高二数学 第18讲 导数与函数的极值、最值 学案 (pdf版,学生版+教师版)

资源下载
  1. 二一教育资源

高二数学 第18讲 导数与函数的极值、最值 学案 (pdf版,学生版+教师版)

资源简介

第十八讲 导数与函数的极值、最值
【知识梳理】
1.函数的极值与导数
f′(x0)=0
条件 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x0)为 f(x0)为
极值点 x0为 x0为
2.函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:
如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求 y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:
①求函数 y=f(x)在区间(a,b)上的 ;
②将函数 y=f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一
个是最小值.
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x)在区间(a,b)上不存在最值.( )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值.( )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.( )
(4)函数 y=f′(x)的零点是函数 y=f(x)的极值点.( )
2.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
3.当 x>0时,ln x,x,ex的大小关系是________.
4.现有一块边长为 a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形,然后做成
一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.
5.函数 f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,- 6]∪[ 6,+∞) B.(-∞,- 6)∪( 6,+∞)
C.(- 6, 6) D.[- 6, 6]
6 1.若函数 f(x)= x3-4x+m在[0,3]上的最大值为 4,则 m=________.
3
【典型例题】
题型一 利用导数求函数的极值问题
1.(多选)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 g(x)=xf′(x)的图象如图所示,则
下列结论中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为函数的极大值
C.f(x)有两个极小值 D.f(-1)为 f(x)的极小值
2
2.已知函数 f(x)=x2-1-2aln x(a≠0),求函数 f(x)的极值.
3.已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2在 x=-1处有极值 0,则 a+b=________.
4.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是________.
练习 1
5.已知 x=1是 f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数 a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
3
6.若函数 f(x)=x2-x+aln x有极值,则实数 a的取值范围是________.
题型二 利用导数求函数的最值
7.已知函数 g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).
(1)若 a=1,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求 g(x)在区间[1,e]上的最小值 h(a).
练习 2
8.已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a为常数.
(1)当 a=-1时,求 f(x)的最大值;
(2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a的值.
4
【课后作业】
1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=1或-1或 0 D.x=0
2 x.函数 y= 在[0,2]上的最大值是( )
ex
A.1 B. 2 C 1.0 D.
e e2 2 e
3.已知函数 f(x)=2ln x+ax2-3x在 x=2处取得极小值,则 f(x)的极大值为( )
A.2 B 5.- C.3+ln 2 D.-2+2ln 2
2
4.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则 x21+x 22等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3 3 3 3
5.(多选)函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数 y=f(x)的极值点 B.-1是函数 y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零
x26 ( +x-1. 多选)已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( )
ex
A.函数 f(x)存在两个不同的零点
B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若 x∈[t 5,+∞)时,f(x)max= ,则 t的最小值为 2
e2
7.函数 f(x)=2x-ln x的最小值为________.
8.若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,则实数 c的取值范围为______________.
5
9.已知函数 f(x)=sin x 1- x,x 1∈[0,π],cos x0= ,x0∈[0,π].
3 3
①f(x)的最大值为 f(x0);
②f(x)的最小值为 f(x0);
③f(x)在[0,x0]上是减函数;
④f(x0)为 f(x)的极大值.
那么上面命题中真命题的序号是________.
10.已知不等式 ex-1≥kx+ln x对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立,则 k的最大值为________.
11.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1) 1当 a= 时,求 f(x)的极值;
2
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.
12.已知函数 f(x)=xln x.
(1)求函数 f(x)的极值点;
(2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间(0,e]上的最小值(其中 e为自
然对数的底数).
6第十八讲 导数与函数的极值、最值
【考试要求】
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
【知识梳理】
1.函数的极值与导数
f′(x0)=0
条件 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
2.函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:
如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求 y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:
①求函数 y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小
的一个是最小值.
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x)在区间(a,b)上不存在最值.( × )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值.( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.( √ )
(4)函数 y=f′(x)的零点是函数 y=f(x)的极值点.( × )
2.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 由题意知只有在 x=-1处 f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
3.当 x>0时,ln x,x,ex的大小关系是________.
答案 ln x解析 构造函数 f(x)=ln x-x,则 f′(x) 1= -1,可得 x=1 为函数 f(x)在(0,+∞)上唯一的极
x
大值点,也是最大值点,故 f(x)≤f(1)=-1<0,所以 ln x4.现有一块边长为 a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形,然后做成
一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.
2
答案 a3
27
解析 容积 V=(a-2x)2x,02
a
=0得 x= 或 x a= ( a舍去),则 x= 为 V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时 Vmax
6 2 6
2
= a3.
27
5.函数 f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数 a的取值范围是( )
A.(-∞,- 6]∪[ 6,+∞)
B.(-∞,- 6)∪( 6,+∞)
C.(- 6, 6)
D.[- 6, 6]
答案 B
解析 f′(x)=3x2-2ax+2,
由题意知 f′(x)有变号零点,
∴Δ=(2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 6或 a<- 6.
6.若函数 f(x) 1= x3-4x+m在[0,3]上的最大值为 4,则 m=________.
3
答案 4
解析 f′(x)=x2-4,x∈[0,3],当 x∈[0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,3]时,f′(x)>0,所以 f(x)在[0,2)
上单调递减,在(2,3]上单调递增.又 f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,
所以 m=4.
【典型例题】
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点 1 根据函数图象判断极值
1.(多选)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 g(x)=xf′(x)的图象如图所示,则
下列结论中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为函数的极大值
C.f(x)有两个极小值
D.f(-1)为 f(x)的极小值
答案 BC
解析 由题图知,当 x∈(-∞,-2)时,g(x)>0,
∴f′(x)<0,
当 x∈(-2,0)时,g(x)<0,∴f′(x)>0,
当 x∈(0,1)时,g(x)<0,∴f′(x)<0,
当 x∈(1,+∞)时,g(x)>0,∴f′(x)>0.
∴f(x)在(-∞,-2),(0,1)上单调递减,
在(-2,0),(1,+∞)上单调递增.
故 AD错误,BC正确.
命题点 2 求已知函数的极值
2.已知函数 f(x)=x2-1-2aln x(a≠0),求函数 f(x)的极值.
解 因为 f(x)=x2-1-2aln x(x>0),
2
所以 f′(x) 2a 2 x -a =2x- = .
x x
①当 a<0 时,因为 x>0,且 x2-a>0,所以 f′(x)>0 对 x>0恒成立.所以 f(x)在(0,+∞)上单调
递增,f(x)无极值.
②当 a>0时,令 f′(x)=0,解得 x1= a,x2=- a(舍去).
所以当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0, a) a ( a,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当 x= a时,f(x)取得极小值,且 f( a)=( a)2-1-2aln a=a-1-aln a.无极大值.
综上,当 a<0时,函数 f(x)在(0,+∞)上无极值.
当 a>0时,函数 f(x)在 x= a处取得极小值 a-1-aln a,无极大值.
命题点 3 已知极值(点)求参数
3.已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2在 x=-1处有极值 0,则 a+b=________.
答案 11
解析 f′(x)=3x2+6ax+b,
f′ -1 =0,
由题意得
f -1 =0,
a=1, a=2,
解得 或
b=3 b=9,
当 a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
∴f(x)在 R 上单调递增,
∴f(x)无极值,
所以 a=1,b=3不符合题意,
当 a=2,b=9时,经检验满足题意.
∴a+b=11.
4.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是________.
0 1,
答案 2
解析 f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),
f′(x)=1+ln x-2ax.
由题意知,当 x>0时,1+ln x-2ax=0有两个不相等的实数根,
2a 1+ln x即 = 有两个不相等的实数根,
x
φ(x) 1+ln x -ln x令 = (x>0),∴φ′(x)= .
x x2
当 00;当 x>1时,φ′(x)<0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
且φ(1)=1,
当 x→0时,φ(x)→-∞,
当 x→+∞时,φ(x)→0,
则 0<2a<1,即 02
思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域.
②求导数 f′(x).
③解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
④列表检验 f′(x)在 f′(x)=0的根 x0左右两侧值的符号.
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式:根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:求解后验证根的合理性.
跟踪训练 1
5.已知 x=1是 f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数 a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
答案 D
解析 f′(x)=[x2-(a+1)x+a]ex=(x-a)(x-1)ex.
令 f′(x)=0,得(x-a)(x-1)ex=0.
设 g(x)=(x-1)(x-a).
①当 a=1时,g(x)≥0,f′(x)≥0,f(x)没有极值.
②当 a>1时,当 x>a或 x<1时,g(x)>0,f′(x)>0;
当 1∴x=1是函数 f(x)的极大值点,不符合题意.
③当 a<1时,当 x>1或 x0,
当 a所以 x=1是 f(x)的极小值点,符合题意.
综上所述,实数 a的取值范围是(-∞,1).
6.若函数 f(x)=x2-x+aln x有极值,则实数 a的取值范围是________.
1
-∞,
答案 8
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),
2
f′(x) 2x 1 a 2x -x+a= - + = ,
x x
由题意知 y=f′(x)有变号零点,
令 2x2-x+a=0,
即 a=-2x2+x(x>0),
x 1-
令φ(x)=-2x2+x=-2 4 2 1+ (x>0),
8
1
其图象如图所示,故 a< .
8
题型二 利用导数求函数的最值
7.已知函数 g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).
(1)若 a=1,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求 g(x)在区间[1,e]上的最小值 h(a).
解 (1)∵a=1,∴g(x)=ln x+x2-3x,
∴g′(x) 1= +2x-3 2x-1 x-1 = ,
x x
∵x∈[1,e],∴g′(x)≥0,
∴g(x)在[1,e]上单调递增,
∴g(x)max=g(e)=e2-3e+1.
(2)g(x)的定义域为(0,+∞),
g′(x) a 2x (a 2) 2x
2- a+2 x+a
= + - + =
x x
2x-a x-1
= .
x
a
①当 ≤1,即 a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,h(a)=g(1)=-a-1;
2
1 a a e a, ,
②当 12 2
1a2-a;
4
a
③当 ≥e,即 a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
2
-a-1,a≤2,
综上,h(a)= aln a 1- a2-a,22 4
1-e a+e2-2e,a≥2e.
思维升华 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,则 f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最
小值.
(2)若函数在区间[a,b]内有极值,则要先求出函数在[a,b]上的极值,再与 f(a),f(b)比较,
最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
(3)函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在
导数的实际应用中经常用到.
(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并
通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
跟踪训练 2
8.已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a为常数.
(1)当 a=-1时,求 f(x)的最大值;
(2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a的值.
解 (1)易知 f(x)的定义域为(0,+∞),
当 a=-1时,f(x)=-x+ln x,
f′(x) 1 1 1-x=- + = ,
x x
令 f′(x)=0,得 x=1.
当 00;当 x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)max=f(1)=-1.
∴当 a=-1时,函数 f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.
1
,+∞
(2)f′(x) a 1= + ,x∈(0 e] 1, , ∈ e .
x x
a 1①若 ≥- ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上单调递增,
e
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意.
②若 a< 1 1 1- ,令 f′(x)>0得 a+ >0,结合 x∈(0,e],解得 0e x a
令 f′(x)<0 a 1<0 1得 + ,结合 x∈(0,e],解得- x a
0 1 1,- - ,e
从而 f(x)在 a 上单调递增,在 a 上单调递减,
1 1
- -
∴f(x)max=f a =-1+ln a .
1 1
- -
令-1+ln a =-3,得 ln a =-2,
即 a=-e2.
∵-e2< 1- ,∴a=-e2为所求.
e
故实数 a的值为-e2.
【课后作业】
1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=1或-1或 0 D.x=0
答案 C
解析 f′(x)=2(x2-1)·2x=4x(x+1)(x-1),
令 f′(x)=0,解得 x=0或 x=-1或 x=1.
2 x.函数 y= 在[0,2]上的最大值是( )
ex
A.1 B.2 C.0 D. 1
e e2 2 e
答案 A
y′ 1-x解析 易知 = ,x∈[0,2],
ex
令 y′>0,得 0≤x<1,
令 y′<0,得 1所以函数 y x= 在[0,1) x 1上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以 y= 在[0,2]上的最大值是 ,故
ex ex e
选 A.
3.已知函数 f(x)=2ln x+ax2-3x在 x=2处取得极小值,则 f(x)的极大值为( )
A.2 B 5.-
2
C.3+ln 2 D.-2+2ln 2
答案 B
2
解析 由题意得,f′(x)= +2ax-3,∵f(x)在 x=2处取得极小值,∴f′(2)=4a-2=0,解得 a
x
1
= ,
2
∴f(x)=2ln x 1x2 3x f′(x) 2+ - , = +x-3 x-1 x-2 = ,
2 x x
∴f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
∴f(x) 1 5的极大值为 f(1)= -3=- .
2 2
4.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则 x21+x 22等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3 3 3 3
答案 C
解析 由题中图象可知 f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数 f(x)的极值点,所以 1+b
+c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2,所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x+2,
x1,x2是方程 3x2-6x+2=0 2的两根,所以 x1+x2=2,x1·x2= ,∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=
3
4 2 8-2× = .
3 3
5.(多选)函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数 y=f(x)的极值点
B.-1是函数 y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零
答案 BD
解析 根据导函数的图象可知当 x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当 x∈(-3,+∞)时,f′(x)≥0,
∴函数 y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,则-3 是函数 y=f(x)
的极值点,
∵函数 y=f(x)在(-3,+∞)上单调递增,∴-1不是函数 y=f(x)的最小值点,
∵函数 y=f(x)在 x=0处的导数大于 0,∴y=f(x)在 x=0处切线的斜率大于零.
故错误的命题为 BD.
2
6.(多选)(2021·烟台模拟)已知函数 f(x) x +x-1= ,则下列结论正确的是( )
ex
A.函数 f(x)存在两个不同的零点
B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD 5.若 x∈[t,+∞)时,f(x)max= ,则 t的最小值为 2
e2
答案 ABC
解析 由 f(x)=0,得 x2+x-1=0,
x -1± 5∴ = ,故 A正确.
2
2
f′(x) x -x-2 x+1 x-2 =- =- ,
ex ex
当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f′(x)<0,
当 x∈(-1,2)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,
∴f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,故 B正确.
又 f(-1) 5=-e,f(2)= ,
e2
且当 x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,
∴f(x)的图象如图所示,
由图知 C正确,D不正确.
7.函数 f(x)=2x-ln x的最小值为________.
答案 1+ln 2
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2 1 2x-1- = ,
x x
02
x>1当 时,f′(x)>0.
2
0 1 1, ,+∞
∴f(x)在 2 上单调递减,在 2 上单调递增,
1
∴f(x)min=f 2 1 ln 1= - =1+ln 2.
2
8.若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,则实数 c的取值范围为______________.
3 3
-∞,- ,+∞
答案 2 ∪ 2
解析 若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,
则 f′(x)=3x2-4cx+1=0有两个不相等的实根,
故Δ=(-4c)2-12>0,
c> 3 c< 3解得 或 - .
2 2
3 3
-∞,- ,+∞
所以实数 c的取值范围为 2 ∪ 2 .
9.已知函数 f(x)=sin x 1- x,x∈[0,π],cos x 10= ,x0∈[0,π].
3 3
①f(x)的最大值为 f(x0);
②f(x)的最小值为 f(x0);
③f(x)在[0,x0]上是减函数;
④f(x0)为 f(x)的极大值.
那么上面命题中真命题的序号是________.
答案 ①④
解析 f′(x) cos x 1= - ,由 f′(x) 1=0,得 cos x= ,即 x=x0,因为 x0∈[0,π],当 0≤x3 3
f′(x)>0;当 x0为 f(x)的极大值且为最大值.故①④正确,②③不正确.
10.已知不等式 ex-1≥kx+ln x对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立,则 k的最大值为________.
答案 e-1
x
解析 x∈(0,+∞) e -1-ln x,不等式 ex-1≥kx+ln x恒成立,等价于 x∈(0,+∞),k≤
x
恒成立,
x
令φ(x) e -1-ln x= (x>0),
x
x
则φ′(x) e x-1 +ln x= ,
x2
当 x∈(0,1)时,φ′(x)<0,
当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)min=φ(1)=e-1,
∴k≤e-1.
11.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1) a 1当 = 时,求 f(x)的极值;
2
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当 a 1= 时,f(x)=ln x 1x 1 1 2-x- ,函数的定义域为(0,+∞)且 f′(x)= - = ,
2 2 x 2 2x
令 f′(x)=0,得 x=2,
于是当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) ↗ ln 2-1 ↘
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),
f′(x) 1 a 1-ax= - = .
x x
当 a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
0 1,
当 a>0时,若 x∈ a ,则 f′(x)>0,
1
,+∞
若 x∈ a ,则 f′(x)<0,
1
故函数在 x= 处有极大值.
a
综上可知,当 a≤0时,函数 f(x)无极值点,
当 a>0时,函数 y=f(x) 1有一个极大值点,且为 x= .
a
12.已知函数 f(x)=xln x.
(1)求函数 f(x)的极值点;
(2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间(0,e]上的最小值(其中 e为自
然对数的底数).
解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,
由 f′(x) 1=0,得 x= .
e
0 1,
当 x∈ e 时,f′(x)<0,
1
,+∞
当 x∈ e 时,f′(x)>0,
0 1 1, ,+∞
所以 f(x)在区间 e 上单调递减,在区间 e 上单调递增.
所以 x 1= 是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在.
e
(2)g(x)=xln x-a(x-1),则 g′(x)=ln x+1-a,
由 g′(x)=0,得 x=ea-1.
所以在区间(0,ea-1)上,g(x)单调递减,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)单调递增.
当 ea-1≥e,即 a≥2时,g(x)在(0,e]上单调递减,
∴g(x)min=g(e)=a+e-ae,
当 ea-1∴g(x)min=g(ea-1)=a-ea-1,
令 g(x)的最小值为 h(a),
a-ea-1,a<2,
综上有 h(a)=
a+e-ae,a≥2.

展开更多......

收起↑

资源列表