【高考一轮复习】高三数学 第13讲 等比数列及其前n项和 学案(pdf版,学生版+教师版)

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【高考一轮复习】高三数学 第13讲 等比数列及其前n项和 学案(pdf版,学生版+教师版)

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第 13 讲 等比数列及其前 n 项和
【知识梳理】
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 (不
为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 q表示,
an
定义的表达式为 +
1
=q(n∈N*,q为非零常数).
an
(2)等比中项:如果在 a与 b中间插入一个数 G,使 a,G,b成等比数列,那么 叫做 a与
b的等比中项,此时,G2= .
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an= .
(2)前 n项和公式: .
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*).
(2)对任意的正整数 m,n,p,t,若 m+n=p+t,则 = .
特别地,若 m+n=2p,则 .
(3)若等比数列前 n项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且 q=-1除
外).
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…
为等比数列,公比为 .
a1>0, a1<0,(5)若 或 则等比数列{an}递增.
q>1 0a1>0, a1<0,
若 或 则等比数列{an}递减.
01,
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1,则该数列单调递增.( )
(2)三个数 a,b,c成等比数列的充要条件是 b2=ac.( )
(3)如果正项数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )
a 1-an(4) 数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n项和为 Sn= .( )
1-a
2 1 n S S10-S5 1.已知等比数列的首项为- ,前 项和为 n,若 = ,则 q的值为( )
S5 32
A 1.- B.1 C.2 D.-2
2 2
3.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则 a4=________.
4.已知三个数成等比数列,若它们的和等于 13,积等于 27,则这三个数为_______.
5.(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列,记 Sn为{an}的前 n项和,则下列说法正确的是
( )
A.若 a1>0,0B.若 a1<0,0C.若 q>0,则 S4+S6>2S5
D 1.若 bn= ,则{bn}是等比数列
an
6.已知在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则 a5等于( )
A.-2 B.±2 C.2 D.±1
2
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an} S的前 n项和.若 a n5-a3=12,a6-a4=24,则 等于( )
an
A.2n-1 B.2-21-n
C - -.2-2n 1 D.21 n-1
2.(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a 2 1 1 1 132= , + + = ,
3 a1 a2 a3 2
则 S3等于( )
A.26 B.13 C.13 D.6
9 3 9
3.(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,
初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走了 378里
路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目
的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )
A.198里 B.191里
C.63里 D.48里
4.(2020·全国Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若 ak+1+ak+2+…+ak 10=215-25+ ,则 k
等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
题型二 等比数列的判定与证明
例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an+2=2an+1+3an.
(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;
(2) a 1 a 3若 1= , 2= ,求{an}的通项公式.
2 2
跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an},{cn}满足 cn=2an+1+an.若数列{an}是等比数列,
试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由.
题型三 等比数列性质的应用
例 2 (1)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前 n项和,若 a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则 S12
等于( )
A.40 B.60 C.32 D.50
(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则 a8=_____.
跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列,且 a2a6+2a24=π,则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B.- 3 C 3.- D.± 3
3
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列,且 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则 a6+a7+a8等于
( )
A.12 B.24 C.30 D.32
【课后作业】
A 组
1 a5+a6.在正项等比数列{an}中,a3=2,a4·a6=64,则 的值是( )
a1+a2
A.4 B.8 C.16 D.64
2.设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 S3=S1+2S2,且 a2=3,则 a5等于( )
A.3 B.12 C.24 D.48
3.已知数列 a a2 an1, ,…, ,…是首项为 1,公比为 2的等比数列,则 log2an等于( )
a1 an-1
A.n(n+1) B.n n-1 C.n n+1 D.n n-1
4 2 2
4 {a } a 1 a 3 an.在数列 中, = , = ,且 +2n 1 2 =2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前 n项和,则
an
S100等于( )
50 50
A.3 -1 50 B.3 1-3 + +50
2 2
50 100
C.3 3 -1 50 D.3 3 -1 + +50
2 2
5.(多选)已知等比数列{an}的公比为 q,前 4项的和为 a1+14,且 a2,a3+1,a4成等差数列,
则 q的值可能为( )
A.1 B.1 C.2 D.3
2
6.(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,an 1=2Sn(n∈N*+ ),则有( )
A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列
1,n=1,
C.an=2·3n-1 D.an=
2·3n-2,n≥2
7.记 Sn为等比数列{an}的前 n项和,a1=1,且 S4=a5-1,则公比 q=________.
8 a.已知在递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·a7=2,则 13=________.
a10
9.(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an},且 a23=a7,a6+2a4=3a5,则数列的通
项公式 an=________.
a2n a2 a3
10.已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*),且 a1=2,则 an=________,a1+ 2 2+ 3 3
an
+…+ n n=________.
11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)a
a
n.设 bn= n.
n
(1)求 b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
12.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 2Sn=-an+n(n∈N*).
a 1
(1) n

求证:数列 2 为等比数列;
(2)求数列{an-1}的前 n项和 Tn.
B 组
13.(多选)如图,已知点 E是 ABCD的边 AB的中点,Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点,连接
AFn交 BD于 Gn,点 Gn(n∈N*)满足G→D → →n =an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,其中数列{an}是首项为 1
的正项数列,Sn是数列{an}的前 n项和,则下列结论正确的是( )
A.a3=13 B.数列{an+3}是等比数列
C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2
14.(多选)已知数列{an}不是常数列,其前 n项和为 Sn,则下列选项正确的是( )
A.若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则{an}为递增数列
B.若数列{an}为等差数列,a1>0,S3=S10,则 Sn的最大值在 n=6或 7时取得
C.若数列{an}为等比数列,则 S2 021·a2 021>0恒成立
D a.若数列{an}为等比数列,则{ 2 n }也为等比数列
C 组
15.已知数列{an}满足递推公式 an+1=2an+1,a1=1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和,则
4n+7-n-Sn
的最小值是________.
an+1
16.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前 n
2n-1 ·3n+1
项和为 .
2
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;
1
(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn, n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数 m的最小值.第 13 讲 等比数列及其前 n 项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
【知识梳理】
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为
零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q表示,定义
an 1
的表达式为 + =q(n∈N*,q为非零常数).
an
(2)等比中项:如果在 a与 b中间插入一个数 G,使 a,G,b成等比数列,那么 G叫做 a与 b
的等比中项,此时,G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1) -通项公式:an=a1qn 1.
(2)前 n项和公式:
na1,q=1,
Sn= a1 1-qn a1-anq= ,q≠1.
1-q 1-q
3.等比数列的性质
(1) -通项公式的推广:an=am·qn m(m,n∈N*).
(2)对任意的正整数 m,n,p,t,若 m+n=p+t,则 am·an=ap·at.
特别地,若 m+n=2p,则 am·an=a2p.
(3)若等比数列前 n项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且 q=-1除
外).
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…
为等比数列,公比为 qk.
a
(5) 1
>0, a1<0,
若 或 则等比数列{an}递增.
q>1 0a1>0, a1<0,
若 或 则等比数列{an}递减.
01,
微思考
1.若数列{an}满足 an+1=qan(q≠0),则{an}一定是等比数列吗?
提示 不一定.需验证 a1≠0.
2.若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}是等比数列吗?
提示 不一定.当 q=-1时不是等比数列.
【基础自测】
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1,则该数列单调递增.( × )
(2)三个数 a,b,c成等比数列的充要条件是 b2=ac.( × )
(3)如果正项数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( √ )
n
(4)数列{an} a an n S
a 1-a
的通项公式是 n= ,则其前 项和为 n= .( × )
1-a
题组二 教材改编
2 S10-S5 1.已知等比数列的首项为-1,前 n项和为 Sn,若 = ,则 q的值为( )
S5 32
A 1.- B.1 C.2 D.-2
2 2
答案 B
S10-S5 1
解析 当 q=1时, =1≠ ,∴q≠1.
S5 32
q 1 S10-S5 a6+a7+a8+a9+a10 1当 ≠ 时, = =q5= ,
S5 a1+a2+a3+a4+a5 32
∴q 1= .故选 B.
2
3.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则 a4=________.
答案 54或 24
a1·q=6, q=3, q=2,
解析 由 解得 或
6a1+a1·q2=30, a1=2 a1=3,
a4=a1·q3=2×33=54或 a4=3×23=3×8=24.
4.已知三个数成等比数列,若它们的和等于 13,积等于 27,则这三个数为_______.
答案 1,3,9或 9,3,1
a a+ +aq=13,
a q
解析 设这三个数为 ,a,aq,则
q a·a·aq=27,
q
a=3,
a=3,
解得 q 1 或=
3 q=3,
∴这三个数为 1,3,9或 9,3,1.
题组三 易错自纠
5.(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列,记 Sn为{an}的前 n项和,则下列说法正确的是
( )
A.若 a1>0,0B.若 a1<0,0C.若 q>0,则 S4+S6>2S5
D b 1.若 n= ,则{bn}是等比数列
an
答案 ABD
解析 A,B显然是正确的;
C中,若 a 1 q 11= , = ,则 a62
D bn+1 an 1中, = = (q≠0),
bn an+1 q
∴{bn}是等比数列.
故选 ABD.
6.已知在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则 a5等于( )
A.-2 B 1.±2 C.2 D.±
2
答案 C
解析 ∵a2·a3·a4=1,∴a3=1,
∵a6·a7·a8=64,∴a7=4,
又 a25=a3·a7=4,a5与 a3同号,
∴a5=2.故选 C.
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an}的前 n S项和.若 a5-a3=12,a6-a n4=24,则 等于( )
an
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
答案 B
解析 方法一 设等比数列{an}的公比为 q,
q a6-a4 24则 = = =2.
a5-a3 12
由 a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,得 a1=1.
a a qn-1 2n-1 S a1 1-q
n
所以 n= 1 = , n= =2n-1,
1-q
S nn 2 -1所以 = =2-21-n.
a -n 2n 1
方法二 设等比数列{an}的公比为 q,
a3q2-a3=12,①

a4q2-a4=24,②
② a
得 4=q=2.
① a3
将 q=2代入①,解得 a3=4.
所以 a a31= =1,下同方法一.
q2
2.(2020· 2 1 1 1 13广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a2= , + + = ,
3 a1 a2 a3 2
则 S3等于( )
A.26 B.13 C.13 D.6
9 3 9
答案 A
解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,
a 2 1 1 1 13因为 2= ,且 + + = ,
3 a1 a2 a3 2
a 21q= ,
3 a 2= , a1=2,1
所以 91 1 1 13 解得 或 1
+ + = , q= ,
a1 a1q a1q2 2 q=3 3
2
2 1-3
3
当 a1= ,q=3时,S3=9 26= ;
9 1-3 9
1
2 1- 3 3
a 2 q 1 S 26当 1= , = 时, 3= 1 = ,3 1- 9
3
S 26所以 3= .
9
3.(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,
初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走了 378里
路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目
的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )
A.198里 B.191里
C.63里 D.48里
答案 A
解析 设每天走的路程里数为{an},
则{an} 1是公比为 的等比数列,
2
1 1-
a1 26
由 S6=378,得 1 =378,解得 a1=192,1-
2
1
∴an=192· 2 n-1,
∴后四天走的路程为 a3+a4+a5+a6,前两天走的路程为 a1+a2,
又 a1+a2=192+96=288,且 S6=378,
∴a3+a4+a5+a6=378-288=90,
∴(a1+a2)-(a3+a4+a5+a6)=288-90=198,
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少 198里,故选 A.
4.(2020·全国Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am n=aman,若 ak 1+ak 2+…+ak 10=215-25+ + + + ,则 k
等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 a1=2,am+n=aman,
令 m=1,则 an+1=a1an=2an,
∴{an}是以 a1=2为首项,q=2为公比的等比数列,
∴an=2×2n-1=2n.
又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,
2k+1 1-210
∴ =215-25,
1-2
即 2k+1(210-1)=25(210-1),
∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4.
思维升华 (1)等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)
便可迎刃而解.
(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论,当 q=1时,{an}的前 n项和 Sn=na1;
a
q 1 {a } n S 1
1-qn a1-anq
当 ≠ 时, n 的前 项和 n= = .
1-q 1-q
题型二 等比数列的判定与证明
例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an+2=2an+1+3an.
(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;
(2) a 1 3若 1= ,a2= ,求{an}的通项公式.
2 2
(1)证明 an+2=2an+1+3an,
所以 an+2+an+1=3(an+1+an),
因为{an}中各项均为正数,
a +a
所以 an+1+an>0
n+2 n+1
,所以 =3,
an+1+an
所以数列{an+an+1}是公比为 3的等比数列.
(2)解 由题意知 a +a =(a +a )3n-n n 1 1 2 1=2 3n-+ × 1,
因为 an+2=2an+1+3an,
所以 an+2-3an+1=-(an+1-3an),a2=3a1,
所以 a2-3a1=0,所以 an+1-3an=0,
故 an+1=3an,
1
所以 4an=2 3n-× 1,a = -n ×3n 1.
2
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1) an 1 an定义法:若 + =q(q为非零常数,n∈N*)或 =q(q为非零常数且 n≥2,n∈N*),则{an}
an an-1
是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且 a2n 1=an·an 2(n∈N*+ + ),则{an}是等比数列.
(3)前 n项和公式法:若数列{an}的前 n项和 Sn=k·qn-k(k为常数且 k≠0,q≠0,1),则 {an}
是等比数列.
跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an},{cn}满足 cn=2an+1+an.若数列{an}是等比数列,
试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由.
解 设等比数列{an}的公比为 q,
则 cn=2an+1+an=2anq+an=(2q+1)an,
1
当 q=- 时,cn=0,数列{cn}不是等比数列;
2
q 1当 ≠- 时,因为 cn≠0,
2
cn+1 2q+1 an所以 = +1=q,
cn 2q+1 an
所以数列{cn}是等比数列.
题型三 等比数列性质的应用
例 2 (1)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前 n项和,若 a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则 S12
等于( )
A.40 B.60 C.32 D.50
答案 B
解析 数列 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,
即 4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,
∴S12=4+8+16+32=60.
(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则 a8=_____.
答案 2
解析 由已知得,2S9=S3+S6,∴q≠1,
2 a1 1-q
9 a1 1-q3 a1 1-q6
则有 × = + ,
1-q 1-q 1-q
1
解得 q3=- ,
2
又 a2+a5=a2(1+q3)=4,
1
∴a2=8,∴a8=a2·q6=8× =2.
4
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,
三是前 n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口.
(2)巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.
跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列,且 a2a6+2a24=π,则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B.- 3 C 3.- D.± 3
3
答案 A
π
解析 由已知得 a24+2a42=π,∴a24= ,
3
又 a ·a a2 π3 5= 4= ,∴tan(a3·a5)= 3.
3
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列,且 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则 a6+a7+a8等于
( )
A.12 B.24 C.30 D.32
答案 D
解析 设等比数列{an}的公比为 q,
q a2+a3+a4 2则 = = =2,
a1+a2+a3 1
所以 a6+a7+a8=(a1+a2+a3)·q5=1×25=32.
对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习过的方法以外,根据数列递推公式的特点,
还有以下几种构造方法.
构造法 1 一阶线性递推(形如 an+1=pan+q,p≠0,其中 a1=a型)
(1)若 p=1,数列{an}为等差数列;
(2)若 q=0,数列{an}为等比数列;
(3)若 p≠1且 q≠0,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下:设 an+1+λ=p(an+λ),得 an+1=pan+(p-1)λ,
q
又 an+1=pan+q,所以(p-1)λ=q,即λ= (p≠1),p-1
a qn+
所以 a qn+1+ =p p-1 ,p-1
a qn+
即 p-1 构成以 a q1+ 为首项,以 p为公比的等比数列.
p-1
例 1 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3,求{an}的通项公式.
解 ∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),
又 a1+3=4,∴数列{an+3}是首项为 4,公比 q=2的等比数列,
∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.
变式 若例 1中“an n+1=2an+3”变成“an+1=2an+3 ”,其他条件不变,求{an}的通项公式.
解 方法一 ∵an+1=2an+3n,
∴an 1+λ·3n+1+ =2(an+λ·3n),
即 an+1=2an-λ·3n,∴λ=-1,
即 an 1-3n+1+ =2(an-3n),
又 a1-3=-2,∴{an-3n}是首项为-2,公比 q=2的等比数列,
∴an-3n=-2·2n-1=-2n,∴an=3n-2n.
方法二 ∵a =2a +3n,等式两边同除以 3n+n 1 n 1+ ,
an+1 2 a 1
得 = · n+ ,
3n+1 3 3n 3
b an b 2 1令 n= ,则n n+1= bn+ ,3 3 3
b λ 2(b λ) b 2b 1n+1+ = n+ ,得 n+1= n- λ,得λ=-1,3 3 3
2 a 2
∴bn+1-1= (bn-1),又 b -1= 11 -1=- ,3 3 3
∴{bn-1}
2 2
是首项为- ,公比 q= 的等比数列,
3 3
2 2 2
∴b 2n-1=- · 3 n-1=- 3 n,∴bn=1- 3 n,
3
2
a
∴ n=1- 3 n,∴an=3n-2n.
3n
构造法 2 二阶线性递推(形如 an+1=pan+qan-1,其中 a1=a,a2=b型)
可以化为 an+1-x1an=x2(an-x1an 1),其中 x1,x2是方程 x2- -px-q=0的两个根,若 1是方程
的根,则直接构造数列{an-an-1},若 1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方
法求数列{an}.
例 2 (1)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则 an=________.
答案 2n-1
解析 an+2-an+1=2(an+1-an),
∵a2-a1=2,∴{an-an-1}为首项为 2,公比也为 2的等比数列,
an-an 1=2n-1- (n>1),
n>1时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
1-2n
= =2n-1.
1-2
显然 n=1时满足上式,
∴an=2n-1.
(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.
解 ∵an=2an-1+3an-2,
∴an+an-1=3(an-1+an-2),
又 a1+a2=7,{an+an-1}形成首项为 7,公比为 3的等比数列,
则 an+an n-2-1=7×3 ,①
又 an-3an-1=-(an-1-3an-2),
a2-3a1=-13,{an-3an-1}形成首项为-13,公比为-1的等比数列,
则 a -n-3an-1=(-13)·(-1)n 2,②
- -
①×3+②得,4an=7×3n 1+13·(-1)n 1,
a 7 - 13∴ n= ×3n 1+ (-1)n-1.
4 4
pan
形如 an+1= 型
构造法 3 倒数为特殊数列 ran+s
1 s· 1 r 1两边同时取倒数转化为 = + 的形式,化归为 bn+1=pbn+q型,求出 的表达式,再an+1 p an p an
求 an.
例 3 (1) 2an已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{an}的通项公式.an+2
解 ∵a 2ann+1= ,a1=1,
an+2
a 0 1 1 1∴ n≠ ,∴ = + ,
an+1 an 2
1 1 1
即 - = ,
an+1 an 2
又 a 11=1,则 =1,
a1
1
∴ a 1n 是以 1为首项, 为公差的等差数列.2
1 1 (n 1) 1 n 1∴ = + - × = + ,
an a1 2 2 2
∴a 2n= (n∈N*).
n+1
(2)已知在数列{an}中,a1=2,a
an
n 1= (n∈N*+ ),求 an.an+3
1 1
1 +
解 ∵ =3· 1 1 1 1 1+1,∴ + =3 a
a n
2 , + =1,
an+1 n an+1 2 a1 2
1 1

∴ an 2 是以 1为首项,3为公比的等比数列,
1 1 -
∴ + =3n 1,
an 2
1 3n-1 1∴ = - ,
an 2
a 2∴ n= (n∈N*).
2 -×3n 1-1
【课后作业】
A 组
1 {a } a 2 a ·a 64 a5+a6.在正项等比数列 n 中, 3= , 4 6= ,则 的值是( )
a1+a2
A.4 B.8 C.16 D.64
答案 C
解析 设正项等比数列{an}的公比为 q,
∵a3=2,a4·a6=64,
∴a1q2=2,a21q8=64,
a5+a6
解得 q2=4,则 =42=16.
a1+a2
2.设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 S3=S1+2S2,且 a2=3,则 a5等于( )
A.3 B.12 C.24 D.48
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为 q,
∵S3=S1+2S2,a2=3,
a3=2a1+a2, a1q2=2a1+a1q,

a2=3 a1q=3,
q=2,
q=-1,
解得 (舍)或 3
a1=-3 a1= ,2
∴a5=a q4
3
1 = ×24=24.
2
3 a2 an.已知数列 a1, ,…, ,…是首项为 1,公比为 2的等比数列,则 log2an等于( )
a1 an-1
A.n(n 1) B.n n-1 C.n n+1 D.n n-1 +
4 2 2
答案 D
an
解析 由题设有 =1 2n-× 1=2n-1(n≥2),
an-1
而 a =a a× 2 a3 ann 1 × ×…×
a1 a2 an-1
=1×21+2+…+n-1
n(n-1)
= 2 2 (n≥2),
n(n-1)
当 n=1时,a1=1也满足该式,故 an= 2 2 (n≥1),
所以 log2a
n n-1
n= .
2
4.在数列{an}中,a1=1,a =3
an
,且 +
2
2 =2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前 n项和,则
an
S100等于( )
350A. -1 50 B.3 1-3
50
+ +50
2 2
C.3 3
50-1 100
+50 D.3 3 -1 +50
2 2
答案 C
an 2
解析 由题意 + =2+(-1)n(n∈N*),
an
当 n an 2为偶数时,可得 + =3;
an
n an 2当 为奇数时,可得 + =1,
an
即数列的偶数项成公比为 3的等比数列,奇数项都为 1,
3 350-1 3 350-1
由求和公式可得 S100= +50= +50.
3-1 2
5.(多选)已知等比数列{an}的公比为 q,前 4项的和为 a1+14,且 a2,a3+1,a4成等差数列,
则 q的值可能为( )
A.1 B.1 C.2 D.3
2
答案 AC
解析 因为 a2,a3+1,a4成等差数列,
所以 a2+a4=2(a3+1),
因此 a1+a2+a3+a4=a1+3a3+2=a1+14,故 a3=4.
又{an}是公比为 q的等比数列,
所以由 a2+a4=2(a3+1),
q 1+
得 a3 q =2(a3+1),即 q
1 5
+ = ,
q 2
1
解得 q=2或 .
2
故选 AC.
6.(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则有( )
A S 3n-. n= 1 B.{Sn}为等比数列
1,n=1,
C.an=2·3n-1 D.an=
2·3n-2,n≥2
答案 ABD
解析 由题意,数列{an}的前 n项和满足 an 1=2Sn(n∈N*+ ),
当 n≥2时,an=2Sn-1,
两式相减,可得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
a 3a an可得 = ,即 +1n+1 n =3(n≥2),an
又由 a =1,当 n=1时,a 2S 2a 2 a= = = ,所以 21 2 1 1 =2,
a1
1,n=1,
所以数列的通项公式为 an=
2·3n-2,n≥2;
n 2 an 1 2·3
n-1
当 ≥ 时,S = + = =3n-n 1,
2 2
又由 n=1时,S1=a1=1,适合上式,
所以数列{an}的前 n项和为 Sn=3n-1;
Sn 1 3n
又由 + = =3,
S -n 3n 1
所以数列{Sn}为公比为 3的等比数列,
综上可得选项 ABD是正确的.
7.记 Sn为等比数列{an}的前 n项和,a1=1,且 S4=a5-1,则公比 q=________.
答案 2或-1
4
解析 若 q=1 S 4 a 1 0 S a 1 q 1. S a 1 a1 1-q ,则 4= ,5- = ,等式 4= 5- 不成立,所以 ≠ 由 4= 5- ,得
1-q
=a1q4-1,结合 a1=1整理,得(q4-1)(2-q)=0.又 q≠1,
所以 q=2或 q=-1.
8 a.已知在递增的等比数列{an}中,a +a 132 8=3,a3·a7=2,则 =________.
a10
答案 2
解析 因为数列{an}为等比数列,且 a3·a7=2,
所以 a2·a8=2,
因为数列{an}为递增等比数列,
a2+a8=3, a2=1,
所以由 得
a2a8=2, a8=2,
设等比数列{an}的公比为 q(q>0),
a1q=1,
则 得 q6=2,q3= 2,
a1q7=2,
a
所以 13=q3= 2.
a10
9.(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an},且 a23=a7,a6+2a4=3a5,则数列的通
项公式 an=________.
答案 2n+1
解析 设等比数列{an}的公比为 q,
则 q≠1,由 a32=a7,a6+2a4=3a5,
a1q2 2=a1q6,
得 解得 a1=4,q=2,
a1q5+2a1q3=3a1q4,
∴数列{an}的通项公式 a =a qn-n 1 1=4 -×2n 1=2n+1.
a2n a2 a3
10.已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*),且 a1=2,则 an=________,a1+ 2 2+ 3 3
an
+…+ n n=________.
答案 2n 2n+1-2
a2a 2 (n 1)d n [2+ n-1 d]
2 d2n2+ 4d-2d2 n+ d-2 2
解析 设 n= + - ,所以 = = ,
n n n
a2n
由于 n 为等差数列,
所以其通项是一个关于 n的一次函数或常数函数,
所以(d-2)2=0,∴d=2,
所以 an=2+2(n-1)=2n a,∴ n 2n= =2,
n n
a2 a3 an
所以 a1+ 2 2+ 3 3+…+ n n
21 22 2n 2 1-2
n
= + + +…+ = =2n 1-2.
1-2
11 a.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 b nn= .n
(1)求 b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
解 (1) a 2 n+1 由条件可得 n+1= an,
n
将 n=1代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.
将 n=2代入得,a3=3a2,所以 a3=12.
从而 b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为 1,公比为 2的等比数列.理由如下:
an+1 2a
由条件可得 = n,即 bn 1=2bn,
n+1 n

又 b1=1,所以{bn}是首项为 1,公比为 2的等比数列.
(3)由(2) a可得 n=2n-1,所以 a -n=n·2n 1.
n
12.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 2Sn=-an+n(n∈N*).
a 1n-
(1)求证:数列 2 为等比数列;
(2)求数列{an-1}的前 n项和 Tn.
(1)证明 2Sn=-an+n,
当 n≥2时,2Sn-1=-an-1+n-1,
1 1
两式相减,得 2an=-an+an-1+1,即 an= an-1+ .3 3
a 1-
∴a 1 1 n-1n- = 2 ,
2 3
a 1n-
∴数列 2 为等比数列.
(2)解 由 2S1=-a1+1 1,得 a1= ,
3
a 1n- 1 1
由(1)知,数列 2 是以- 为首项, 为公比的等比数列.
6 3
1 1
∴a 1 1 1n- =- 3 n-1=- 3 n,
2 6 2
1
∴a 1n=- 3 n 1+ ,
2 2
1
∴a 1 1n-1=- 3 n- ,
2 2
1
1
- 1- 3 n 1
∴T n 1n= 6 - = 3 n n-1 - .
2 4 2
1 1-
3
B 组
13.(多选)如图,已知点 E是 ABCD的边 AB的中点,Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点,连接
AF → → →n交 BD于 Gn,点 Gn(n∈N*)满足GnD=an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,其中数列{an}是首项为 1
的正项数列,Sn是数列{an}的前 n项和,则下列结论正确的是( )
A.a3=13 B.数列{an+3}是等比数列
C.an=4n-3 D.S +n=2n 1-n-2
答案 AB
G→解析 nD=an+1·G

nA-2(2an+3)·
1(G→ →nA+GnB),
2

故GnD=(a →n+1-2an-3)·GnA-(2an+3)·G

nB,
G→D G→n , nB共线,故 an+1-2an-3=0,
即 an+1+3=2(an+3),a1=1,
故 a +3=4 2n-n × 1,故 a +n=2n 1-3.
a3=24-3=13,A正确;
数列{an+3}是等比数列,B正确;
a +n=2n 1-3,C错误;
S 4 1-2
n
n= × -3n=2n+2-3n-4,故 D错误.
1-2
故选 AB.
14.(多选)已知数列{an}不是常数列,其前 n项和为 Sn,则下列选项正确的是( )
A.若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则{an}为递增数列
B.若数列{an}为等差数列,a1>0,S3=S10,则 Sn的最大值在 n=6或 7时取得
C.若数列{an}为等比数列,则 S2 021·a2 021>0恒成立
D.若数列{an} a为等比数列,则{ 2 n }也为等比数列
答案 ABC
解析 对于 A,若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则公差 d>0,故{an}为递增数列,故 A
正确;
对于 B,若数列{an}为等差数列,a1>0 d
3×2 10×9
,设公差为 ,由 S3=S10,得 3a1+ d=10a1+ d,
2 2
即 a1=-6d,故 an=(n-7)d,所以当 n≤7时,an≥0,a7=0,故 Sn的最大值在 n=6或 7时
取得,故 B正确;
C {a } S ·a a1 1-q
2 021 2 021
对于 ,若数列 n 为等比数列,则 2 021 2 021= ·a1·q2 020=a12·q2 020·
1-q >0 恒
1-q 1-q
成立,故 C正确;
a
a a ·qn
n 1
-1 2 n n-1
对于 D,若数列{an}为等比数列,则 2 n=2 1 a -a a ·(q -q ),所以 =2 n+1 n=2 1 不是常数,
2an
{ 2a故 n }不是等比数列,故 D错误.
故选 ABC.
C 组
15.已知数列{an}满足递推公式 an+1=2an+1,a1=1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和,则
4n+7-n-Sn
的最小值是________.
an+1
17
答案
4
解析 因为 an+1=2an+1,所以 an+1+1=2(an+1),
所以数列{an+1}是首项为 a1+1=2,公比为 2的等比数列,
所以 an+1=2n,所以 an=2n-1,
2 1-2n
所以 Sn=2+22+23+…+2n-n= -n=2n+1-2-n,
1-2
4n+7-n-S 4n+7-n- 2n+n 1-2-n 9
所以 = =2n+
a +1 2n 2n
-2,
n
9 9 9
由对勾函数的性质可得,当 n=1时,2n=2,2n+ -2=2+ -2= ,
2n 2 2
当 n≥2时,2n≥4,所以 y=2n 9+ -2单调递增,
2n
当 n=2时,2n 9 2 4 9 17 9+ - = + -2= < ,
2n 4 4 2
4n+7-n-Sn 17
所以 的最小值是 .
an+1 4
16.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前 n
2n-1 ·3n+1
项和为 .
2
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;
1
(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn, n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数 m的最小值.
解 (1)因为 a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,
所以 2a2=a1+a3-8,
即 2a1q=a1+a1q2-8,所以 q2-2q-3=0,
所以 q=3或 q=-1,又 q>1,所以 q=3,
所以 an=2·3n-1(n∈N*).
n
因为 a b a 2n-1 ·3 +11 1+ 2b2+…+anbn= ,
2
n-1
所以 a1b1+a2b2+…+a
2n-3 ·3 +1
n-1bn-1= (n≥2),2
两式相减,得 anbn=2n·3n-1(n≥2),
因为 an=2·3n-1,所以 bn=n(n≥2),
当 n=1时,由 a1b1=2及 a1=2,得 b1=1(符合上式),
所以 bn=n(n∈N*).
(2)因为数列{an}是首项为 2,公比为 3的等比数列,
1
1 1
所以数列 an 是首项为 ,公比为 的等比数列,2 3
1
1 1- 3 n 1
所以 S 2 3n= = 1- 3 n <3.
1 4 41-
3
因为 n∈N*,Sn≤m恒成立,
3 3
所以 m≥ ,即实数 m的最小值为 .
4 4

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