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第 9 讲 直线、平面垂直的判定与性质
【考试要求】
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定
定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
【知识梳理】
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面α互相垂
直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
l⊥a
如果一条直线与一个平面
判定 l⊥b
内的两条相交直线垂直，那 l⊥α
定理 a∩b＝O
么该直线与此平面垂直 a，b α
性质 垂直于同一个平面的两条 a⊥α
a∥b
定理 直线平行 b⊥α
2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 如果一个平面过另一个平面 l⊥α
α⊥β
定理 的垂线，那么这两个平面垂直 l β
两个平面垂直，如果一个平面 α⊥β
性质 内有一直线垂直于这两个平 α∩β＝a l⊥α
定理 面的交线，那么这条直线与另 l⊥a
一个平面垂直 l β
3.空间角
(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
0 π，
②范围： 2 .
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角的范围：[0，π]．
微思考
1．若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线 m⊥l，则 m与平面β一定垂直吗？
提示 不一定，当 m α时，m⊥β.
2．空间中任一直线 m，在平面α内是否存在无数条直线与 m垂直？
提示 存在．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．( × )
(2)直线 l与平面α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( × )
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )
(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．( √ )
题组二 教材改编
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 对于 D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系
还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
3．设α，β为两个不同的平面，直线 l α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 依题意，由 l⊥β，l α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l α不能推出 l⊥β，因此
“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选 A.
4.如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．
答案 3
解析 ∵AB⊥平面 BCD，AB 平面 ABD，AB 平面 ABC，
∴平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABC⊥平面 BCD.
又 AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面 ABC.
又 CD 平面 ACD，
∴平面 ACD⊥平面 ABC.
题组三 易错自纠
5．“直线 a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线 a与平面α垂直”的______条件．
答案 必要不充分
6．在三棱锥 P－ABC中，点 P在平面 ABC上的射影为点 O.
(1)若 PA＝PB＝PC，则点 O是△ABC的________心；
(2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O是△ABC的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，
在 Rt△POA，Rt△POB和 Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以 OA＝OB＝OC，
即 O为△ABC的外心．
(2)如图 2，延长 AO，BO，CO分别交 BC，AC，AB于点 H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB 平面 PAB，
∴PC⊥平面 PAB，又 AB 平面 PAB，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC 平面 PGC，
∴AB⊥平面 PGC，又 CG 平面 PGC，
∴AB⊥CG，即 CG为△ABC边 AB上的高．
同理可证 BD，AH分别为△ABC边 AC，BC上的高，
即 O为△ABC的垂心.
【典型例题】
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例 1 如图，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E是
PD的中点，M，N分别在 AB，PC上，且 MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面 PAD，AE 平面 PAD，
∴AE⊥AB，
又 AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是 PD的中点，∴AE⊥PD.
又 CD∩PD＝D，CD，PD 平面 PCD，
∴AE⊥平面 PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面 PCD，
∴MN⊥平面 PCD，∴AE∥MN.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；
③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC
＝60°，PA＝AB＝BC，E是 PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
证明 (1)在四棱锥 P－ABCD中，
∵PA⊥底面 ABCD，CD 平面 ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面 PAC.
而 AE 平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA.
∵E是 PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，PC，CD 平面 PCD，∴AE⊥平面 PCD.
而 PD 平面 PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且 PA∩AD＝A，PA，AD 平面 PAD，
∴AB⊥平面 PAD，而 PD 平面 PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面 ABE，
∴PD⊥平面 ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例 2 在矩形 ABCD中，AB＝2AD＝4，E是 AB的中点，沿 DE将△ADE折起，得到如图所
示的四棱锥 P－BCDE.
(1)若平面 PDE⊥平面 BCDE，求四棱锥 P－BCDE的体积；
(2)若 PB＝PC，求证：平面 PDE⊥平面 BCDE.
(1)解 如图所示，取 DE的中点 M，连接 PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面 PDE⊥平面 BCDE，平面 PDE∩平面 BCDE＝DE，PM 平面 PDE，
∴PM⊥平面 BCDE，
即 PM为四棱锥 P－BCDE的高．
在等腰直角三角形 PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
1
∴PM＝ DE＝ 2，
2
而直角梯形 BCDE的面积
S 1＝ (BE CD)·BC 1＋ ＝ ×(2＋4)×2＝6，
2 2
∴四棱锥 P－BCDE的体积
V 1＝ PM·S 1＝ × 2×6＝2 2.
3 3
(2)证明 取 BC的中点 N，连接 PN，MN，则 BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面 PMN，
∴BC⊥平面 PMN，
∵PM 平面 PMN，∴BC⊥PM，
由(1)知，PM⊥DE，
又 BC，DE 平面 BCDE，且 BC与 DE是相交的，
∴PM⊥平面 BCDE，
∵PM 平面 PDE，
∴平面 PDE⊥平面 BCDE.
思维升华 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(ⅰ)面面垂直的定义；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为
线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练 2 (2020·江苏)在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F分别是
AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面 AB1C1；
(2)求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1.
证明 (1)因为 E，F分别是 AC，B1C的中点，
所以 EF∥AB1.
又 EF 平面 AB1C1，AB1 平面 AB1C1，
所以 EF∥平面 AB1C1.
(2)因为 B1C⊥平面 ABC，AB 平面 ABC，
所以 B1C⊥AB.
又 AB⊥AC，B1C 平面 AB1C，AC 平面 AB1C，
B1C∩AC＝C，
所以 AB⊥平面 AB1C.
又因为 AB 平面 ABB1，
所以平面 AB1C⊥平面 ABB1.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 (2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，
AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在 AD上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请
说明理由；
(2)若△PCD的面积为 8 7，求四棱锥 P－ABCD的体积．
解 (1)存在，当 M为 AD的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.
证明：取 AD的中点 M，连接 CM，PM，
由△PAD是等边三角形，
可得 PM⊥AD，
由平面 PAD⊥平面 ABCD，PM 平面 PAD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
可得 PM⊥平面 ABCD，
由 PM 平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
(2)设 AB＝a，可得 BC＝a，AD＝2a，
可得 MC＝AB＝MD＝a，
则 CD＝ 2a，PD＝2a，
由 PM⊥MC，可得 PC＝ PM2＋MC2＝ 3a2＋a2＝2a，
S 1由 △PCD＝ · 2a· 4a2
1 7
－ a2＝ a2＝8 7，
2 2 2
可得 a＝4，
P ABCD V 1 1 1所以四棱锥 － 的体积 ＝ S 四边形 ABCD·PM＝ × ×(4＋8)×4×4 3＝32 3.3 3 2
思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关
系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾
的结论则否定假设．
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 S－ABCD中，四边形 ABCD是边长为 2的菱形，∠ABC＝60°，
△SAD为正三角形．侧面 SAD⊥底面 ABCD，E，F分别为棱 AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面 SEC；
(2)求证：平面 ASB⊥平面 CSB；
(3)在棱 SB BM上是否存在一点 M，使得 BD⊥平面 MAC？若存在，求 的值；若不存在，请说
BS
明理由．
(1)证明 取 SC的中点 G，连接 FG，EG，
∵F，G 1分别是 SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝ BC，
2
∵四边形 ABCD是菱形，E是 AD的中点，
∴AE∥BC，AE 1＝ BC，
2
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形 AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又 AF 平面 SEC，EG 平面 SEC，
∴AF∥平面 SEC.
(2)证明 ∵△SAD是等边三角形，E是 AD的中点，
∴SE⊥AD，
∵四边形 ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又 E是 AD的中点，
∴AD⊥CE，又 SE∩CE＝E，SE，CE 平面 SEC，
∴AD⊥平面 SEC，又 EG 平面 SEC，
∴AD⊥EG，又四边形 AFGE是平行四边形，
∴四边形 AFGE是矩形，
∴AF⊥FG，
又 SA＝AB，F是 SB的中点，
∴AF⊥SB，又 FG∩SB＝F，FG，SB 平面 SBC，
∴AF⊥平面 SBC，又 AF 平面 ASB，
∴平面 ASB⊥平面 CSB.
(3)解 假设在棱 SB上存在点 M，使得 BD⊥平面 MAC，
连接 MO，BE，则 BD⊥OM，
∵四边形 ABCD是边长为 2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∴BE＝ 7，SE＝ 3，BD＝2OB＝2 3，SD＝2，SE⊥AD，
∵侧面 SAD⊥底面 ABCD，
侧面 SAD∩底面 ABCD＝AD，SE 平面 SAD，
∴SE⊥平面 ABCD，
∴SE⊥BE，
∴SB＝ SE2＋BE2＝ 10，
2 2 2
∴cos SBD SB ＋BD －SD 3 30∠ ＝ ＝ ，
2SB·BD 20
Rt BMO cos SBD OB 3 30又在 △ 中， ∠ ＝ ＝ ，
BM 20
2 10
∴BM＝ ，
3
BM 2
∴ ＝ .
BS 3
【课后作业】
A 组
1．(2021·海南模拟)设α和β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法不正确
的是( )
A．若 m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
B．若 m⊥α，n β，α∥β，则 m⊥n
C．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若 m⊥α，n⊥β，α∥β，则 m∥n
答案 A
解析 m∥α，n∥β，m∥n，并不能推出α∥β，这时α和β可能相交，故 A错误；
若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，又 n β，则 m⊥n，B正确；
若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α或 n α，又 n⊥β，则α⊥β，C正确；
若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，又 n⊥β，则 m∥n，D正确．
2．设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线 m α，直线 n β，则下列
命题为真命题的是( )
A．“m⊥n”是“n⊥α”的充分条件
B．“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件
C．“α∥β”是“m∥n”的充要条件
D．“m⊥n”是“α⊥β”的必要条件
答案 B
解析 n⊥α能得到 n⊥m，但 n⊥m不能得出 n⊥α，A错；
m∥n时，m也可能在平面β内，不能得出 m∥β，反之，m∥β，β内的直线也不一定与 m平行，
即不能得出 m∥n，
∴“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件，B正确；
α∥β时，m，n可能是异面直线，不一定平行，m∥n时，α，β也可能相交，不一定平行，C
错；
两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D错．
3.如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC上的射影
H必在( )
A．直线 AB上 B．直线 BC上
C．直线 AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得 AC⊥平面 ABC1.
因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC1⊥平面 ABC.
所以 C1在平面 ABC上的射影 H必在两平面的交线 AB上．
4.如图，在正四面体 P－ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成
立的是( )
A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE
C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDE⊥平面 ABC
答案 D
解析 因为 BC∥DF，DF 平面 PDF，BC 平面 PDF，
所以 BC∥平面 PDF，故选项 A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且 AE，PE 平面 PAE，所以 BC⊥平面 PAE，
因为 DF∥BC，所以 DF⊥平面 PAE，
又 DF 平面 PDF，从而平面 PDF⊥平面 PAE.
因此选项 B，C均正确．
5．(多选)(2021·济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点 M，N，
P分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥平面 MNP的图形为( )
答案 AD
解析 对于 AD项，根据正方体的性质可得 l⊥MN，l⊥MP，可得 l⊥平面 MNP.
而 BC项，无法得出 l⊥平面 MNP.
6．(多选)如图，PA垂直于以 AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于 A，B的任意一点，AE⊥PC，
垂足为 E，点 F是 PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A．BC⊥平面 PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面 AEF⊥平面 PBC
答案 ABD
解析 对于 A，PA垂直于以 AB为直径的圆所在平面，而 BC 底面圆面，则 PA⊥BC，
又由圆的性质可知 AC⊥BC，且 PA∩AC＝A，PA，AC 平面 PAC，
则 BC⊥平面 PAC.所以 A正确；
对于 B，由 A项可知 BC⊥AE，
由题意可知 AE⊥PC，且 BC∩PC＝C，BC，PC 平面 PCB，
所以 AE⊥平面 PCB，而 EF 平面 PCB，
所以 AE⊥EF，所以 B正确；
对于 C，由 B项可知 AE⊥平面 PCB，因而 AC与平面 PCB不垂直，
所以 AC⊥PB不成立，所以 C错误；
对于 D，由 B项可知，AE⊥平面 PCB，AE 平面 AEF，
由面面垂直的判定定理可得平面 AEF⊥平面 PBC.
所以 D正确．
7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线 CA与 DB的位置关系是_____．
答案 垂直
解析 ∵DA⊥平面α，AC 平面α，∴DA⊥CA，
在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，
且 DA∩BA＝A，DA，BA 平面 ADB，
∴CA⊥平面 DAB，DB 平面 DAB，
∴CA⊥DB.
8．已知平面α，β和直线 m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；(5)α∥β，
当条件________成立时，有 m∥β；当条件________成立时，有 m⊥β.(填所选条件的序号)
答案 (3)(5) (2)(5)
解析 根据面面平行的特征可得，若 m α，α∥β，
则 m∥β；
根据线面垂直以及面面平行的特征可得，
若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β.
9.如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M是 PC上的一
动点，当点 M满足____时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面 ABCD，
∴BD⊥PA，连接 AC(图略)，
则 BD⊥AC，且 PA∩AC＝A，PA，AC 平面 PAC，
∴BD⊥平面 PAC，∴BD⊥PC.
∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD，
而 PC 平面 PCD，∴平面 MBD⊥平面 PCD.
10．如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿
对角线 BD折起，设折起后点 A的位置为 A′，并且平面 A′BD⊥平面 BCD.则给出下面四个
命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)
①A′D⊥BC 2；②三棱锥 A′－BCD的体积为 ；
2
③BA′⊥CA′；④平面 A′BC⊥平面 A′DC.
答案 ③④
解析 如图所示，取 BD的中点 E，连接 A′E.
又因为 A′B＝A′D，
所以 A′E⊥BD，
所以 A′E⊥平面 BCD，
所以 A′E⊥BC.
若 A′D⊥BC，则可得到 BC⊥平面 A′BD，故 BC⊥BD，与已知矛盾，故①错误．
1 1 2 2
三棱锥 A′－BCD的体积 V＝ × × 2× 2× ＝ ，故②错误．
3 2 2 6
在直角三角形 A′CD中，A′C2＝CD2＋A′D2，
所以 A′C＝ 3.
在三角形 A′BC 中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝ 3，满足 BC2＝A′B2＋A′C2，所以
BA′⊥CA′.故③正确．
又 BA′⊥DA′，所以 BA′⊥平面 A′DC，所以平面 A′BC⊥平面 A′DC，故④正确．
11.如图，在三棱锥 A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E与 A，
D不重合)分别在棱 AD，BD上，且 EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面 ABD内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，
所以 EF∥AB.
又因为 EF 平面 ABC，AB 平面 ABC，
所以 EF∥平面 ABC.
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
BC 平面 BCD，BC⊥BD，所以 BC⊥平面 ABD.
因为 AD 平面 ABD，所以 BC⊥AD.
又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC 平面 ABC，所以 AD⊥平面 ABC.
又因为 AC 平面 ABC，所以 AD⊥AC.
12．如图，三棱锥 PABC中，PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥 PABC的体积；
(2)在线段 PC PM上是否存在点 M，使得 AC⊥BM，若存在点 M，求出 的值；若不存在，请
MC
说明理由．
解 (1)由题知 AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
S 1可得 △ABC＝ ·AB·AC·sin 60°
3
＝ ，
2 2
由 PA⊥平面 ABC，可知 PA是三棱锥 PABC的高．
1 3
又 PA＝1，所以三棱锥 PABC的体积 V＝ ·S△ABC·PA＝ .3 6
(2)在平面 ABC内，过点 B作 BN⊥AC，垂足为 N.在平面 PAC内，过点 N作 MN∥PA交 PC
于点 M，连接 BM.
由 PA⊥平面 ABC及 AC 平面 ABC知 PA⊥AC，所以 MN⊥AC.
由于 BN∩MN＝N，故 AC⊥平面 MBN.
又 BM 平面 MBN，所以 AC⊥BM.
1
在 Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝ ，
2
从而 NC＝AC－AN 3＝ .
2
由 MN PA PM AN 1∥ ，得 ＝ ＝ .
MC NC 3
B 组
13.(2020·韶关模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面
ABCD，PD＝DC，E是棱 PC的中点，作 EF⊥PB交 PB于点 F，下列说法不正确的是( )
A．OE∥PA B．平面 PAC⊥平面 PBD
C．PB⊥平面 EFD D．BD⊥ED
答案 D
解析 ∵四边形 ABCD是正方形，∴O是 AC的中点，
∵E是棱 PC的中点，∴PA∥OE，故 A正确；
∵PD⊥平面 ABCD，∴PD⊥AC，
又 AC⊥BD，PD∩DB＝D，PD，BD 平面 PDB，
∴AC⊥平面 PBD，又 AC 平面 PAC，
∴平面 PAC⊥平面 PDB，故 B正确；
∵PD⊥平面 ABCD，∴PD⊥BC，
由四边形 ABCD是正方形，得 BC⊥CD，
又 PD∩CD＝D，PD，CD 平面 PCD，
∴BC⊥平面 PCD，
又 DE 平面 PCD，
∴BC⊥DE.
∵PD＝DC，E是 PC的中点，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC＝C，PC，BC 平面 PBC，
∴DE⊥平面 PBC，
∵PB 平面 PBC，∴PB⊥DE，
又 EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE，EF 平面 EFD，
∴PB⊥平面 EFD，故 C正确；
由 DE⊥平面 PBC，知 DE⊥EB，故 D错误．
14．(2020·大庆模拟)已知四条边长均为 2 3的空间四边形 ABCD的顶点都在同一个球面上，
若∠BAD π＝ ，平面 ABD⊥平面 CBD，则该球的体积为__________．
3
20 5
答案 π
3
解析 如图所示，
设 E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，
过点 E，F分别作平面 ABD与平面 BCD的垂线 OE，OF，相交于点 O，
由空间四边形 ABCD的边长为 2 3，∠BAD π＝ ，
3
所以△ABD与△BCD均为等边三角形，
又平面 ABD⊥平面 CBD，
所以 O为四面体 ABCD外接球的球心，
2
又 AE＝ 2 3 2－ 3 2＝2，
3
所以 OE＝1，所以外接球的半径为 R＝ 22＋12＝ 5，
V 4πR
3 4π 20 5π
所以外接球的体积为 ＝ ＝ ×( 5)3＝ .
3 3 3
C 组
15.(2020·广州模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD中，底面四边形 ABCD为矩形，SA⊥平面 ABCD，
P，Q分别是线段 BS，AD的中点，点 R在线段 SD上．若 AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则 AR
＝________.
4 5
答案
5
解析 如图，取 SA的中点 E，连接 PE，QE.
∵SA⊥平面 ABCD，AB 平面 ABCD，∴SA⊥AB，
而 AB⊥AD，AD∩SA＝A，
∴AB⊥平面 SAD，
又 P，E分别是 SB，SA的中点，
∴PE∥AB，
故 PE⊥平面 SAD，
又 AR 平面 SAD，
∴PE⊥AR.
又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，
∴AR⊥平面 PEQ，
∵EQ 平面 PEQ，∴AR⊥EQ，
∵E，Q分别为 SA，AD的中点，
∴EQ∥SD，则 AR⊥SD，
在 Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得 SD＝2 5，
由等面积法可得 AR 4 5＝ .
5
16.(2020·黄山模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝BC＝ 3，AD
＝CD＝1 1，∠ADC＝120°，点 M是 AC与 BD的交点，点 N在线段 PB上，且 PN＝ PB.
4
(1)证明：MN∥平面 PDC；
(2)在线段 BC上是否存在一点 Q，使得平面 MNQ⊥平面 PAD，若存在，求出点 Q的位置；
若不存在，请说明理由．
(1)证明 在四边形 ABCD中，
由 AB＝BC＝ 3，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，
可得 AC⊥BD，且 M为 AC的中点，
由 AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
1
可得 DM＝CDcos 60°＝ ，AC＝2CDsin 60°＝ 3，
2
则 BM 3＝ × 3 3＝ ，
2 2
DM PN 1
由 ＝ ＝ ，可得 MN∥PD，
BM BN 3
而 MN 平面 PCD，PD 平面 PCD，
可得 MN∥平面 PDC.
(2)解 过 M作 ME⊥AD，垂足为 E，延长 EM交 BC于 Q，连接 NQ，NE，如图，
由 PA⊥平面 ABCD，EQ 平面 ABCD，可得 PA⊥EQ，
又 EQ⊥AD，可得 EQ⊥平面 PAD，EQ 平面 MNQ，可得平面 MNQ⊥平面 PAD，故存在这
样的点 Q.
在 Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，
在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，
BM 3 BQ BM由 ＝ ， ＝ ，
2 sin 30° sin 120°
可得 BQ BM 3＝ ＝ ，即 Q为 BC的中点，
3 2
则 Q为 BC的中点时，平面 MNQ⊥平面 PAD.第 9 讲 直线、平面垂直的判定与性质
【知识梳理】
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线 l与平面α内的 一条直线都垂直，就说直线 l与平面α互相
垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面
判定
内的两条 直线垂直，
定理
那么该直线与此平面垂直
性质 垂直于同一个平面的两条
定理 直线
2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 如果一个平面过另一个平面
定理 的 ，那么这两个平面垂直
两个平面垂直，如果一个平面
性质 内有一直线垂直于这两个平
定理 面的 ，那么这条直线与
另一个平面垂直
3.空间角
(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围： .
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两
条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角的范围： ．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．( )
(2)直线 l与平面α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( )
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．( )
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．设α，β为两个不同的平面，直线 l α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．
5．“直线 a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线 a与平面α垂直”的______条件．
6．在三棱锥 P－ABC中，点 P在平面 ABC上的射影为点 O.
(1)若 PA＝PB＝PC，则点 O是△ABC的________心；
(2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O是△ABC的________心．
【典型例题】
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例 1 如图，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E是
PD的中点，M，N分别在 AB，PC上，且 MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC
＝60°，PA＝AB＝BC，E是 PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例 2 在矩形 ABCD中，AB＝2AD＝4，E是 AB的中点，沿 DE将△ADE折起，得到如图所
示的四棱锥 P－BCDE.
(1)若平面 PDE⊥平面 BCDE，求四棱锥 P－BCDE的体积；
(2)若 PB＝PC，求证：平面 PDE⊥平面 BCDE.
跟踪训练 2 (2020·江苏)在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F分别是
AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面 AB1C1；
(2)求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 (2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，
AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在 AD上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请
说明理由；
(2)若△PCD的面积为 8 7，求四棱锥 P－ABCD的体积．
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 S－ABCD中，四边形 ABCD是边长为 2的菱形，∠ABC＝60°，
△SAD为正三角形．侧面 SAD⊥底面 ABCD，E，F分别为棱 AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面 SEC；
(2)求证：平面 ASB⊥平面 CSB；
(3)在棱 SB BM上是否存在一点 M，使得 BD⊥平面 MAC？若存在，求 的值；若不存在，请说
BS
明理由．
【课后作业】
A 组
1．(2021·海南模拟)设α和β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法不正确
的是( )
A．若 m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
B．若 m⊥α，n β，α∥β，则 m⊥n
C．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若 m⊥α，n⊥β，α∥β，则 m∥n
2．设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线 m α，直线 n β，则下列
命题为真命题的是( )
A．“m⊥n”是“n⊥α”的充分条件
B．“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件
C．“α∥β”是“m∥n”的充要条件
D．“m⊥n”是“α⊥β”的必要条件
3.如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC上的射影
H必在( )
A．直线 AB上 B．直线 BC上
C．直线 AC上 D．△ABC内部
4.如图，在正四面体 P－ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成
立的是( )
A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE
C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDE⊥平面 ABC
5．(多选)(2021·济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点 M，N，
P分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥平面 MNP的图形为( )
6．(多选)如图，PA垂直于以 AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于 A，B的任意一点，AE⊥PC，
垂足为 E，点 F是 PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A．BC⊥平面 PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面 AEF⊥平面 PBC
7．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线 CA与 DB的位置关系是_____．
8．已知平面α，β和直线 m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；(5)α∥β，
当条件________成立时，有 m∥β；当条件________成立时，有 m⊥β.(填所选条件的序号)
9.如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M是 PC上的一
动点，当点 M满足____时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
10．如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿
对角线 BD折起，设折起后点 A的位置为 A′，并且平面 A′BD⊥平面 BCD.则给出下面四个
命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)
①A 2′D⊥BC；②三棱锥 A′－BCD的体积为 ；
2
③BA′⊥CA′；④平面 A′BC⊥平面 A′DC.
11.如图，在三棱锥 A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E与 A，
D不重合)分别在棱 AD，BD上，且 EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)AD⊥AC.
12．如图，三棱锥 PABC中，PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥 PABC的体积；
(2)在线段 PC PM上是否存在点 M，使得 AC⊥BM，若存在点 M，求出 的值；若不存在，请
MC
说明理由．
B 组
13.(2020·韶关模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面
ABCD，PD＝DC，E是棱 PC的中点，作 EF⊥PB交 PB于点 F，下列说法不正确的是( )
A．OE∥PA B．平面 PAC⊥平面 PBD
C．PB⊥平面 EFD D．BD⊥ED
14．(2020·大庆模拟)已知四条边长均为 2 3的空间四边形 ABCD的顶点都在同一个球面上，
π
若∠BAD＝ ，平面 ABD⊥平面 CBD，则该球的体积为__________．
3
C 组
15.(2020·广州模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD中，底面四边形 ABCD为矩形，SA⊥平面 ABCD，
P，Q分别是线段 BS，AD的中点，点 R在线段 SD上．若 AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则 AR
＝________.
16.(2020·黄山模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝BC＝ 3，AD
＝CD＝1，∠ADC＝120°，点 M是 AC与 BD的交点，点 N在线段 PB上，且 PN 1＝ PB.
4
(1)证明：MN∥平面 PDC；
(2)在线段 BC上是否存在一点 Q，使得平面 MNQ⊥平面 PAD，若存在，求出点 Q的位置；
若不存在，请说明理由．

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