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第 12 讲 等差数列及其前 n 项和
【考试要求】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
【知识梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示，定义表达式为 an
－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A b a＋b， 成等差数列，则 A叫做 a与 b的等差中项，且有 A＝ .
2
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2) n S na n n－1 d S n a1＋an 前 项和公式： n＝ 1＋ 或 n＝ .
2 2
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md的等差数列．
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
Sn
(6)等差数列{an}的前 n项和为 Sn， n 为等差数列．
微思考
1．等差数列的前 n项和 Sn是项数 n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差 d＝0时，Sn＝na1，不是关于 n的二次函数．
2．若数列的前 n项和为 Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？
提示 不一定．当 C＝0时是等差数列.
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的．( √ )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(4)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数
列．( √ )
题组二 教材改编
2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则 a9＝________.
答案 －17
解析 d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则 d＝________.
答案 2
解析 ∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即 a1＋5d＝10，①
a7＝a1＋6d＝12，②
②－①得 d＝2.
4．已知{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a3＝2，且 S6＝30，则 S9＝________.
答案 126
a1＋2d＝2， a1＝－10，
解析 由已知可得 解得
2a1＋5d＝10， d＝6.
∴S9＝9a
9×8
1＋ d＝－90＋36×6＝126.
2
题组三 易错自纠
5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前 n项的和，且 S5S8，则下列结论正确的是
( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与 S7均为 Sn的最大值
答案 ABD
解析 S6＝S5＋a6>S5，则 a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则 a7＝0，则 d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8a8<0，则 a9<0，又 a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5>S9，
由 a7＝0，a6>0知 S6，S7是 Sn中的最大值．
从而 ABD均正确．
6．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差 d<0，则使数列{an}的前 n项和 Sn取最大值的正整数 n
的值是________．
答案 5或 6
解析 ∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|，
可得 a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0，
且 a1>0，∴a5>0，故 Sn取最大值时 n的值为 5或 6.
【典型例题】
题型一 等差数列基本量的运算
1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则下列选
项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
答案 ABC
S 4× a1＋a4 解析 4＝ ＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
2
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
d＝2，
联立①②得 ∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
a1＝－3，
S 3n n n－1 n＝－ ＋ ×2＝n2－4n，C正确，故选 ABC.
2
2．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则 S10＝________.
答案 25
解析 设等差数列{an}的公差为 d，
则 a2＋a6＝2a1＋6d＝2.
因为 a1＝－2，所以 d＝1.
所以 S10＝10×(－2)
10×9
＋ ×1＝25.
2
3．(2020·上海)已知{an}是公差不为零的等差数列，且 a a
a1＋a2＋…＋a9
1＋ 10＝a9，则 ＝
a10
________.
27
答案
8
解析 ∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，
即 a1＝－d，
∴a1＋a2＋…＋a9＝S9＝9a
9×8
1＋ d＝27d，
2
a a 9d 8d a1＋a2＋…＋a9 2710＝ 1＋ ＝ ，∴ ＝ .
a10 8
4．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}
的前 n项和为________．
答案 3n2－2n
解析 方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为 1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为 1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为 1,7,13，…，是首项为 1，公差为 6的等差数列，
则 an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n S n a1＋an n 1＋6n－5 故前 项和为 n＝ ＝ ＝3n2－2n.
2 2
方法二 (引入参变量法)
令 bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则 2n－1＝3m－2，即 3m＝2n＋1，m必为奇数．
令 m＝2t－1，则 n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即 an＝6n－5.
以下同方法一．
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中
三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1和公差 d.
题型二 等差数列的判定与证明
例 1 (2020·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)记 bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1){bn}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，
当 n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(a
an＋1 2an 1＋2
n－1＋1)＝log2 ＝log －2 ＝1，
an－1＋1 an－1＋1
∴{bn}是以 1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，
∴a bn＋1＝ 2 n ＝2n，∴an＝2n－1.
若本例中已知条件改为“a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)．”试判断
an
n＋1 是否为等差数列，并说明理由．
an
解 数列 n＋1 为等差数列，理由如下：
an an＋1
由已知得，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n＋2)(n＋1)，即 ＝ －2，
n＋1 n＋2
an＋1 an
∴ － ＝2 a1，首项为 ＝1，
n＋2 n＋1 1＋1
an
∴ n＋1 是以 1为首项，公差 d＝2的等差数列．
思维升华 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意 n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意 n≥2，n∈N*，满足 2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意 n∈N*，都满足 an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前 n项和公式法：对任意 n∈N*，都满足 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
跟踪训练 1 记首项为 1的数列{an}的前 n项和为 Sn，且当 n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S2n.
1
(1)证明：数列 Sn 是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当 n≥2时，an·(2Sn－1)＝2Sn2，
即(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S2n，即 2Sn2－Sn－2Sn·Sn－1＋Sn－1＝2Sn2，
1 1
故－Sn＋Sn－1＝2Sn·Sn－1，故 － ＝2，Sn Sn－1
1
1 1
易知 ＝ ＝1，故 Sn 是首项为 1，公差为 2的等差数列．S1 a1
(2) (1) 1 1解 由 可知， ＝2n－1，故 Sn＝ ，
Sn 2n－1
1 1 －2
所以 an＝Sn－Sn－1＝ － ＝ (n≥2)，2n－1 2n－3 2n－1 2n－3
当 n＝1时，上式不成立，
1，n＝1，
所以 an＝ －2 ，n≥2.
2n－1 2n－3
题型三 等差数列性质的应用
命题点 1 等差数列项的性质
例 2 (1)(2021·淄博模拟)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，且 4＋a5＝a6＋a4，则 S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
答案 B
解析 ∵a6＋a4＝2a5，
∴a5＝4，
∴S 9 a1＋a9 9＝ ＝9a5＝36.
2
(2)(2020· 1临沂质检)在等差数列{an}中，若 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则 a7－ a8的值为( )
2
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 ∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，
a 1∴ 7＝ a
1
6＋ a8，
2 2
1 1
即 a7－ a8＝ a6＝8，选 C.
2 2
命题点 2 等差数列和的性质
例 3 (1) S S已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和，若 a1＝－2 020， 2 020－ 2 014＝6，则 S2 023等于
2 020 2 014
( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案 C
Sn
解析 ∵ n 为等差数列，设公差为 d′，
S
则 2 020
S
－ 2 014＝6d′＝6，∴d′＝1，
2 020 2 014
S
首项为 1＝－2 020，
1
S
∴ 2 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
2 023
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选 C.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块
圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块．下
一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，
且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案 C
解析 设每一层有 n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为 d＝9，首项为 a1＝9的
等差数列．由等差数列的性质知 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝
n2d，则 9n2＝729，解得 n＝9，
27×26
则三层共有扇面形石板 S3n＝S27＝27×9＋ ×9＝3 402(块)．
2
思维升华 一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差
数列的性质是解题的重要工具．
跟踪训练 2 (1)等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，T S
2n－1
n，若对任意正整数 n都有 n＝ ，
Tn 3n－2
a11 a5
则 ＋ 的值为________．
b6＋b10 b7＋b9
29
答案
43
a11 a5 a11＋a5 2a a
解析 ＋ ＝ ＝ 8＝ 8，
b6＋b10 b7＋b9 2b8 2b8 b8
a8 S2×8－1 S15 2×15－1 29∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
b8 T2×8－1 T15 3×15－2 43
(2)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 S6＝1，S12＝4，则 S18＝________.
答案 9
解析 在等差数列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，∵S6＝1，S12＝4，∴1,3，S18－4成
公差为 2的等差数列，即 S18－4＝5，∴S18＝9.
【课后作业】
A 组
1．已知{an}是等差数列，且 a2＋a5＋a8＋a11＝48，则 a6＋a7等于( )
A．12 B．16 C．20 D．24
答案 D
解析 由等差数列的性质可得 a2＋a5＋a8＋a11＝2(a6＋a7)＝48，则 a6＋a7＝24，故选 D.
2．数列{an}的前 n项和 Sn＝n(2n－1)，若 k－l＝4(k，l∈N*)，则 ak－al等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 ∵Sn＝n(2n－1)，
∴数列{an}是公差为 4的等差数列，
∵k－l＝4，
∴ak－al＝4×4＝16.
故选 C.
3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为
等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当 r＝1时，an＋1＝ran＋r an＋1＝an＋1，
∴数列{an}为公差为 1的等差数列，即充分性成立；
∵an＋1＝ran＋r，a1＝1，∴a2＝2r，a3＝2r2＋r，
∴若数列{an}为等差数列，
则 4r＝1＋2r2＋r，∴r 1 r 1＝ 或 ＝ ，
2
即必要性不成立，
综上，“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件，故选 A.
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金
以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到
者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低
的九等人所得黄金( )
A 8 8．多 斤 B．少 斤
21 21
C 1 1．多 斤 D．少 斤
3 3
答案 A
解析 设十等人得金从高到低依次为 a1，a2，…，a10，
则{an}为等差数列，
a1＋a2＋a3＝4，
设公差为 d，则由题意可知
a8＋a9＋a10＝3，
a 4∴ 2＝ ，a9＝1，
3
d a9－a2 1∴ ＝ ＝－ ，
7 21
∴a1－a 8d 89＝－ ＝ .
21
8
即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 斤．
21
5．(多选)等差数列{an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时，a3＋a8＋a13是一
个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
答案 BC
15(a1＋a15)
解析 由等差中项的性质可得 a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则 a8为定值，S15＝ ＝15a8
2
S 16
(a1＋a16)
为定值，但 16＝ ＝8 (a8＋a9)不是定值．
2
故选 BC.
6．(多选)已知{an}为等差数列，其前 n项和为 Sn，且 2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是( )
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
答案 ACD
解析 2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，
∴a1＋9d＝0，即 a10＝0，A正确；
当 d<0时，Sn没有最小值，B错误；
S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；
S a1＋a19 ×1919＝ ＝19a10＝0，D正确．
2
故选 ACD.
7．若 Sn是等差数列{an}的前 n项和，且 S8－S3＝20，则 S11＝________.
答案 44
解析 S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，
a 4 S 11 a1＋a11 ∴ 6＝ ，∴ 11＝ ＝11a6＝44.
2
8．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则 m＝________.
答案 1 011
解析 ∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，
即 d＝2，am＝a1＋(m－1)×2＝2m－1＝2 021，
∴m＝1 011.
9．已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 Sn＝ Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，且 a1＝1，则 an＝________.
答案 2n－1
解析 ∵ Sn－ Sn－1＝1，∴{ Sn}为等差数列，
又 S1＝ a1＝1，∴ Sn＝n，即 Sn＝n2，
当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又 a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
10．(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{an}中，a6＝11，且 nan－(n－1)an＋1＝1，则 an＝
2
________ an＋143； 的最小值为________．
n
答案 2n－1 44
解析 nan－(n－1)an＋1＝1，
所以(n＋1)an＋1－nan＋2＝1，
两式相减得 nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，
所以 an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
当 n＝1时，由 nan－(n－1)an＋1＝1得 a1＝1，
由 a6＝11，得公差 d＝2，
所以 an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
a2n＋143 2n－1 2＋143
所以 ＝ ＝4n 144＋ －4≥2 4n·144－4＝44，
n n n n
144
当且仅当 4n＝ ，即 n＝6时等号成立．
n
11．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 Tn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为 d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d a4－a1＝ ＝－2，
4－1
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前 n项和为 Sn，
则由(1)可得，
Sn＝8n
n n－1
＋ ×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
2
由(1)知 an＝10－2n，令 an＝0，得 n＝5，
∴当 n>5时，an<0，
则 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当 n≤5时，an≥0，
则 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
9n－n2，n≤5，n∈N*，
∴Tn＝
n2－9n＋40，n≥6，n∈N*.
12．(2020·沈阳模拟)已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前 n项和 Sn；
(2)是否存在正整数 n，使 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出 n；若不存在，请说
明理由．
解 (1)∵S2＝2，S3＝－6，
2a1＋d＝2，
a1＝4，
∴ 3a 3×2d 6 解得1＋ ＝－ ，
2 d＝－6，
∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，
S 4n n n－1 ∴ n＝ ＋ ×(－6)＝－3n2＋7n.
2
(2)假设存在 n，使 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则 2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，
∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，
解得 n＝5.
B 组
13．已知数列{an}是等差数列，若 a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前 n项和 Sn有最大值，
那么 Sn取得最小正值时 n等于( )
A．20 B．17 C．19 D．21
答案 C
解析 因为 a9＋3a11<0，
所以 a9＋a11＋2a11＝a9＋a11＋a10＋a12＝2(a11＋a10)<0 ，
所以 a10＋a11<0.
因为 a10·a11<0，
所以由等差数列的性质和求和公式可得 a10>0，a11<0，
又可得 S19＝19a10>0，而 S20＝10(a10＋a11)<0，
进而可得 Sn取得最小正值时 n＝19.
故选 C.
14．已知数列{an}满足 a1＝2，a2＝3，且 an 2－an＝1＋(－1)n，n∈N*＋ ，则该数列的前 9项之
和为________．
答案 34
解析 ∵an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，
∴当 n为奇数时，a2n＋1－a2n－1＝0，
则数列{a2n－1}是常数列，a2n－1＝a1＝2；
当 n为偶数时，a2n＋2－a2n＝2，
则数列{a2n}是以 a2＝3为首项，2为公差的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋a9
＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a8)
3 4×3×4＋ ×2
＝2×5＋ 2 ＝34.
C 组
15．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则( )
A．a2a9的最大值为 10 B．a2＋a9的最大值为 2 10
C. 1 1 1＋ 的最大值为 D．a42＋a 94的最小值为 200
a22 a92 5
答案 ABD
解析 因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，
所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，
即 a22＋a92＝20.
a22＋a92 20
①a2a9≤ ＝ ＝10，当且仅当 a2＝a9＝ 10时成立，故 A选项正确；
2 2
a2＋a9
2 a22＋a22 9
a2＋a9
②由于 ≤ ＝10，所以 ≤ 10，a2＋a9≤2 10，当且仅当 a2＝a9＝ 10时成
2 2
立，故 B选项正确；
20
1 1 a22＋a29 20 20 1 1 1
③ ＋ ＝ ＝ ≥ a2a2 2＋a
29 ＝ ＝ ，当且仅当 a2＝a9＝ 10时成立，所以 ＋ 的最
2 a29 a2·a2 a22·a29 102 5 a22 a22 9 2 2
9
1
小值为 ，故 C选项错误；
5
④结合①的结论，有 a42＋a49＝(a22＋a29)2－2a22·a92＝400－2a22·a29≥400－2×102＝200，当且仅当
a2＝a9＝ 10时成立，故 D选项正确．
16．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前 10项和，其中[x]表示不超过 x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]
＝2.
解 (1)设数列{an}的公差为 d，由题意有 2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
2
解得 a1＝1，d＝ ，
5
2n＋3
所以{an}的通项公式为 an＝ .
5
2n＋3
(2)由(1)知，bn＝ 5 ，
当 n＝1,2,3 1 2n＋3时， ≤ <2，bn＝1；
5
n 4,5 2<2n＋3当 ＝ 时， <3，bn＝2；
5
n 6,7,8 3 2n＋3当 ＝ 时， ≤ <4，bn＝3；
5
2n＋3
当 n＝9,10时，4< <5，bn＝4.
5
所以数列{bn}的前 10项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.第 12 讲 等差数列及其前 n 项和
【知识梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 d表示，定义表达
式为 (常数)(n≥2，n∈N*)或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与 b的 ，且有 A＝ .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前 n项和公式：Sn＝ 或 Sn＝ .
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列．
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
Sn
(6)等差数列{an}的前 n项和为 Sn， n 为等差数列．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的．( )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数
列．( )
2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则 a9＝________.
3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则 d＝________.
4．已知{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a3＝2，且 S6＝30，则 S9＝________.
5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前 n项的和，且 S5S8，则下列结论正确的是
( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与 S7均为 Sn的最大值
6．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差 d<0，则使数列{an}的前 n项和 Sn取最大值的正整数 n
的值是________．
【典型例题】
题型一 等差数列基本量的运算
1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则下列选
项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
2．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则 S10＝________.
3 (2020· ) {a } a a a a1＋a2＋…＋a9． 上海 已知 n 是公差不为零的等差数列，且 1＋ 10＝ 9，则 ＝
a10
________.
4．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}
的前 n项和为________．
题型二 等差数列的判定与证明
例 1 (2020·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)记 bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式．
跟踪训练 1 记首项为 1的数列{an}的前 n项和为 Sn，且当 n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S2n.
1
(1)证明：数列 Sn 是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
题型三 等差数列性质的应用
例 2 (1)(2021·淄博模拟)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，且 4＋a5＝a6＋a4，则 S9等于( )
A．72 B．36 C．18 D．9
(2)(2020· 1临沂质检)在等差数列{an}中，若 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则 a7－ a8的值为( )
2
A．4 B．6 C．8 D．10
例 3 (1) S2 020 S2 014已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和，若 a1＝－2 020， － ＝6，则 S2 023等于
2 020 2 014
( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块
圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块．下
一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，
且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
跟踪训练 2 (1) S 2n－1等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对任意正整数 n都有 n＝ ，
Tn 3n－2
a11 a5
则 ＋ 的值为________．
b6＋b10 b7＋b9
(2)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 S6＝1，S12＝4，则 S18＝________.
【课后作业】
A 组
1．已知{an}是等差数列，且 a2＋a5＋a8＋a11＝48，则 a6＋a7等于( )
A．12 B．16 C．20 D．24
2．数列{an}的前 n项和 Sn＝n(2n－1)，若 k－l＝4(k，l∈N*)，则 ak－al等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为
等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金
以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到
者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低
的九等人所得黄金( )
A 8 8．多 斤 B．少 斤
21 21
C 1 1．多 斤 D．少 斤
3 3
5．(多选)等差数列{an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，当首项 a1和 d变化时，a3＋a8＋a13是一
个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
6．(多选)已知{an}为等差数列，其前 n项和为 Sn，且 2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是( )
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
7．若 Sn是等差数列{an}的前 n项和，且 S8－S3＝20，则 S11＝________.
8．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则 m＝________.
9．已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 Sn＝ Sn *－1＋1(n≥2，n∈N )，且 a1＝1，则 an＝________.
10．(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{an}中，a6＝11，且 nan－(n－1)an＋1＝1，则 an＝
a2________ n＋143； 的最小值为________．
n
11．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 Tn.
12．(2020·沈阳模拟)已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前 n项和 Sn；
(2)是否存在正整数 n，使 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出 n；若不存在，请说
明理由．
B 组
13．已知数列{an}是等差数列，若 a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前 n项和 Sn有最大值，
那么 Sn取得最小正值时 n等于( )
A．20 B．17 C．19 D．21
14．已知数列{an}满足 a1＝2，a2＝3，且 an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前 9项之
和为________．
C 组
15．(多选)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则( )
A．a2a9的最大值为 10 B．a2＋a9的最大值为 2 10
C. 1 1 1＋ 的最大值为 D．a42＋a 94的最小值为 200
a22 a29 5
16．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前 10项和，其中[x]表示不超过 x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]
＝2.

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