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第 11讲 数列的概念与简单表示法
【考试要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识梳理】
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个
数列的通项公式．
S1 n＝1 ，
若已知数列{an}的前 n项和为 Sn，则 an＝
Sn－Sn－1 n≥2 .
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这
个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序
号 n，对应的函数值是数列的第 n项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1开始，按照
从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
项与项间 递增数列 an＋1>an
其中
的大小 递减数列 an＋1n∈N*
关系 常数列 an＋1＝an
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？
提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的通项公式是唯一的．( × )
(2)所有数列的第 n项都能使用公式表达．( × )
(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )
(4)如果数列{an}的前 n项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
题组二 教材改编
2 1 1 1 1 1．数列 ，， ， ， ，…的通项公式是 an＝________.
3 8 15 24 35
a 1答案 n＝ ，n∈N*
n n＋2
3 1．已知数列 a1＝2，an＝1－ (n≥2)．则 a2 022＝________.
an－1
答案 －1
1 1
解析 a1＝2，a2＝1－ ＝ ，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足 an＝an＋3，所2 2
以 a2 022＝a3＝－1.
4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是
________．
答案 (－∞，3)
解析 由题意得 an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.
化简得，λ<2n＋1，n∈N*，∴λ<3.
题组三 易错自纠
5．已知数列{an}的前 n项和为 Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为 an＝________.
－1，n＝1，
答案
－4n＋2，n≥2 n∈N*
解析 当 n＝1时，a1＝S1＝－1.当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，
－1，n＝1，
a1＝－1不适合上式，所以 an＝
－4n＋2，n≥2，n∈N*.
6．若 an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前 n项和 Sn最大时，n的值为________．
答案 9或 10
解析 要使 Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，
即需 an>0，－n2＋9n＋10>0，得－1又 n∈N*，所以 1≤n<10.
又 a10＝0，所以 n＝9或 10.
【典型例题】
题型一 由 an与 Sn的关系求通项公式
1．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2＋2n，则 an＝________.
答案 2n＋1
解析 当 n＝1时，a1＝S1＝3.当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
由于 a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2．已知数列{an}中，Sn是其前 n项和，且 Sn＝2an＋1，则数列的通项公式 an＝________.
答案 －2n－1
解析 当 n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当 n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即 an＝2an－2an－1，
即 an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项 a1＝－1，q＝2的等比数列．
－ －
∴an＝a1·qn 1＝－2n 1.
3．设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an＝________.
2，n＝1，
答案 2n
－1
，n≥2
2n－1
解析 当 n＝1时，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)a －n n 1－1＝2 (n≥2)，②
由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，
2n－1
∴an＝ (n≥2)．
2n－1
2，n＝1，
－
显然 n＝1时不满足上式， a ＝ 2n 1∴ n ，n≥2.
2n－1
4．设 Sn是数列{an}的前 n项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是_______．
①a 1n＝
n n－1
－1，n＝1，
②an＝ 1 ，n≥2
n n－1
③S 1n＝－
n
1
④数列 Sn 是等差数列
答案 ②③④
1
解析 ∵an＋1＝S
1 1
n·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以 Sn＋1·Sn，得 － ＝－1.∴ Sn 是以－1 为首Sn＋1 Sn
项，d＝－1的等差数列，
1 1
即 ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－ .
Sn n
n 2 a S S 1 1 1当 ≥ 时， n＝ n－ n－1＝－ ＋ ＝ ，n n－1 n n－1
－1，n＝1，
又 a1＝－1不适合上式，∴an＝ 1 ，n≥2.
n n－1
S1，n＝1，
思维升华 (1)已知 Sn求 an的常用方法是利用 an＝ 转化为关于 an的关系式，
Sn－Sn－1，n≥2
再求通项公式．
(2)Sn与 an关系问题的求解思路
方向 1：利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向 2：利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，再求解．
题型二 由数列的递推关系式求通项公式
命题点 1 累加法
1
例 1 在数列{an}中，a1＝2， an 1 an ln(1 )，则 an等于( )n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
a a lnn＋1解析 因为 n＋1－ n＝ ＝ln(n＋1)－ln n，n
所以 a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得 an－a1＝ln n－ln 1，
则 an＝2＋ln n(n≥2)，且 a1＝2也适合，
因此 an＝2＋ln n(n∈N*)．
命题点 2 累乘法
例 2 已知数列{an}的前 n项和为 Sn，其首项 a1＝1，且满足 3Sn＝(n＋2)an，则 an＝______.
n n＋1
答案
2
解析 ∵3Sn＝(n＋2)an，①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
an n＋1
即 ＝ ，
an－1 n－1
∴a an ·an＝ －1·an－2· a…· 2n ·a
n＋1 n n－1 3 1 n n＋1 1＝ × × ×…× × ＝ .
an－1 an－2 an－3 a1 n－1 n－2 n－3 1 2
n 1 n n＋1 n n＋1 当 ＝ 时，满足 an＝ ，∴an＝ .
2 2
本例 2中，若{an}满足 2(n＋1)·a2n＋(n＋2)·an·an 2＋1－n·an＋1＝0，且 an>0，a1＝1，
则 an＝____________.
答案 n·2n－1
解析 由 2(n＋1)·an2＋(n＋2)·an·an＋1－n·an2＋1＝0得
n(2a2n＋an·an＋1－a2n＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，
(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，
又 an>0，∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，
an 1 2 n＋1
∴ ＋ ＝ ，
an n
a an an 1 a a又 1＝1，∴当 n 2时，a ＝ · －≥ n ·…· 3· 2·a1
an－1 an－2 a2 a1
2n 2 n－1 2 n－2 2×3 2×2
＝ × × ×…× × ×1
n－1 n－2 n－3 2 1
＝2n－1·n.
又 n＝1时，a1＝1适合上式， －∴an＝n·2n 1.
思维升华 (1)根据形如 an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常
用累加法求出 an－a1与 n的关系式，进而得到 an的通项公式．
(2)根据形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求
a
出 n与 n的关系式，进而得到 an的通项公式．
a1
跟踪训练 1 (1)在数列{a 1n}中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式 an＝________.n n＋1
答案 4 1－
n
解析 ∵a a 1 1 1n＋1－ n＝ ＝ － ，n n＋1 n n＋1
1 1
∴当 n≥2时，an－an－1＝ － ，n－1 n
a 1 1n－1－an－2＝ － ，
n－2 n－1
……
a2－a 11＝1－ ，
2
1
∴以上各式相加得，an－a1＝1－ ，
n
∴a 1 1n＝4－ ，a1＝3适合上式，∴an＝4－ .
n n
(2)已知 a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式 an＝________.
n2 n 2
答案 2 2
an 1 an an－1
解析 ＋ ＝2n， 当 n 2时， ＝2n－ －∵ ∴ ≥ 1， ＝2n 2，
an an－1 an－2
……
a3 22 a＝ ， 2＝2，
a2 a1
a an ·an－1 a a∴ ＝ ·…· 3· 2n ·a1
an－1 an－2 a2 a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
(n 1) n n21 n 2
2 2 2 2 ,，
又 a1＝2满足上式，
n2 n 2
∴an＝ 2 2 .
题型三 数列的性质
命题点 1 数列的单调性
3 {a } a 3n＋k例 已知数列 n 的通项公式为 n＝ ，若数列{an}为递减数列，则实数 k的取值范围为
2n
( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 D
3n＋3＋k 3－3n－k
解析 ( 3n＋k单调性)因为 an＋1－an＝ － ＝ ，由数列{an}为递减数列知，对任
2n＋1 2n 2n＋1
3－3n－k
意 n∈N*，an＋1－an＝ <0，
2n＋1
所以 k>3－3n对任意 n∈N*恒成立，所以 k∈(0，＋∞)．
思维升华 解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据 an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2) an用作商比较法，根据 ＋1(an>0或 an<0)与 1的大小关系进行判断．
an
(3)函数法．
命题点 2 数列的周期性
例 4 (2021·广元联考)已知数列{an}，若 an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已
知数列{bn}为“凸数列”，且 b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前 2 022项的和为( )
A．0 B．1 C．－5 D．－1
答案 A
解析 ∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，
∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，
b4＝b3－b2＝－1，
b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，
b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，
b7＝b6－b5＝3－2＝1.
∴{bn}是周期为 6的周期数列，
且 S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.
∴S2 022＝S337×6＝0.
思维升华 解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者
前 n项的和．
命题点 3 数列的最值
5 {a } a 28 an＋1－an a例 已知数列 n 满足 1＝ ， ＝2，则 n的最小值为( )
n n
A.29 B．4 7 1 C.48－ D.27
3 5 4
答案 C
解析 由 an＋1－an＝2n，可得 an＝n2－n＋28，
an 28
∴ ＝n＋ －1，
n n
设 f(x) x 28＝ ＋ ，可知 f(x)在(0， 28]上单调递减，在( 28，＋∞)上单调递增，
x
a 48
又 n∈N*，且 5＝ 5 5 6 3
思维升华 求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
an≥an－1， an≤an－1，
(2)利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项．
an≥an＋1 an≤an＋1
a >0 an＋1或当 n 时， >1
(3)比较法：若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0 an ，则 an＋1>an，则数列{an}
是 递 增 数 列 ， 所 以 数 列 {an} 的 最 小 项 为 a1 ； 若 有 an ＋ 1 － an ＝ f(n ＋ 1) －
或当 a >0 an＋1n 时， <1
f(n)<0 an ，则 an＋1a1.
跟踪训练 2 (1) n已知数列{an}的通项公式是 an＝ ，那么这个数列是( )
3n＋1
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
答案 A
解析 an＋1－a
n＋1 n 1
n＝ － ＝ >0，∴an＋1>an，∴选 A.
3n＋4 3n＋1 3n＋1 3n＋4
(2)已知数列{an}满足 an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，则 a2 021等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 由题意，数列{an}满足 an＋2＝an＋1－an，
且 a1＝1，a2＝2，
当 n＝1时，可得 a3＝a2－a1＝2－1＝1；
当 n＝2时，可得 a4＝a3－a2＝1－2＝－1；
当 n＝3时，可得 a5＝a4－a3＝－1－1＝－2；
当 n＝4时，可得 a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1；
当 n＝5时，可得 a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1；
当 n＝6时，可得 a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2；
……
可得数列{an}是以 6为周期的周期数列，
所以 a2 021＝a336×6＋5＝a5＝－2.
故选 A.
7
(3)在数列{an}中，an＝(n＋1) 8 n，则数列{an}的最大项是第________项．
答案 6或 7
7
n＋2 8 n＋1an 1 7 n＋2
解析 ＋ ＝ 7 ＝ × ≥1.an 8 n 1 8 n n＋1＋
得 n≤6，即当 n≤6时，an＋1≥an，
当 n>6时，an＋1【课后作业】
A 组
1．数列 3，3，15，21，3 3，…，则 9是这个数列的第( )
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
答案 C
解析 数列 3，3，15，21，3 3，…，可化为 3，9，15，21，27，…，
则数列的通项公式为 an＝ 6n－3，
当 an＝ 6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选 C.
2．若数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则 an等于( )
A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1
C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2n＋1，
∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，an－an n－1－1＝2 ＋1(n≥2)，以上各式相
加得，
an－a1＝21＋ ＋2n－… 1＋(n－1)
2 1－2n－1
＝ ＋n－1＝2n＋n－3，
1－2
∴an＝2n＋n－2，选 A.
3．在一个数列中，如果 n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，
k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1＋a2＋…
＋a2 021等于( )
A．4 711 B．4 712
C．4 714 D．4 715
答案 C
解析 由题意可知 anan＋1an＋2＝8，
则对任意的 n∈N*，an≠0，
则 a1a2a3＝8，∴a
8
3＝ ＝4，
a1a2
由 anan＋1an＋2＝8，得 an＋1an＋2an＋3＝8，
∴anan＋1an＋2＝an＋1an＋2an＋3，
∴an＋3＝an，
∵2 021＝3×673＋2，
因此 a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2
＝673×7＋1＋2＝4 714.
故选 C.
4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－11n
a
＋ ，a5是数列{an}的最小项，则实数 a的取值范
n
围是( )
A．[－40，－25] B．[－40,0]
C．[－25,25] D．[－25,0]
答案 B
解析 由已知条件得 a5是数列{an}的最小项，
a5≤a4，
所以
a5≤a6，
52 11 5 a 42 11 4 a－ × ＋ ≤ － × ＋ ，
5 4 a≥－40，
即 解得
52－11 5 a a× ＋ ≤62－11×6＋ ， a≤0.
5 6
故选 B.
5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )
n＋1
A．数列 n 的第 k 1项为 1＋
k
B．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第 7项
C．数列 3,5,9,17,33，…的一个通项公式为 an＝2n－1
D．数列{an}
n
的通项公式为 an＝ ，n∈N*，则数列{an}是递增数列
n＋1
答案 ABD
n＋1
1
解析 对于 A，数列 n 的第 k项为 1＋ ，A正确；
k
对于 B，令 n2－n－50＝－8，得 n＝7或 n＝－6(舍去)，B正确；
对于 C，将 3,5,9,17,33，…的各项减去 1，得 2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn}，则其通项公
式为 bn＝2n(n∈N*)，因此数列 3,5,9,17,33，…的一个通项公式为 an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C
错误；
n 1 1 1 1
对于 D，an＝ ＝1－ ，则 an＋1－an＝ － ＝ >0，因此数列{an}是递n＋1 n＋1 n＋1 n＋2 n＋1 n＋2
增数列，D正确．故选 ABD.
6．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数 n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递
减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．a nn＝ n D．an＝ln
n＋1
答案 CD
解析 对于 A，若 an＝3n，则 an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故
A错误；
对于 B，若 an＝n2＋1，则 an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故 B
错误；
1
对于 C，若 an＝ n，则 an＋1－an＝ n＋1－ n＝ ，所以{an＋1－an}为递减数列，故
n＋1＋ n
C正确；
n＋1·n＋1 1 1＋
对于 D，若 an＝ln
n a n＋1 n，则 n＋1－an＝ln －ln ＝ln n＋2 n ＝ln n2＋2n ，由函n＋1 n＋2 n＋1
1 1＋
数 y＝ln x2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故 D正确．
故选 CD.
7．若数列{an}的前 n项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________.
2，n＝1，
答案
6n－5，n≥2
解析 当 n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当 n≥2时，
an＝Sn－Sn 2 2－1＝3n －2n＋1－[3(n－1) －2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当 n＝1时，不满足上式．
2，n＝1，
故数列{an}的通项公式为 an＝
6n－5，n≥2.
8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{an}的前 n项和为 Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写
出一个满足条件的数列{an}的通项公式 an＝________.
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，
n∈N*，Sn≥S6，即 S6最小，
只要前 6项均为负数，或前 5项为负数，第 6项为 0，即可，
所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式 an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
9．已知在数列{an}中，a1a2a3·…·an＝n2(n∈N*)，则 a9＝________.
81
答案
64
解析 ∵a1a2·…·a8＝82＝64，①
a1·a2·…·a9＝92＝81，②
②÷①得 a 819＝ .
64
10 a n＋1．已知数列的通项为 n＝ (n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
3n－16
答案 5
n＋1 n＋1 16
解析 因为 an＝ ，数列{an}的最小项必为 an<0，即 <0,3n－16<0，从而 n< ，
3n－16 3n－16 3
又因为 n∈N*，且数列{an}的前 5项递减，所以 n＝5时，an的值最小．
11．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.
解 (1)∵Sn＝2n－1(n∈N*)，
∴当 n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；
当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
经检验，当 n＝1时，符合上式，
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，
∴当 n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；
当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
经检验，当 n＝1时，不符合上式，
6，n＝1，
∴an＝
4n－1，n≥2，n∈N*.
12．在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
解 (1)令 an＝－107，－2n2＋9n＋3＝－107,2n2－9n－110＝0，
解得 n＝10或 n 11＝－ (舍去)．所以 a10＝－107.
2
n 92 －(2)an＝－2n ＋9n＋3＝－2 4 2 105＋ ，
8
由于 n∈N*，所以最大项为 a2＝13.
B 组
13．在各项均为正数的数列{an}中，对任意 m，n∈N*，都有 am＋n＝am·an.若 a6＝64，则 a9等
于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
答案 C
解析 在各项均为正数的数列{an}中，对任意 m，n∈N*，都有 am＋n＝am·an.所以 a6＝a3·a3＝
64，a3＝8.所以 a9＝a6·a3＝64×8＝512.故选 C.
14．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公
式为( )
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
答案 D
解析 在 4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，
令 n＝1，得 8(a1＋1)＝9a1，所以 a1＝8，
因为 4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①
所以 4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②
n＋2 2 n＋1 2
①－②得，4an＝ an－ an－1，
n＋1 n
n2 a n＋1
2
a n＋1
3
即 n＝ n 1，an＝ an 1，
n＋1 n － n3 －
a an an－1 a所以 n＝ × ×…× 2×a1
an－1 an－2 a1
n＋1 3 n3 33
＝ × ×…× 3×8n3 n－1 3 2
＝(n＋1)3(n≥2)，
又 a1＝8也满足此式，所以数列{an}的通项公式为(n＋1)3.
故选 D.
C 组
15．设数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 Sn＝(－1)na
1
n＋ ，则 S1＋S3＋S5等于( )
2n
A 0 B.17 C. 5． D.21
64 64 64
答案 D
1
解析 数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 Sn＝(－1)nan＋ ，
2n
当 n为偶数时，Sn＝Sn－S
1
n－1＋ ，2n
S 1 S S S 1 1 1 21即有 n－1＝ ，所以 1＋ 3＋ 5＝ ＋ ＋ ＝ .2n 4 16 64 64
故选 D.
16．(2020· 1 1鹰潭模拟)Sn是数列{an}的前 n项和，且 an－Sn＝ n－ n2.
2 2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) a若 bn＝ 2 n －5an，求数列{bn}中最小的项．
解 (1)对任意的 n∈N* 1 1 1 1，由 an－Sn＝ n－ n2，得 an＋1－Sn＋1＝ (n＋1)－ (n＋1)2，2 2 2 2
两式相减得 an＝n，因此数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2)由(1)得 bn＝2n－5n，
则 bn 1－bn＝[2n＋1＋ －5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.
当 n≤2时，bn＋1－bn<0，
即 bn＋1b2>b3；
当 n≥3时，bn＋1－bn>0，
即 bn＋1>bn，∴b3所以数列{bn}的最小项为 b3＝23－5×3＝－7.第 11讲 数列的概念与简单表示法
【知识梳理】
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列
的 ．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的 与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这
个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝ ．
(3)数列的递推公式
如果一个数列的 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这
个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序
号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 ．也就是说，当自变量从 1开始，
按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数
项数
无穷数列 项数
项与项间 递增数列
其中
的大小 递减数列
n∈N*
关系 常数列
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是 、图象法和 ．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的通项公式是唯一的．( )
(2)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( )
(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( )
(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
2 1 1 1 1 1．数列 ，， ， ， ，…的通项公式是 an＝________.
3 8 15 24 35
3 1．已知数列 a1＝2，an＝1－ (n≥2)．则 a2 022＝________.
an－1
4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是
________．
5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为 an＝________.
6．若 an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前 n 项和 Sn最大时，n 的值为________．
【典型例题】
题型一 由 an与 Sn的关系求通项公式
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n，则 an＝________.
2．已知数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，且 Sn＝2an＋1，则数列的通项公式 an＝________.
3．设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an＝________.
4．设 Sn是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是_______．
a 1① n＝
n n－1
－1，n＝1，
②an＝ 1 ，n≥2
n n－1
1
③Sn＝－
n
1
④数列 Sn 是等差数列
题型二 由数列的递推关系式求通项公式
命题点 1 累加法
1
例 1 在数列{an}中，a1＝2， an 1 an ln(1 )，则 an等于( )n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
命题点 2 累乘法
例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，其首项 a1＝1，且满足 3Sn＝(n＋2)an，则 an＝______.
跟踪训练 1 (1)在数列{an}
1
中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式 an＝________.n n＋1
(2)已知 a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式 an＝________.
题型三 数列的性质
命题点 1 数列的单调性
例 3 已知数列{a } 3n＋kn 的通项公式为 an＝ ，若数列{an}为递减数列，则实数 k 的取值范围为
2n
( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
命题点 2 数列的周期性
例 4 (2021·广元联考)已知数列{an}，若 an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已
知数列{bn}为“凸数列”，且 b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前 2 022项的和为( )
A．0 B．1 C．－5 D．－1
命题点 3 数列的最值
例 5 已知数列{a }满足 a ＝28 an， ＋1－an a＝2，则 nn 1 的最小值为( )
n n
A.29 B 4 7 1 C.48 D.27． －
3 5 4
n
跟踪训练 2 (1)已知数列{an}的通项公式是 an＝ ，那么这个数列是( )
3n＋1
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
7
(3)在数列{an}中，an＝(n＋1) 8 n，则数列{an}的最大项是第________项．
【课后作业】
A 组
1．数列 3，3，15，21，3 3，…，则 9是这个数列的第( )
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
2．若数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则 an等于( )
A －．2n＋n－2 B．2n 1＋n－1
C．2n＋1＋n－4 D 2n＋． 1＋2n－2
3．在一个数列中，如果 n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，
k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1＋a2＋…
＋a2 021等于( )
A．4 711 B．4 712
C．4 714 D．4 715
4 a．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－11n＋ ，a5是数列{an}的最小项，则实数 a 的取值范
n
围是( )
A．[－40，－25] B．[－40,0]
C．[－25,25] D．[－25,0]
5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )
n＋1
A．数列 n 的第 k 项为 1 1＋
k
B．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第 7项
C．数列 3,5,9,17,33，…的一个通项公式为 an＝2n－1
D n．数列{an}的通项公式为 an＝ ，n∈N*，则数列{an}是递增数列
n＋1
6．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数 n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递
减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．a nn＝ n D．an＝ln
n＋1
7．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________.
8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写
出一个满足条件的数列{an}的通项公式 an＝________.
9．已知在数列{an}中，a1a2a3·…·an＝n2(n∈N*)，则 a9＝________.
10 n＋1．已知数列的通项为 an＝ (n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
3n－16
11．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.
12．在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
B 组
13．在各项均为正数的数列{an}中，对任意 m，n∈N*，都有 am＋n＝am·an.若 a6＝64，则 a9等
于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
14．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公
式为( )
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
C 组
15．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝(－1)na
1
n＋ ，则 S1＋S3＋S5等于( )
2n
A 0 B.17 C. 5 21． D.
64 64 64
16．(2020·鹰潭模拟)Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 an－S
1
n＝ n
1
－ n2.
2 2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 bn＝ 2an －5an，求数列{bn}中最小的项．

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