资源简介 第 13 讲 等比数列及其前 n 项和【知识梳理】1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 (不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 q表示,an定义的表达式为 +1=q(n∈N*,q为非零常数).an(2)等比中项:如果在 a与 b中间插入一个数 G,使 a,G,b成等比数列,那么 叫做 a与b的等比中项,此时,G2= .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an= .(2)前 n项和公式: .3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*).(2)对任意的正整数 m,n,p,t,若 m+n=p+t,则 = .特别地,若 m+n=2p,则 .(3)若等比数列前 n项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且 q=-1除外).(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为 .a1>0, a1<0,(5)若 或 则等比数列{an}递增.q>1 0a1>0, a1<0,若 或 则等比数列{an}递减.01,【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列{an}的公比 q>1,则该数列单调递增.( )(2)三个数 a,b,c成等比数列的充要条件是 b2=ac.( )(3)如果正项数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )a 1-an(4) 数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n项和为 Sn= .( )1-a2 1 n S S10-S5 1.已知等比数列的首项为- ,前 项和为 n,若 = ,则 q的值为( )S5 32A 1.- B.1 C.2 D.-22 23.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则 a4=________.4.已知三个数成等比数列,若它们的和等于 13,积等于 27,则这三个数为_______.5.(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列,记 Sn为{an}的前 n项和,则下列说法正确的是( )A.若 a1>0,0B.若 a1<0,0C.若 q>0,则 S4+S6>2S5D 1.若 bn= ,则{bn}是等比数列an6.已知在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则 a5等于( )A.-2 B.±2 C.2 D.±12【典型例题】题型一 等比数列基本量的运算1.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an} S的前 n项和.若 a n5-a3=12,a6-a4=24,则 等于( )anA.2n-1 B.2-21-nC - -.2-2n 1 D.21 n-12.(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a 2 1 1 1 132= , + + = ,3 a1 a2 a3 2则 S3等于( )A.26 B.13 C.13 D.69 3 93.(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )A.198里 B.191里C.63里 D.48里4.(2020·全国Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若 ak+1+ak+2+…+ak 10=215-25+ ,则 k等于( )A.2 B.3 C.4 D.5题型二 等比数列的判定与证明例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;(2) a 1 a 3若 1= , 2= ,求{an}的通项公式.2 2跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an},{cn}满足 cn=2an+1+an.若数列{an}是等比数列,试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由.题型三 等比数列性质的应用例 2 (1)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前 n项和,若 a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则 S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则 a8=_____.跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列,且 a2a6+2a24=π,则 tan(a3·a5)等于( )A. 3 B.- 3 C 3.- D.± 33(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列,且 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则 a6+a7+a8等于( )A.12 B.24 C.30 D.32【课后作业】A 组1 a5+a6.在正项等比数列{an}中,a3=2,a4·a6=64,则 的值是( )a1+a2A.4 B.8 C.16 D.642.设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 S3=S1+2S2,且 a2=3,则 a5等于( )A.3 B.12 C.24 D.483.已知数列 a a2 an1, ,…, ,…是首项为 1,公比为 2的等比数列,则 log2an等于( )a1 an-1A.n(n+1) B.n n-1 C.n n+1 D.n n-1 4 2 24 {a } a 1 a 3 an.在数列 中, = , = ,且 +2n 1 2 =2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前 n项和,则anS100等于( )50 50A.3 -1 50 B.3 1-3 + +502 250 100C.3 3 -1 50 D.3 3 -1 + +502 25.(多选)已知等比数列{an}的公比为 q,前 4项的和为 a1+14,且 a2,a3+1,a4成等差数列,则 q的值可能为( )A.1 B.1 C.2 D.326.(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,an 1=2Sn(n∈N*+ ),则有( )A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列1,n=1,C.an=2·3n-1 D.an=2·3n-2,n≥27.记 Sn为等比数列{an}的前 n项和,a1=1,且 S4=a5-1,则公比 q=________.8 a.已知在递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·a7=2,则 13=________.a109.(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an},且 a23=a7,a6+2a4=3a5,则数列的通项公式 an=________.a2n a2 a310.已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*),且 a1=2,则 an=________,a1+ 2 2+ 3 3an+…+ n n=________.11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)aan.设 bn= n.n(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.12.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 2Sn=-an+n(n∈N*).a 1(1) n-求证:数列 2 为等比数列;(2)求数列{an-1}的前 n项和 Tn.B 组13.(多选)如图,已知点 E是 ABCD的边 AB的中点,Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点,连接AFn交 BD于 Gn,点 Gn(n∈N*)满足G→D → →n =an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,其中数列{an}是首项为 1的正项数列,Sn是数列{an}的前 n项和,则下列结论正确的是( )A.a3=13 B.数列{an+3}是等比数列C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-214.(多选)已知数列{an}不是常数列,其前 n项和为 Sn,则下列选项正确的是( )A.若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则{an}为递增数列B.若数列{an}为等差数列,a1>0,S3=S10,则 Sn的最大值在 n=6或 7时取得C.若数列{an}为等比数列,则 S2 021·a2 021>0恒成立D a.若数列{an}为等比数列,则{ 2 n }也为等比数列C 组15.已知数列{an}满足递推公式 an+1=2an+1,a1=1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和,则4n+7-n-Sn的最小值是________.an+116.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前 n 2n-1 ·3n+1项和为 .2(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;1(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn, n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数 m的最小值.第 13 讲 等比数列及其前 n 项和【考试要求】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q表示,定义an 1的表达式为 + =q(n∈N*,q为非零常数).an(2)等比中项:如果在 a与 b中间插入一个数 G,使 a,G,b成等比数列,那么 G叫做 a与 b的等比中项,此时,G2=ab.2.等比数列的有关公式(1) -通项公式:an=a1qn 1.(2)前 n项和公式:na1,q=1,Sn= a1 1-qn a1-anq= ,q≠1.1-q 1-q3.等比数列的性质(1) -通项公式的推广:an=am·qn m(m,n∈N*).(2)对任意的正整数 m,n,p,t,若 m+n=p+t,则 am·an=ap·at.特别地,若 m+n=2p,则 am·an=a2p.(3)若等比数列前 n项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且 q=-1除外).(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为 qk.a(5) 1>0, a1<0,若 或 则等比数列{an}递增.q>1 0a1>0, a1<0,若 或 则等比数列{an}递减.01,微思考1.若数列{an}满足 an+1=qan(q≠0),则{an}一定是等比数列吗?提示 不一定.需验证 a1≠0.2.若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}是等比数列吗?提示 不一定.当 q=-1时不是等比数列.【基础自测】题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列{an}的公比 q>1,则该数列单调递增.( × )(2)三个数 a,b,c成等比数列的充要条件是 b2=ac.( × )(3)如果正项数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( √ )n(4)数列{an} a an n Sa 1-a 的通项公式是 n= ,则其前 项和为 n= .( × )1-a题组二 教材改编2 S10-S5 1.已知等比数列的首项为-1,前 n项和为 Sn,若 = ,则 q的值为( )S5 32A 1.- B.1 C.2 D.-22 2答案 BS10-S5 1解析 当 q=1时, =1≠ ,∴q≠1.S5 32q 1 S10-S5 a6+a7+a8+a9+a10 1当 ≠ 时, = =q5= ,S5 a1+a2+a3+a4+a5 32∴q 1= .故选 B.23.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则 a4=________.答案 54或 24a1·q=6, q=3, q=2,解析 由 解得 或6a1+a1·q2=30, a1=2 a1=3,a4=a1·q3=2×33=54或 a4=3×23=3×8=24.4.已知三个数成等比数列,若它们的和等于 13,积等于 27,则这三个数为_______.答案 1,3,9或 9,3,1a a+ +aq=13,a q解析 设这三个数为 ,a,aq,则q a·a·aq=27,qa=3,a=3,解得 q 1 或=3 q=3,∴这三个数为 1,3,9或 9,3,1.题组三 易错自纠5.(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列,记 Sn为{an}的前 n项和,则下列说法正确的是( )A.若 a1>0,0B.若 a1<0,0C.若 q>0,则 S4+S6>2S5D b 1.若 n= ,则{bn}是等比数列an答案 ABD解析 A,B显然是正确的;C中,若 a 1 q 11= , = ,则 a62D bn+1 an 1中, = = (q≠0),bn an+1 q∴{bn}是等比数列.故选 ABD.6.已知在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则 a5等于( )A.-2 B 1.±2 C.2 D.±2答案 C解析 ∵a2·a3·a4=1,∴a3=1,∵a6·a7·a8=64,∴a7=4,又 a25=a3·a7=4,a5与 a3同号,∴a5=2.故选 C.【典型例题】题型一 等比数列基本量的运算1.(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an}的前 n S项和.若 a5-a3=12,a6-a n4=24,则 等于( )anA.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1答案 B解析 方法一 设等比数列{an}的公比为 q,q a6-a4 24则 = = =2.a5-a3 12由 a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,得 a1=1.a a qn-1 2n-1 S a1 1-qn 所以 n= 1 = , n= =2n-1,1-qS nn 2 -1所以 = =2-21-n.a -n 2n 1方法二 设等比数列{an}的公比为 q,a3q2-a3=12,①则a4q2-a4=24,②② a得 4=q=2.① a3将 q=2代入①,解得 a3=4.所以 a a31= =1,下同方法一.q22.(2020· 2 1 1 1 13广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a2= , + + = ,3 a1 a2 a3 2则 S3等于( )A.26 B.13 C.13 D.69 3 9答案 A解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,a 2 1 1 1 13因为 2= ,且 + + = ,3 a1 a2 a3 2a 21q= ,3 a 2= , a1=2,1所以 91 1 1 13 解得 或 1+ + = , q= ,a1 a1q a1q2 2 q=3 322 1-33 当 a1= ,q=3时,S3=9 26= ;9 1-3 912 1- 3 3a 2 q 1 S 26当 1= , = 时, 3= 1 = ,3 1- 93S 26所以 3= .93.(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )A.198里 B.191里C.63里 D.48里答案 A解析 设每天走的路程里数为{an},则{an} 1是公比为 的等比数列,21 1-a1 26由 S6=378,得 1 =378,解得 a1=192,1-21∴an=192· 2 n-1,∴后四天走的路程为 a3+a4+a5+a6,前两天走的路程为 a1+a2,又 a1+a2=192+96=288,且 S6=378,∴a3+a4+a5+a6=378-288=90,∴(a1+a2)-(a3+a4+a5+a6)=288-90=198,故此人后四天走的路程比前两天走的路程少 198里,故选 A.4.(2020·全国Ⅱ)数列{an}中,a1=2,am n=aman,若 ak 1+ak 2+…+ak 10=215-25+ + + + ,则 k等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 C解析 a1=2,am+n=aman,令 m=1,则 an+1=a1an=2an,∴{an}是以 a1=2为首项,q=2为公比的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,2k+1 1-210 ∴ =215-25,1-2即 2k+1(210-1)=25(210-1),∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4.思维升华 (1)等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论,当 q=1时,{an}的前 n项和 Sn=na1;aq 1 {a } n S 1 1-qn a1-anq当 ≠ 时, n 的前 项和 n= = .1-q 1-q题型二 等比数列的判定与证明例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;(2) a 1 3若 1= ,a2= ,求{an}的通项公式.2 2(1)证明 an+2=2an+1+3an,所以 an+2+an+1=3(an+1+an),因为{an}中各项均为正数,a +a所以 an+1+an>0n+2 n+1,所以 =3,an+1+an所以数列{an+an+1}是公比为 3的等比数列.(2)解 由题意知 a +a =(a +a )3n-n n 1 1 2 1=2 3n-+ × 1,因为 an+2=2an+1+3an,所以 an+2-3an+1=-(an+1-3an),a2=3a1,所以 a2-3a1=0,所以 an+1-3an=0,故 an+1=3an,1所以 4an=2 3n-× 1,a = -n ×3n 1.2思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1) an 1 an定义法:若 + =q(q为非零常数,n∈N*)或 =q(q为非零常数且 n≥2,n∈N*),则{an}an an-1是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且 a2n 1=an·an 2(n∈N*+ + ),则{an}是等比数列.(3)前 n项和公式法:若数列{an}的前 n项和 Sn=k·qn-k(k为常数且 k≠0,q≠0,1),则 {an}是等比数列.跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an},{cn}满足 cn=2an+1+an.若数列{an}是等比数列,试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由.解 设等比数列{an}的公比为 q,则 cn=2an+1+an=2anq+an=(2q+1)an,1当 q=- 时,cn=0,数列{cn}不是等比数列;2q 1当 ≠- 时,因为 cn≠0,2cn+1 2q+1 an所以 = +1=q,cn 2q+1 an所以数列{cn}是等比数列.题型三 等比数列性质的应用例 2 (1)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前 n项和,若 a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则 S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50答案 B解析 数列 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即 4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,∴S12=4+8+16+32=60.(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则 a8=_____.答案 2解析 由已知得,2S9=S3+S6,∴q≠1,2 a1 1-q9 a1 1-q3 a1 1-q6 则有 × = + ,1-q 1-q 1-q1解得 q3=- ,2又 a2+a5=a2(1+q3)=4,1∴a2=8,∴a8=a2·q6=8× =2.4思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前 n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列,且 a2a6+2a24=π,则 tan(a3·a5)等于( )A. 3 B.- 3 C 3.- D.± 33答案 Aπ解析 由已知得 a24+2a42=π,∴a24= ,3又 a ·a a2 π3 5= 4= ,∴tan(a3·a5)= 3.3(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列,且 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则 a6+a7+a8等于( )A.12 B.24 C.30 D.32答案 D解析 设等比数列{an}的公比为 q,q a2+a3+a4 2则 = = =2,a1+a2+a3 1所以 a6+a7+a8=(a1+a2+a3)·q5=1×25=32.对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习过的方法以外,根据数列递推公式的特点,还有以下几种构造方法.构造法 1 一阶线性递推(形如 an+1=pan+q,p≠0,其中 a1=a型)(1)若 p=1,数列{an}为等差数列;(2)若 q=0,数列{an}为等比数列;(3)若 p≠1且 q≠0,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下:设 an+1+λ=p(an+λ),得 an+1=pan+(p-1)λ,q又 an+1=pan+q,所以(p-1)λ=q,即λ= (p≠1),p-1a qn+所以 a qn+1+ =p p-1 ,p-1a qn+即 p-1 构成以 a q1+ 为首项,以 p为公比的等比数列.p-1例 1 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3,求{an}的通项公式.解 ∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),又 a1+3=4,∴数列{an+3}是首项为 4,公比 q=2的等比数列,∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.变式 若例 1中“an n+1=2an+3”变成“an+1=2an+3 ”,其他条件不变,求{an}的通项公式.解 方法一 ∵an+1=2an+3n,∴an 1+λ·3n+1+ =2(an+λ·3n),即 an+1=2an-λ·3n,∴λ=-1,即 an 1-3n+1+ =2(an-3n),又 a1-3=-2,∴{an-3n}是首项为-2,公比 q=2的等比数列,∴an-3n=-2·2n-1=-2n,∴an=3n-2n.方法二 ∵a =2a +3n,等式两边同除以 3n+n 1 n 1+ ,an+1 2 a 1得 = · n+ ,3n+1 3 3n 3b an b 2 1令 n= ,则n n+1= bn+ ,3 3 3b λ 2(b λ) b 2b 1n+1+ = n+ ,得 n+1= n- λ,得λ=-1,3 3 32 a 2∴bn+1-1= (bn-1),又 b -1= 11 -1=- ,3 3 3∴{bn-1}2 2是首项为- ,公比 q= 的等比数列,3 32 2 2∴b 2n-1=- · 3 n-1=- 3 n,∴bn=1- 3 n,32a∴ n=1- 3 n,∴an=3n-2n.3n构造法 2 二阶线性递推(形如 an+1=pan+qan-1,其中 a1=a,a2=b型)可以化为 an+1-x1an=x2(an-x1an 1),其中 x1,x2是方程 x2- -px-q=0的两个根,若 1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若 1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}.例 2 (1)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则 an=________.答案 2n-1解析 an+2-an+1=2(an+1-an),∵a2-a1=2,∴{an-an-1}为首项为 2,公比也为 2的等比数列,an-an 1=2n-1- (n>1),n>1时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+11-2n= =2n-1.1-2显然 n=1时满足上式,∴an=2n-1.(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.解 ∵an=2an-1+3an-2,∴an+an-1=3(an-1+an-2),又 a1+a2=7,{an+an-1}形成首项为 7,公比为 3的等比数列,则 an+an n-2-1=7×3 ,①又 an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,{an-3an-1}形成首项为-13,公比为-1的等比数列,则 a -n-3an-1=(-13)·(-1)n 2,②- -①×3+②得,4an=7×3n 1+13·(-1)n 1,a 7 - 13∴ n= ×3n 1+ (-1)n-1.4 4pan形如 an+1= 型构造法 3 倒数为特殊数列 ran+s1 s· 1 r 1两边同时取倒数转化为 = + 的形式,化归为 bn+1=pbn+q型,求出 的表达式,再an+1 p an p an求 an.例 3 (1) 2an已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{an}的通项公式.an+2解 ∵a 2ann+1= ,a1=1,an+2a 0 1 1 1∴ n≠ ,∴ = + ,an+1 an 21 1 1即 - = ,an+1 an 2又 a 11=1,则 =1,a11∴ a 1n 是以 1为首项, 为公差的等差数列.21 1 (n 1) 1 n 1∴ = + - × = + ,an a1 2 2 2∴a 2n= (n∈N*).n+1(2)已知在数列{an}中,a1=2,aann 1= (n∈N*+ ),求 an.an+31 11 +解 ∵ =3· 1 1 1 1 1+1,∴ + =3 aa n2 , + =1,an+1 n an+1 2 a1 21 1+∴ an 2 是以 1为首项,3为公比的等比数列,1 1 -∴ + =3n 1,an 21 3n-1 1∴ = - ,an 2a 2∴ n= (n∈N*).2 -×3n 1-1【课后作业】A 组1 {a } a 2 a ·a 64 a5+a6.在正项等比数列 n 中, 3= , 4 6= ,则 的值是( )a1+a2A.4 B.8 C.16 D.64答案 C解析 设正项等比数列{an}的公比为 q,∵a3=2,a4·a6=64,∴a1q2=2,a21q8=64,a5+a6解得 q2=4,则 =42=16.a1+a22.设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn,若 S3=S1+2S2,且 a2=3,则 a5等于( )A.3 B.12 C.24 D.48答案 C解析 设等比数列{an}的公比为 q,∵S3=S1+2S2,a2=3,a3=2a1+a2, a1q2=2a1+a1q,∴ a2=3 a1q=3,q=2,q=-1,解得 (舍)或 3a1=-3 a1= ,2∴a5=a q431 = ×24=24.23 a2 an.已知数列 a1, ,…, ,…是首项为 1,公比为 2的等比数列,则 log2an等于( )a1 an-1A.n(n 1) B.n n-1 C.n n+1 D.n n-1 +4 2 2答案 Dan解析 由题设有 =1 2n-× 1=2n-1(n≥2),an-1而 a =a a× 2 a3 ann 1 × ×…×a1 a2 an-1=1×21+2+…+n-1n(n-1)= 2 2 (n≥2),n(n-1)当 n=1时,a1=1也满足该式,故 an= 2 2 (n≥1),所以 log2an n-1 n= .24.在数列{an}中,a1=1,a =3an,且 +22 =2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前 n项和,则anS100等于( )350A. -1 50 B.3 1-350 + +502 2C.3 350-1 100+50 D.3 3 -1 +502 2答案 Can 2解析 由题意 + =2+(-1)n(n∈N*),an当 n an 2为偶数时,可得 + =3;ann an 2当 为奇数时,可得 + =1,an即数列的偶数项成公比为 3的等比数列,奇数项都为 1,3 350-1 3 350-1 由求和公式可得 S100= +50= +50.3-1 25.(多选)已知等比数列{an}的公比为 q,前 4项的和为 a1+14,且 a2,a3+1,a4成等差数列,则 q的值可能为( )A.1 B.1 C.2 D.32答案 AC解析 因为 a2,a3+1,a4成等差数列,所以 a2+a4=2(a3+1),因此 a1+a2+a3+a4=a1+3a3+2=a1+14,故 a3=4.又{an}是公比为 q的等比数列,所以由 a2+a4=2(a3+1),q 1+得 a3 q =2(a3+1),即 q1 5+ = ,q 21解得 q=2或 .2故选 AC.6.(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则有( )A S 3n-. n= 1 B.{Sn}为等比数列1,n=1,C.an=2·3n-1 D.an=2·3n-2,n≥2答案 ABD解析 由题意,数列{an}的前 n项和满足 an 1=2Sn(n∈N*+ ),当 n≥2时,an=2Sn-1,两式相减,可得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,a 3a an可得 = ,即 +1n+1 n =3(n≥2),an又由 a =1,当 n=1时,a 2S 2a 2 a= = = ,所以 21 2 1 1 =2,a11,n=1,所以数列的通项公式为 an=2·3n-2,n≥2;n 2 an 1 2·3n-1当 ≥ 时,S = + = =3n-n 1,2 2又由 n=1时,S1=a1=1,适合上式,所以数列{an}的前 n项和为 Sn=3n-1;Sn 1 3n又由 + = =3,S -n 3n 1所以数列{Sn}为公比为 3的等比数列,综上可得选项 ABD是正确的.7.记 Sn为等比数列{an}的前 n项和,a1=1,且 S4=a5-1,则公比 q=________.答案 2或-14解析 若 q=1 S 4 a 1 0 S a 1 q 1. S a 1 a1 1-q ,则 4= ,5- = ,等式 4= 5- 不成立,所以 ≠ 由 4= 5- ,得1-q=a1q4-1,结合 a1=1整理,得(q4-1)(2-q)=0.又 q≠1,所以 q=2或 q=-1.8 a.已知在递增的等比数列{an}中,a +a 132 8=3,a3·a7=2,则 =________.a10答案 2解析 因为数列{an}为等比数列,且 a3·a7=2,所以 a2·a8=2,因为数列{an}为递增等比数列,a2+a8=3, a2=1,所以由 得a2a8=2, a8=2,设等比数列{an}的公比为 q(q>0),a1q=1,则 得 q6=2,q3= 2,a1q7=2,a所以 13=q3= 2.a109.(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an},且 a23=a7,a6+2a4=3a5,则数列的通项公式 an=________.答案 2n+1解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠1,由 a32=a7,a6+2a4=3a5, a1q2 2=a1q6,得 解得 a1=4,q=2,a1q5+2a1q3=3a1q4,∴数列{an}的通项公式 a =a qn-n 1 1=4 -×2n 1=2n+1.a2n a2 a310.已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*),且 a1=2,则 an=________,a1+ 2 2+ 3 3an+…+ n n=________.答案 2n 2n+1-2a2a 2 (n 1)d n [2+ n-1 d]2 d2n2+ 4d-2d2 n+ d-2 2解析 设 n= + - ,所以 = = ,n n na2n由于 n 为等差数列,所以其通项是一个关于 n的一次函数或常数函数,所以(d-2)2=0,∴d=2,所以 an=2+2(n-1)=2n a,∴ n 2n= =2,n na2 a3 an所以 a1+ 2 2+ 3 3+…+ n n21 22 2n 2 1-2n = + + +…+ = =2n 1-2.1-211 a.(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 b nn= .n(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解 (1) a 2 n+1 由条件可得 n+1= an,n将 n=1代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.将 n=2代入得,a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为 1,公比为 2的等比数列.理由如下:an+1 2a由条件可得 = n,即 bn 1=2bn,n+1 n+又 b1=1,所以{bn}是首项为 1,公比为 2的等比数列.(3)由(2) a可得 n=2n-1,所以 a -n=n·2n 1.n12.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 2Sn=-an+n(n∈N*).a 1n-(1)求证:数列 2 为等比数列;(2)求数列{an-1}的前 n项和 Tn.(1)证明 2Sn=-an+n,当 n≥2时,2Sn-1=-an-1+n-1,1 1两式相减,得 2an=-an+an-1+1,即 an= an-1+ .3 3a 1-∴a 1 1 n-1n- = 2 ,2 3a 1n-∴数列 2 为等比数列.(2)解 由 2S1=-a1+1 1,得 a1= ,3a 1n- 1 1由(1)知,数列 2 是以- 为首项, 为公比的等比数列.6 31 1∴a 1 1 1n- =- 3 n-1=- 3 n,2 6 21∴a 1n=- 3 n 1+ ,2 21∴a 1 1n-1=- 3 n- ,2 211- 1- 3 n 1∴T n 1n= 6 - = 3 n n-1 - .2 4 21 1-3B 组13.(多选)如图,已知点 E是 ABCD的边 AB的中点,Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点,连接AF → → →n交 BD于 Gn,点 Gn(n∈N*)满足GnD=an+1·GnA-2(2an+3)·GnE,其中数列{an}是首项为 1的正项数列,Sn是数列{an}的前 n项和,则下列结论正确的是( )A.a3=13 B.数列{an+3}是等比数列C.an=4n-3 D.S +n=2n 1-n-2答案 ABG→解析 nD=an+1·G→nA-2(2an+3)·1(G→ →nA+GnB),2→故GnD=(a →n+1-2an-3)·GnA-(2an+3)·G→nB,G→D G→n , nB共线,故 an+1-2an-3=0,即 an+1+3=2(an+3),a1=1,故 a +3=4 2n-n × 1,故 a +n=2n 1-3.a3=24-3=13,A正确;数列{an+3}是等比数列,B正确;a +n=2n 1-3,C错误;S 4 1-2nn= × -3n=2n+2-3n-4,故 D错误.1-2故选 AB.14.(多选)已知数列{an}不是常数列,其前 n项和为 Sn,则下列选项正确的是( )A.若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则{an}为递增数列B.若数列{an}为等差数列,a1>0,S3=S10,则 Sn的最大值在 n=6或 7时取得C.若数列{an}为等比数列,则 S2 021·a2 021>0恒成立D.若数列{an} a为等比数列,则{ 2 n }也为等比数列答案 ABC解析 对于 A,若数列{an}为等差数列,Sn>0恒成立,则公差 d>0,故{an}为递增数列,故 A正确;对于 B,若数列{an}为等差数列,a1>0 d3×2 10×9,设公差为 ,由 S3=S10,得 3a1+ d=10a1+ d,2 2即 a1=-6d,故 an=(n-7)d,所以当 n≤7时,an≥0,a7=0,故 Sn的最大值在 n=6或 7时取得,故 B正确;C {a } S ·a a1 1-q2 021 2 021对于 ,若数列 n 为等比数列,则 2 021 2 021= ·a1·q2 020=a12·q2 020·1-q >0 恒1-q 1-q成立,故 C正确;aa a ·qnn 1-1 2 n n-1对于 D,若数列{an}为等比数列,则 2 n=2 1 a -a a ·(q -q ),所以 =2 n+1 n=2 1 不是常数,2an{ 2a故 n }不是等比数列,故 D错误.故选 ABC.C 组15.已知数列{an}满足递推公式 an+1=2an+1,a1=1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和,则4n+7-n-Sn的最小值是________.an+117答案4解析 因为 an+1=2an+1,所以 an+1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是首项为 a1+1=2,公比为 2的等比数列,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1,2 1-2n 所以 Sn=2+22+23+…+2n-n= -n=2n+1-2-n,1-24n+7-n-S 4n+7-n- 2n+n 1-2-n 9所以 = =2n+a +1 2n 2n-2,n9 9 9由对勾函数的性质可得,当 n=1时,2n=2,2n+ -2=2+ -2= ,2n 2 2当 n≥2时,2n≥4,所以 y=2n 9+ -2单调递增,2n当 n=2时,2n 9 2 4 9 17 9+ - = + -2= < ,2n 4 4 24n+7-n-Sn 17所以 的最小值是 .an+1 416.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前 n 2n-1 ·3n+1项和为 .2(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;1(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn, n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数 m的最小值.解 (1)因为 a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列,所以 2a2=a1+a3-8,即 2a1q=a1+a1q2-8,所以 q2-2q-3=0,所以 q=3或 q=-1,又 q>1,所以 q=3,所以 an=2·3n-1(n∈N*).n因为 a b a 2n-1 ·3 +11 1+ 2b2+…+anbn= ,2n-1所以 a1b1+a2b2+…+a 2n-3 ·3 +1n-1bn-1= (n≥2),2两式相减,得 anbn=2n·3n-1(n≥2),因为 an=2·3n-1,所以 bn=n(n≥2),当 n=1时,由 a1b1=2及 a1=2,得 b1=1(符合上式),所以 bn=n(n∈N*).(2)因为数列{an}是首项为 2,公比为 3的等比数列,11 1所以数列 an 是首项为 ,公比为 的等比数列,2 311 1- 3 n 1所以 S 2 3n= = 1- 3 n <3.1 4 41-3因为 n∈N*,Sn≤m恒成立,3 3所以 m≥ ,即实数 m的最小值为 .4 4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第13讲 等比数列及其前n项和 学生版.pdf 第13讲 等比数列及其前n项和 教师版.pdf