资源简介

第 13 讲 等比数列及其前 n 项和
【知识梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不
为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 q表示，
an
定义的表达式为 ＋
1
＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 叫做 a与
b的等比中项，此时，G2＝ .
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前 n项和公式： .
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 ＝ .
特别地，若 m＋n＝2p，则 .
(3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除
外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…
为等比数列，公比为 .
a1>0， a1<0，(5)若 或 则等比数列{an}递增．
q>1 0a1>0， a1<0，
若 或 则等比数列{an}递减．
01，
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1，则该数列单调递增．( )
(2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
a 1－an(4) 数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n项和为 Sn＝ .( )
1－a
2 1 n S S10－S5 1．已知等比数列的首项为－ ，前 项和为 n，若 ＝ ，则 q的值为( )
S5 32
A 1．－ B.1 C．2 D．－2
2 2
3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则 a4＝________.
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为_______．
5．(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列，记 Sn为{an}的前 n项和，则下列说法正确的是
( )
A．若 a1>0,0B．若 a1<0,0C．若 q>0，则 S4＋S6>2S5
D 1．若 bn＝ ，则{bn}是等比数列
an
6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则 a5等于( )
A．－2 B．±2 C．2 D．±1
2
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an} S的前 n项和．若 a n5－a3＝12，a6－a4＝24，则 等于( )
an
A．2n－1 B．2－21－n
C － －．2－2n 1 D．21 n－1
2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a 2 1 1 1 132＝ ， ＋ ＋ ＝ ，
3 a1 a2 a3 2
则 S3等于( )
A.26 B.13 C.13 D．6
9 3 9
3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，
初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了 378里
路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目
的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )
A．198里 B．191里
C．63里 D．48里
4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak 10＝215－25＋ ，则 k
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 等比数列的判定与证明
例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2) a 1 a 3若 1＝ ， 2＝ ，求{an}的通项公式．
2 2
跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an}，{cn}满足 cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，
试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
题型三 等比数列性质的应用
例 2 (1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12
等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝_____.
跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列，且 a2a6＋2a24＝π，则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B．－ 3 C 3．－ D．± 3
3
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋a8等于
( )
A．12 B．24 C．30 D．32
【课后作业】
A 组
1 a5＋a6．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64，则 的值是( )
a1＋a2
A．4 B．8 C．16 D．64
2．设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3＝S1＋2S2，且 a2＝3，则 a5等于( )
A．3 B．12 C．24 D．48
3．已知数列 a a2 an1， ，…， ，…是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 log2an等于( )
a1 an－1
A．n(n＋1) B.n n－1 C.n n＋1 D.n n－1
4 2 2
4 {a } a 1 a 3 an．在数列 中， ＝ ， ＝ ，且 ＋2n 1 2 ＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n项和，则
an
S100等于( )
50 50
A.3 －1 50 B.3 1－3 ＋ ＋50
2 2
50 100
C.3 3 －1 50 D.3 3 －1 ＋ ＋50
2 2
5．(多选)已知等比数列{an}的公比为 q，前 4项的和为 a1＋14，且 a2，a3＋1，a4成等差数列，
则 q的值可能为( )
A.1 B．1 C．2 D．3
2
6．(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，an 1＝2Sn(n∈N*＋ )，则有( )
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
1，n＝1，
C．an＝2·3n－1 D．an＝
2·3n－2，n≥2
7．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和，a1＝1，且 S4＝a5－1，则公比 q＝________.
8 a．已知在递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则 13＝________.
a10
9．(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an}，且 a23＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通
项公式 an＝________.
a2n a2 a3
10．已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*)，且 a1＝2，则 an＝________，a1＋ 2 2＋ 3 3
an
＋…＋ n n＝________.
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)a
a
n.设 bn＝ n.
n
(1)求 b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
a 1
(1) n
－
求证：数列 2 为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前 n项和 Tn.
B 组
13．(多选)如图，已知点 E是 ABCD的边 AB的中点，Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点，连接
AFn交 BD于 Gn，点 Gn(n∈N*)满足G→D → →n ＝an＋1·GnA－2(2an＋3)·GnE，其中数列{an}是首项为 1
的正项数列，Sn是数列{an}的前 n项和，则下列结论正确的是( )
A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列
C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2
14．(多选)已知数列{an}不是常数列，其前 n项和为 Sn，则下列选项正确的是( )
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则 Sn的最大值在 n＝6或 7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则 S2 021·a2 021>0恒成立
D a．若数列{an}为等比数列，则{ 2 n }也为等比数列
C 组
15．已知数列{an}满足递推公式 an＋1＝2an＋1，a1＝1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和，则
4n＋7－n－Sn
的最小值是________．
an＋1
16．已知等比数列{an}的公比 q>1，a1＝2，且 a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前 n
2n－1 ·3n＋1
项和为 .
2
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
1
(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数 m的最小值．第 13 讲 等比数列及其前 n 项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
【知识梳理】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为
零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义
an 1
的表达式为 ＋ ＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1) －通项公式：an＝a1qn 1.
(2)前 n项和公式：
na1，q＝1，
Sn＝ a1 1－qn a1－anq＝ ，q≠1.
1－q 1－q
3．等比数列的性质
(1) －通项公式的推广：an＝am·qn m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 am·an＝ap·at.
特别地，若 m＋n＝2p，则 am·an＝a2p.
(3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除
外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…
为等比数列，公比为 qk.
a
(5) 1
>0， a1<0，
若 或 则等比数列{an}递增．
q>1 0a1>0， a1<0，
若 或 则等比数列{an}递减．
01，
微思考
1．若数列{an}满足 an＋1＝qan(q≠0)，则{an}一定是等比数列吗？
提示 不一定．需验证 a1≠0.
2．若数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}是等比数列吗？
提示 不一定．当 q＝－1时不是等比数列．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比 q>1，则该数列单调递增．( × )
(2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( × )
(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( √ )
n
(4)数列{an} a an n S
a 1－a
的通项公式是 n＝ ，则其前 项和为 n＝ .( × )
1－a
题组二 教材改编
2 S10－S5 1．已知等比数列的首项为－1，前 n项和为 Sn，若 ＝ ，则 q的值为( )
S5 32
A 1．－ B.1 C．2 D．－2
2 2
答案 B
S10－S5 1
解析 当 q＝1时， ＝1≠ ，∴q≠1.
S5 32
q 1 S10－S5 a6＋a7＋a8＋a9＋a10 1当 ≠ 时， ＝ ＝q5＝ ，
S5 a1＋a2＋a3＋a4＋a5 32
∴q 1＝ .故选 B.
2
3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则 a4＝________.
答案 54或 24
a1·q＝6， q＝3， q＝2，
解析 由 解得 或
6a1＋a1·q2＝30， a1＝2 a1＝3，
a4＝a1·q3＝2×33＝54或 a4＝3×23＝3×8＝24.
4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为_______．
答案 1,3,9或 9,3,1
a a＋ ＋aq＝13，
a q
解析 设这三个数为 ，a，aq，则
q a·a·aq＝27，
q
a＝3，
a＝3，
解得 q 1 或＝
3 q＝3，
∴这三个数为 1,3,9或 9,3,1.
题组三 易错自纠
5．(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列，记 Sn为{an}的前 n项和，则下列说法正确的是
( )
A．若 a1>0,0B．若 a1<0,0C．若 q>0，则 S4＋S6>2S5
D b 1．若 n＝ ，则{bn}是等比数列
an
答案 ABD
解析 A，B显然是正确的；
C中，若 a 1 q 11＝ ， ＝ ，则 a62
D bn＋1 an 1中， ＝ ＝ (q≠0)，
bn an＋1 q
∴{bn}是等比数列．
故选 ABD.
6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则 a5等于( )
A．－2 B 1．±2 C．2 D．±
2
答案 C
解析 ∵a2·a3·a4＝1，∴a3＝1，
∵a6·a7·a8＝64，∴a7＝4，
又 a25＝a3·a7＝4，a5与 a3同号，
∴a5＝2.故选 C.
【典型例题】
题型一 等比数列基本量的运算
1．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an}的前 n S项和．若 a5－a3＝12，a6－a n4＝24，则 等于( )
an
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法一 设等比数列{an}的公比为 q，
q a6－a4 24则 ＝ ＝ ＝2.
a5－a3 12
由 a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得 a1＝1.
a a qn－1 2n－1 S a1 1－q
n
所以 n＝ 1 ＝ ， n＝ ＝2n－1，
1－q
S nn 2 －1所以 ＝ ＝2－21－n.
a －n 2n 1
方法二 设等比数列{an}的公比为 q，
a3q2－a3＝12，①
则
a4q2－a4＝24，②
② a
得 4＝q＝2.
① a3
将 q＝2代入①，解得 a3＝4.
所以 a a31＝ ＝1，下同方法一．
q2
2．(2020· 2 1 1 1 13广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2＝ ， ＋ ＋ ＝ ，
3 a1 a2 a3 2
则 S3等于( )
A.26 B.13 C.13 D．6
9 3 9
答案 A
解析 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
a 2 1 1 1 13因为 2＝ ，且 ＋ ＋ ＝ ，
3 a1 a2 a3 2
a 21q＝ ，
3 a 2＝ ， a1＝2，1
所以 91 1 1 13 解得 或 1
＋ ＋ ＝ ， q＝ ，
a1 a1q a1q2 2 q＝3 3
2
2 1－3
3
当 a1＝ ，q＝3时，S3＝9 26＝ ；
9 1－3 9
1
2 1－ 3 3
a 2 q 1 S 26当 1＝ ， ＝ 时， 3＝ 1 ＝ ，3 1－ 9
3
S 26所以 3＝ .
9
3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，
初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了 378里
路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目
的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( )
A．198里 B．191里
C．63里 D．48里
答案 A
解析 设每天走的路程里数为{an}，
则{an} 1是公比为 的等比数列，
2
1 1－
a1 26
由 S6＝378，得 1 ＝378，解得 a1＝192，1－
2
1
∴an＝192· 2 n－1，
∴后四天走的路程为 a3＋a4＋a5＋a6，前两天走的路程为 a1＋a2，
又 a1＋a2＝192＋96＝288，且 S6＝378，
∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90，
∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198，
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少 198里，故选 A.
4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am n＝aman，若 ak 1＋ak 2＋…＋ak 10＝215－25＋ ＋ ＋ ＋ ，则 k
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 a1＝2，am＋n＝aman，
令 m＝1，则 an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以 a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
2k＋1 1－210
∴ ＝215－25，
1－2
即 2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
思维升华 (1)等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)
便可迎刃而解．
(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当 q＝1时，{an}的前 n项和 Sn＝na1；
a
q 1 {a } n S 1
1－qn a1－anq
当 ≠ 时， n 的前 项和 n＝ ＝ .
1－q 1－q
题型二 等比数列的判定与证明
例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2) a 1 3若 1＝ ，a2＝ ，求{an}的通项公式．
2 2
(1)证明 an＋2＝2an＋1＋3an，
所以 an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
a ＋a
所以 an＋1＋an>0
n＋2 n＋1
，所以 ＝3，
an＋1＋an
所以数列{an＋an＋1}是公比为 3的等比数列．
(2)解 由题意知 a ＋a ＝(a ＋a )3n－n n 1 1 2 1＝2 3n－＋ × 1，
因为 an＋2＝2an＋1＋3an，
所以 an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以 a2－3a1＝0，所以 an＋1－3an＝0，
故 an＋1＝3an，
1
所以 4an＝2 3n－× 1，a ＝ －n ×3n 1.
2
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1) an 1 an定义法：若 ＋ ＝q(q为非零常数，n∈N*)或 ＝q(q为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}
an an－1
是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且 a2n 1＝an·an 2(n∈N*＋ ＋ )，则{an}是等比数列．
(3)前 n项和公式法：若数列{an}的前 n项和 Sn＝k·qn－k(k为常数且 k≠0，q≠0,1)，则 {an}
是等比数列．
跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an}，{cn}满足 cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，
试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
解 设等比数列{an}的公比为 q，
则 cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，
1
当 q＝－ 时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；
2
q 1当 ≠－ 时，因为 cn≠0，
2
cn＋1 2q＋1 an所以 ＝ ＋1＝q，
cn 2q＋1 an
所以数列{cn}是等比数列．
题型三 等比数列性质的应用
例 2 (1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12
等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即 4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝_____.
答案 2
解析 由已知得，2S9＝S3＋S6，∴q≠1，
2 a1 1－q
9 a1 1－q3 a1 1－q6
则有 × ＝ ＋ ，
1－q 1－q 1－q
1
解得 q3＝－ ，
2
又 a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4，
1
∴a2＝8，∴a8＝a2·q6＝8× ＝2.
4
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前 n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练 2 (1)已知数列{an}为等比数列，且 a2a6＋2a24＝π，则 tan(a3·a5)等于( )
A. 3 B．－ 3 C 3．－ D．± 3
3
答案 A
π
解析 由已知得 a24＋2a42＝π，∴a24＝ ，
3
又 a ·a a2 π3 5＝ 4＝ ，∴tan(a3·a5)＝ 3.
3
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋a8等于
( )
A．12 B．24 C．30 D．32
答案 D
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
q a2＋a3＋a4 2则 ＝ ＝ ＝2，
a1＋a2＋a3 1
所以 a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，
还有以下几种构造方法．
构造法 1 一阶线性递推(形如 an＋1＝pan＋q，p≠0，其中 a1＝a型)
(1)若 p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若 q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若 p≠1且 q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设 an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得 an＋1＝pan＋(p－1)λ，
q
又 an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝ (p≠1)，p－1
a qn＋
所以 a qn＋1＋ ＝p p－1 ，p－1
a qn＋
即 p－1 构成以 a q1＋ 为首项，以 p为公比的等比数列．
p－1
例 1 在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
又 a1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为 4，公比 q＝2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
变式 若例 1中“an n＋1＝2an＋3”变成“an＋1＝2an＋3 ”，其他条件不变，求{an}的通项公式．
解 方法一 ∵an＋1＝2an＋3n，
∴an 1＋λ·3n＋1＋ ＝2(an＋λ·3n)，
即 an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，
即 an 1－3n＋1＋ ＝2(an－3n)，
又 a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比 q＝2的等比数列，
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n.
方法二 ∵a ＝2a ＋3n，等式两边同除以 3n＋n 1 n 1＋ ，
an＋1 2 a 1
得 ＝ · n＋ ，
3n＋1 3 3n 3
b an b 2 1令 n＝ ，则n n＋1＝ bn＋ ，3 3 3
b λ 2(b λ) b 2b 1n＋1＋ ＝ n＋ ，得 n＋1＝ n－ λ，得λ＝－1，3 3 3
2 a 2
∴bn＋1－1＝ (bn－1)，又 b －1＝ 11 －1＝－ ，3 3 3
∴{bn－1}
2 2
是首项为－ ，公比 q＝ 的等比数列，
3 3
2 2 2
∴b 2n－1＝－ · 3 n－1＝－ 3 n，∴bn＝1－ 3 n，
3
2
a
∴ n＝1－ 3 n，∴an＝3n－2n.
3n
构造法 2 二阶线性递推(形如 an＋1＝pan＋qan－1，其中 a1＝a，a2＝b型)
可以化为 an＋1－x1an＝x2(an－x1an 1)，其中 x1，x2是方程 x2－ －px－q＝0的两个根，若 1是方程
的根，则直接构造数列{an－an－1}，若 1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方
法求数列{an}．
例 2 (1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则 an＝________.
答案 2n－1
解析 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}为首项为 2，公比也为 2的等比数列，
an－an 1＝2n－1－ (n>1)，
n>1时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
1－2n
＝ ＝2n－1.
1－2
显然 n＝1时满足上式，
∴an＝2n－1.
(2)已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又 a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首项为 7，公比为 3的等比数列，
则 an＋an n－2－1＝7×3 ，①
又 an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，
a2－3a1＝－13，{an－3an－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，
则 a －n－3an－1＝(－13)·(－1)n 2，②
－ －
①×3＋②得，4an＝7×3n 1＋13·(－1)n 1，
a 7 － 13∴ n＝ ×3n 1＋ (－1)n－1.
4 4
pan
形如 an＋1＝ 型
构造法 3 倒数为特殊数列 ran＋s
1 s· 1 r 1两边同时取倒数转化为 ＝ ＋ 的形式，化归为 bn＋1＝pbn＋q型，求出 的表达式，再an＋1 p an p an
求 an.
例 3 (1) 2an已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，求数列{an}的通项公式．an＋2
解 ∵a 2ann＋1＝ ，a1＝1，
an＋2
a 0 1 1 1∴ n≠ ，∴ ＝ ＋ ，
an＋1 an 2
1 1 1
即 － ＝ ，
an＋1 an 2
又 a 11＝1，则 ＝1，
a1
1
∴ a 1n 是以 1为首项， 为公差的等差数列．2
1 1 (n 1) 1 n 1∴ ＝ ＋ － × ＝ ＋ ，
an a1 2 2 2
∴a 2n＝ (n∈N*)．
n＋1
(2)已知在数列{an}中，a1＝2，a
an
n 1＝ (n∈N*＋ )，求 an.an＋3
1 1
1 ＋
解 ∵ ＝3· 1 1 1 1 1＋1，∴ ＋ ＝3 a
a n
2 ， ＋ ＝1，
an＋1 n an＋1 2 a1 2
1 1
＋
∴ an 2 是以 1为首项，3为公比的等比数列，
1 1 －
∴ ＋ ＝3n 1，
an 2
1 3n－1 1∴ ＝ － ，
an 2
a 2∴ n＝ (n∈N*)．
2 －×3n 1－1
【课后作业】
A 组
1 {a } a 2 a ·a 64 a5＋a6．在正项等比数列 n 中， 3＝ ， 4 6＝ ，则 的值是( )
a1＋a2
A．4 B．8 C．16 D．64
答案 C
解析 设正项等比数列{an}的公比为 q，
∵a3＝2，a4·a6＝64，
∴a1q2＝2，a21q8＝64，
a5＋a6
解得 q2＝4，则 ＝42＝16.
a1＋a2
2．设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3＝S1＋2S2，且 a2＝3，则 a5等于( )
A．3 B．12 C．24 D．48
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
∵S3＝S1＋2S2，a2＝3，
a3＝2a1＋a2， a1q2＝2a1＋a1q，
∴
a2＝3 a1q＝3，
q＝2，
q＝－1，
解得 (舍)或 3
a1＝－3 a1＝ ，2
∴a5＝a q4
3
1 ＝ ×24＝24.
2
3 a2 an．已知数列 a1， ，…， ，…是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 log2an等于( )
a1 an－1
A．n(n 1) B.n n－1 C.n n＋1 D.n n－1 ＋
4 2 2
答案 D
an
解析 由题设有 ＝1 2n－× 1＝2n－1(n≥2)，
an－1
而 a ＝a a× 2 a3 ann 1 × ×…×
a1 a2 an－1
＝1×21＋2＋…＋n－1
n(n-1)
＝ 2 2 (n≥2)，
n(n-1)
当 n＝1时，a1＝1也满足该式，故 an＝ 2 2 (n≥1)，
所以 log2a
n n－1
n＝ .
2
4．在数列{an}中，a1＝1，a ＝3
an
，且 ＋
2
2 ＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n项和，则
an
S100等于( )
350A. －1 50 B.3 1－3
50
＋ ＋50
2 2
C.3 3
50－1 100
＋50 D.3 3 －1 ＋50
2 2
答案 C
an 2
解析 由题意 ＋ ＝2＋(－1)n(n∈N*)，
an
当 n an 2为偶数时，可得 ＋ ＝3；
an
n an 2当 为奇数时，可得 ＋ ＝1，
an
即数列的偶数项成公比为 3的等比数列，奇数项都为 1，
3 350－1 3 350－1
由求和公式可得 S100＝ ＋50＝ ＋50.
3－1 2
5．(多选)已知等比数列{an}的公比为 q，前 4项的和为 a1＋14，且 a2，a3＋1，a4成等差数列，
则 q的值可能为( )
A.1 B．1 C．2 D．3
2
答案 AC
解析 因为 a2，a3＋1，a4成等差数列，
所以 a2＋a4＝2(a3＋1)，
因此 a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋3a3＋2＝a1＋14，故 a3＝4.
又{an}是公比为 q的等比数列，
所以由 a2＋a4＝2(a3＋1)，
q 1＋
得 a3 q ＝2(a3＋1)，即 q
1 5
＋ ＝ ，
q 2
1
解得 q＝2或 .
2
故选 AC.
6．(多选)数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
A S 3n－． n＝ 1 B．{Sn}为等比数列
1，n＝1，
C．an＝2·3n－1 D．an＝
2·3n－2，n≥2
答案 ABD
解析 由题意，数列{an}的前 n项和满足 an 1＝2Sn(n∈N*＋ )，
当 n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得 an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
a 3a an可得 ＝ ，即 ＋1n＋1 n ＝3(n≥2)，an
又由 a ＝1，当 n＝1时，a 2S 2a 2 a＝ ＝ ＝ ，所以 21 2 1 1 ＝2，
a1
1，n＝1，
所以数列的通项公式为 an＝
2·3n－2，n≥2；
n 2 an 1 2·3
n－1
当 ≥ 时，S ＝ ＋ ＝ ＝3n－n 1，
2 2
又由 n＝1时，S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前 n项和为 Sn＝3n－1；
Sn 1 3n
又由 ＋ ＝ ＝3，
S －n 3n 1
所以数列{Sn}为公比为 3的等比数列，
综上可得选项 ABD是正确的．
7．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和，a1＝1，且 S4＝a5－1，则公比 q＝________.
答案 2或－1
4
解析 若 q＝1 S 4 a 1 0 S a 1 q 1. S a 1 a1 1－q ，则 4＝ ，5－ ＝ ，等式 4＝ 5－ 不成立，所以 ≠ 由 4＝ 5－ ，得
1－q
＝a1q4－1，结合 a1＝1整理，得(q4－1)(2－q)＝0.又 q≠1，
所以 q＝2或 q＝－1.
8 a．已知在递增的等比数列{an}中，a ＋a 132 8＝3，a3·a7＝2，则 ＝________.
a10
答案 2
解析 因为数列{an}为等比数列，且 a3·a7＝2，
所以 a2·a8＝2，
因为数列{an}为递增等比数列，
a2＋a8＝3， a2＝1，
所以由 得
a2a8＝2， a8＝2，
设等比数列{an}的公比为 q(q>0)，
a1q＝1，
则 得 q6＝2，q3＝ 2，
a1q7＝2，
a
所以 13＝q3＝ 2.
a10
9．(2021·安庆模拟)已知公比不为 1的等比数列{an}，且 a23＝a7，a6＋2a4＝3a5，则数列的通
项公式 an＝________.
答案 2n＋1
解析 设等比数列{an}的公比为 q，
则 q≠1，由 a32＝a7，a6＋2a4＝3a5，
a1q2 2＝a1q6，
得 解得 a1＝4，q＝2，
a1q5＋2a1q3＝3a1q4，
∴数列{an}的通项公式 a ＝a qn－n 1 1＝4 －×2n 1＝2n＋1.
a2n a2 a3
10．已知数列{an}与 n 均为等差数列(n∈N*)，且 a1＝2，则 an＝________，a1＋ 2 2＋ 3 3
an
＋…＋ n n＝________.
答案 2n 2n＋1－2
a2a 2 (n 1)d n [2＋ n－1 d]
2 d2n2＋ 4d－2d2 n＋ d－2 2
解析 设 n＝ ＋ － ，所以 ＝ ＝ ，
n n n
a2n
由于 n 为等差数列，
所以其通项是一个关于 n的一次函数或常数函数，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2，
所以 an＝2＋2(n－1)＝2n a，∴ n 2n＝ ＝2，
n n
a2 a3 an
所以 a1＋ 2 2＋ 3 3＋…＋ n n
21 22 2n 2 1－2
n
＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝2n 1－2.
1－2
11 a．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 b nn＝ .n
(1)求 b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解 (1) a 2 n＋1 由条件可得 n＋1＝ an，
n
将 n＝1代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以 a2＝4.
将 n＝2代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12.
从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为 1，公比为 2的等比数列．理由如下：
an＋1 2a
由条件可得 ＝ n，即 bn 1＝2bn，
n＋1 n
＋
又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2的等比数列．
(3)由(2) a可得 n＝2n－1，所以 a －n＝n·2n 1.
n
12．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
a 1n－
(1)求证：数列 2 为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前 n项和 Tn.
(1)证明 2Sn＝－an＋n，
当 n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
1 1
两式相减，得 2an＝－an＋an－1＋1，即 an＝ an－1＋ .3 3
a 1－
∴a 1 1 n－1n－ ＝ 2 ，
2 3
a 1n－
∴数列 2 为等比数列．
(2)解 由 2S1＝－a1＋1 1，得 a1＝ ，
3
a 1n－ 1 1
由(1)知，数列 2 是以－ 为首项， 为公比的等比数列．
6 3
1 1
∴a 1 1 1n－ ＝－ 3 n－1＝－ 3 n，
2 6 2
1
∴a 1n＝－ 3 n 1＋ ，
2 2
1
∴a 1 1n－1＝－ 3 n－ ，
2 2
1
1
－ 1－ 3 n 1
∴T n 1n＝ 6 － ＝ 3 n n－1 － .
2 4 2
1 1－
3
B 组
13．(多选)如图，已知点 E是 ABCD的边 AB的中点，Fn(n∈N*)为边 BC上的一列点，连接
AF → → →n交 BD于 Gn，点 Gn(n∈N*)满足GnD＝an＋1·GnA－2(2an＋3)·GnE，其中数列{an}是首项为 1
的正项数列，Sn是数列{an}的前 n项和，则下列结论正确的是( )
A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列
C．an＝4n－3 D．S ＋n＝2n 1－n－2
答案 AB
G→解析 nD＝an＋1·G
→
nA－2(2an＋3)·
1(G→ →nA＋GnB)，
2
→
故GnD＝(a →n＋1－2an－3)·GnA－(2an＋3)·G
→
nB，
G→D G→n ， nB共线，故 an＋1－2an－3＝0，
即 an＋1＋3＝2(an＋3)，a1＝1，
故 a ＋3＝4 2n－n × 1，故 a ＋n＝2n 1－3.
a3＝24－3＝13，A正确；
数列{an＋3}是等比数列，B正确；
a ＋n＝2n 1－3，C错误；
S 4 1－2
n
n＝ × －3n＝2n＋2－3n－4，故 D错误．
1－2
故选 AB.
14．(多选)已知数列{an}不是常数列，其前 n项和为 Sn，则下列选项正确的是( )
A．若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则{an}为递增数列
B．若数列{an}为等差数列，a1>0，S3＝S10，则 Sn的最大值在 n＝6或 7时取得
C．若数列{an}为等比数列，则 S2 021·a2 021>0恒成立
D．若数列{an} a为等比数列，则{ 2 n }也为等比数列
答案 ABC
解析 对于 A，若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则公差 d>0，故{an}为递增数列，故 A
正确；
对于 B，若数列{an}为等差数列，a1>0 d
3×2 10×9
，设公差为 ，由 S3＝S10，得 3a1＋ d＝10a1＋ d，
2 2
即 a1＝－6d，故 an＝(n－7)d，所以当 n≤7时，an≥0，a7＝0，故 Sn的最大值在 n＝6或 7时
取得，故 B正确；
C {a } S ·a a1 1－q
2 021 2 021
对于 ，若数列 n 为等比数列，则 2 021 2 021＝ ·a1·q2 020＝a12·q2 020·
1－q >0 恒
1－q 1－q
成立，故 C正确；
a
a a ·qn
n 1
－1 2 n n－1
对于 D，若数列{an}为等比数列，则 2 n＝2 1 a －a a ·(q －q )，所以 =2 n＋1 n＝2 1 不是常数，
2an
{ 2a故 n }不是等比数列，故 D错误．
故选 ABC.
C 组
15．已知数列{an}满足递推公式 an＋1＝2an＋1，a1＝1.设 Sn为数列{an}的前 n 项和，则
4n＋7－n－Sn
的最小值是________．
an＋1
17
答案
4
解析 因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2的等比数列，
所以 an＋1＝2n，所以 an＝2n－1，
2 1－2n
所以 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝ －n＝2n＋1－2－n，
1－2
4n＋7－n－S 4n＋7－n－ 2n＋n 1－2－n 9
所以 ＝ ＝2n＋
a ＋1 2n 2n
－2，
n
9 9 9
由对勾函数的性质可得，当 n＝1时，2n＝2,2n＋ －2＝2＋ －2＝ ，
2n 2 2
当 n≥2时，2n≥4，所以 y＝2n 9＋ －2单调递增，
2n
当 n＝2时，2n 9 2 4 9 17 9＋ － ＝ ＋ －2＝ < ，
2n 4 4 2
4n＋7－n－Sn 17
所以 的最小值是 .
an＋1 4
16．已知等比数列{an}的公比 q>1，a1＝2，且 a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前 n
2n－1 ·3n＋1
项和为 .
2
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
1
(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数 m的最小值．
解 (1)因为 a1＝2，且 a1，a2，a3－8成等差数列，
所以 2a2＝a1＋a3－8，
即 2a1q＝a1＋a1q2－8，所以 q2－2q－3＝0，
所以 q＝3或 q＝－1，又 q>1，所以 q＝3，
所以 an＝2·3n－1(n∈N*)．
n
因为 a b a 2n－1 ·3 ＋11 1＋ 2b2＋…＋anbn＝ ，
2
n－1
所以 a1b1＋a2b2＋…＋a
2n－3 ·3 ＋1
n－1bn－1＝ (n≥2)，2
两式相减，得 anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为 an＝2·3n－1，所以 bn＝n(n≥2)，
当 n＝1时，由 a1b1＝2及 a1＝2，得 b1＝1(符合上式)，
所以 bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为 2，公比为 3的等比数列，
1
1 1
所以数列 an 是首项为 ，公比为 的等比数列，2 3
1
1 1－ 3 n 1
所以 S 2 3n＝ ＝ 1－ 3 n <3.
1 4 41－
3
因为 n∈N*，Sn≤m恒成立，
3 3
所以 m≥ ，即实数 m的最小值为 .
4 4

展开更多......

收起↑