x π π－ 2x－
与函数 y＝sin 3 的图象重合，则 cos(2x－π＋φ)＝sin 3 ，
2x π φ 2x π－ ＋ －
即 sin 2 ＝sin 3 ，
π φ π所以－ ＋ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，又 0<φ<π π，则φ＝ .
2 3 6
7
5．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则 f ( )＝________.
12
答案 0
3 2π
解析 由图象知 T＝π，∴T＝ ，A＝2，
2 3
π
，0 3 π× ＋φ
又∵T 2π＝ ，∴ω＝3，将点 4 代入 y＝2sin(3x＋φ)得 sin 4 ＝0，取φ 3＝－ π.
ω 4
3x 3π－
∴f(x)＝2sin 4 ，
7π 3 7π 3π× －
∴f 12 ＝2sin 12 4 ＝2sin π＝0.
6．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为 2.
(1)求 a的值及 f(x)的最小正周期；
(2)画出 f(x)在[0，π]上的图象．
解 (1)f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a
＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＋a
2x π＋
＝2sin 6 ＋1＋a的最大值为 2，
2π
所以 a＝－1，最小正周期 T＝ ＝π.
2
2x π＋
(2)由(1)知 f(x)＝2sin 6 ，列表：
π 5π 2π 11π
x 0 π
6 12 3 12
2x π π π 3π 13π＋
6 π 2π6 2 2 6
2x π＋
f(x)＝2sin 6 1 2 0
－2 0 1
画图如下：第十九讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0 振幅 周期 频率 相位 初相，
ω>0)，x≥0 A T
2π f 1 ω＝ ＝ ＝ ωx＋φ
ω T 2π φ
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ
y＝Asin(ωx＋φ)
3.函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将函数 y＝sin x π的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y＝cos x的图象．( )
2
(2)将函数 y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的 2倍，便得到函数 y＝2sin x的图象．( )
(3)把 y＝sin x 1的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析
2
1
式为 y＝sin x.( )
2
(4)将 y＝sin 2x π 的图象向右平移 个单位长度，得到 y＝sin (2x )的图象．( )
6 3
2．函数 y＝3sin (1 x )的初相为________．
2 6
1
3．函数 y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应的
函数解析式是________．
4 π．函数 y＝cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 y＝g(x)的图象，则 g(x)的
2
解析式应为( )
5 π．将曲线 C1：y＝2cos (2x )上的点向右平移 个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来
6 6
1
的 ，纵坐标不变，得到曲线 C2，则 C2的方程为( )
2
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin (4x ) C．y＝2sin x D．y＝2sin (x )
3 3
6．已知函数 f(x)＝sin(2x φ)( π<φ<0) x π＋ － 图象的一条对称轴是直线 ＝ ，则φ的值为_____．
6
【典型例题】
题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1 ．要得到函数 y＝sin (2x )的图象，只要将函数 y＝sin 2x的图象( )
3
A π π．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
C π D π．向左平移 个单位长度 ．向右平移 个单位长度
6 6
2 1 ．已知函数 y＝ sin (2x )，x∈R.
2 6
(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
2
练习 1
3．由 y＝2sin (6x ) π的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到
6 3
原来的 2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sin (3x ) B．y＝2sin (3x ) C．y＝2sin (3x ) D．y＝2sin (12x )
6 6 12 6
4．说明 y 2sin (2x ＝－ )＋1的图象是由 y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
6
题型二 由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
5 ．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A 0, 0,| | )的图象的一部分，求此函数的解析式．
2
6 ．设函数 f(x)＝cos ( x )在[－π，π]上的图象大致如图，则 f(x)的解析式为( )
6
A 3 3 ．f(x)＝cos ( x ) B．f(x)＝cos ( x )
2 6 2 6
C．f(x)＝cos (3 x ) D．f(x) 3 ＝cos ( x )
4 6 4 6
3
跟踪训练 1
7 π．若将函数 g(x)图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 f(x)的图象，已知函数 f(x)＝
6
Asin(ωx＋φ) (A 0, 0,| | )的部分图象如图所示，则( )
2
A 2 ．g(x)＝sin (2x ) B．g(x)＝sin (2x )
3 3
C．g(x)＝sin 2x D．g(x) sin (2x ＝ )
6
8．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A 0, 0,0 )的图象与 x轴的交点中，相邻
2
π 2
两个交点的距离为 ，且图象上一个最低点为 M ( , 2) ，求 f(x)的解析式．
2 3
题型三 三角函数图象、性质的综合
9 π．若将函数 y＝2sin 2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
12
A．x kπ π＝ － (k∈Z) B．x kπ π＝ ＋ (k∈Z)
2 6 2 6
C x kπ π． ＝ － (k∈Z) D．x kπ π＝ ＋ (k∈Z)
2 12 2 12
4
10．将函数 y＝sin(2x＋φ) π的图象沿 x轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则
8
φ的一个可能取值为( )
A.3π B.π C．0 D π．－
4 4 4
练习 3
11．已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，将 y＝f(x) π的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1
6
3
个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g ( )的值为
4
________．
12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π) 3 是 R上的偶函数，其图象关于点 M ( ,0)对称，
4
[0, 且在区间 ]上是单调函数，求φ和ω的值．
2
5
【课堂小测】
1 ．将函数 y＝sin (2x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平
4
π
移 个单位长度，所得到的图象的解析式是( )
4
A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
2．若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于 y轴对称，则φ
的最小正值是( )
A.π B.π C.3π D.5π
8 4 8 4
3 ( ) f(x) 3cos (2x ． 多选 将函数 ＝ )－1 π的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1个单
3 3
位长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)具有以下哪些性质( )
A．最大值为 3 π，图象关于直线 x＝－ 对称
3
B．图象关于 y轴对称
C．最小正周期为π
D ．图象关于点 ( ,0)成中心对称
4
4．函数 y＝sin (x )图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的 5倍，可得到函数
3
____________的图象．
5．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ( 0,| | )的部分图象如图所示，则ω＝________，函数
2
f(x)的单调递增区间为____________________．
6
6．已知函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且 f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递减区间；
(2)将函数 f(x) π 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求当 x∈[0, ]时，函数
6 2
g(x)的最大值．
【课后作业】
1．函数 f(x) Asin(ωx φ) (A 0, 0,| | ＝ ＋ )的图象如图所示，为了得到 g(x)＝sin 2x的图
2
象，则只要将 f(x)的图象( )
A π π．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 12
C π π．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 12
2．已知函数 f(x)＝cos ( x ) (ω>0) π的相邻两个零点的距离为 ，要得到 y＝f(x)的图象，只
6 2
需把 y＝cos ωx的图象( )
A π π．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
12 12
C π π．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6 6
7
3．若ω>0 ，函数 y＝cos ( x ) π的图象向右平移 个单位长度后与函数 y＝sin ωx的图象重合，
3 3
则ω的最小值为( )
A.11 B.5 C.1 D.3
2 2 2 2
4 π ．函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝sin (2x )的图象
2 3
重合，则φ＝________.
5．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则 f (7 )＝________.
12
6．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为 2.
(1)求 a的值及 f(x)的最小正周期；
(2)画出 f(x)在[0，π]上的图象．
8

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